Espacio Thom

En matemáticas , el espacio de Thom, complejo de Thom o construcción de Pontryagin-Thom (llamado así en honor a René Thom y Lev Pontryagin ) de topología algebraica y topología diferencial es un espacio topológico asociado a un fibrado vectorial sobre cualquier espacio paracompacto .

Una forma de construir este espacio es la siguiente. Sea

${\displaystyle p\colon E\to B}$

Sea B un fibrado vectorial real de rango n sobre el espacio paracompacto B. Entonces, para cada punto b en B , la fibra${\displaystyle E_{b}}$es un espacio vectorial real n -dimensional . Podemos formar un fibrado de n esferas.${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$tomando la compactación de un punto de cada fibra y pegándolas para obtener el espacio total. Finalmente, a partir del espacio total${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$obtenemos el espacio de Thom${\displaystyle T(E)}$como el cociente de${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$por B ; es decir, identificando todos los puntos nuevos con un único punto.${\displaystyle \infty }$, que tomamos como punto de partida de${\displaystyle T(E)}$. Si B es compacto, entonces${\displaystyle T(E)}$es la compactificación de un punto de E.

Por ejemplo, si E es el fibrado trivial${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$es${\displaystyle B\times S^{n}}$y, escribiendo${\displaystyle B_{+}}$para B con un punto base disjunto,${\displaystyle T(E)}$es el producto estrella de${\displaystyle B_{+}}$y${\displaystyle S^{n}}$; es decir, la n -ésima suspensión reducida de${\displaystyle B_{+}}$.

Alternativamente, dado que B es paracompacto, a E se le puede dar una métrica euclidiana y luego${\displaystyle T(E)}$se puede definir como el cociente del haz de discos unitarios de E por la unidad${\displaystyle (n-1)}$-haz de esferas de E.

La importancia de esta construcción comienza con el siguiente resultado, que pertenece al tema de la cohomología de fibrados . (Hemos enunciado el resultado en términos de${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$coeficientes para evitar complicaciones derivadas de la orientabilidad ; véase también Orientación de un fibrado vectorial#Espacio de Thom .)

Dejar${\displaystyle p:E\to B}$Sea n un fibrado vectorial real de rango n . Entonces existe un isomorfismo llamado isomorfismo de Thom.

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

para todo k mayor o igual que 0, donde el lado derecho es la cohomología reducida .

Este teorema fue formulado y demostrado por René Thom en su famosa tesis de 1952.

Podemos interpretar el teorema como una generalización global del isomorfismo de suspensión en trivializaciones locales, porque el espacio de Thom de un fibrado trivial en B de rango k es isomorfo a la k -ésima suspensión de${\displaystyle B_{+}}$, B con un punto disjunto añadido (cf. #Construcción del espacio de Thom ). Esto se puede ver más fácilmente en la formulación del teorema que no hace referencia al espacio de Thom:

En términos concisos, la última parte del teorema dice que u genera libremente${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$como un derecho${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$-módulo. La clase u se suele llamar la clase Thom de E. Dado que el retroceso${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$es un isomorfismo de anillo ,${\displaystyle \Phi }$viene dada por la ecuación:

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

En particular, el isomorfismo de Thom envía el elemento identidad de${\displaystyle H^{*}(B)}$a u . Nota: para que esta fórmula tenga sentido, u se trata como un elemento de (eliminamos el anillo).${\displaystyle \Lambda }$)

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^{[ 1 ]}

La referencia estándar para el isomorfismo de Thom es el libro de Bott y Tu.

En su artículo de 1952, Thom demostró que la clase de Thom, las clases de Stiefel-Whitney y las operaciones de Steenrod estaban relacionadas. Utilizó estas ideas para probar en el artículo de 1954, Quelques propriétés globales des variétés differentiables , que los grupos de cobordismo podían calcularse como los grupos de homotopía de ciertos espacios de Thom MG ( n ). La demostración depende de las propiedades de transversalidad de las variedades diferenciables y está íntimamente relacionada con ellas (véase el teorema de transversalidad de Thom) . Al invertir esta construcción, John Milnor y Sergei Novikov (entre muchos otros) pudieron responder preguntas sobre la existencia y unicidad de variedades de alta dimensión: esto se conoce ahora como teoría de la cirugía . Además, los espacios MG(n) se ajustan para formar espectros MG, ahora conocidos como espectros de Thom , y los grupos de cobordismo son, de hecho, estables . La construcción de Thom unifica así también la topología diferencial y la teoría de la homotopía estable, y es en particular fundamental para nuestro conocimiento de los grupos de homotopía estable de esferas .

Si disponemos de las operaciones de Steenrod, podemos utilizarlas, junto con el isomorfismo del teorema, para construir las clases de Stiefel-Whitney. Recordemos que las operaciones de Steenrod (módulo 2) son transformaciones naturales.

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

definido para todos los enteros no negativos m . Si${\displaystyle i=m}$, entonces${\displaystyle Sq^{i}}$coincide con el cuadrado de la taza. Podemos definir la i- ésima clase de Stiefel-Whitney.${\displaystyle w_{i}(p)}$del haz vectorial${\displaystyle p:E\to B}$por:

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

Si consideramos que el fibrado anterior es el fibrado tangente de una variedad diferenciable, la conclusión se denomina fórmula de Wu y tiene la siguiente consecuencia importante: dado que las operaciones de Steenrod son invariantes bajo equivalencia homotópica, concluimos que las clases de Stiefel-Whitney de una variedad también lo son. Este es un resultado extraordinario que no se generaliza a otras clases características. Existe un resultado similar, famoso y complejo, que establece la invariancia topológica para las clases de Pontryagin racionales , debido a Sergei Novikov .

• Cobordismo
• operación de cohomología
• Problema de la varilla de acero
• Teorema de Hattori-Stong

• Sullivan, Dennis (2004). "El trabajo de René Thom sobre homología geométrica y bordismo" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 41 (3): 341– 350. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90613-4.Una obra de referencia clásica sobre topología diferencial , que trata la relación con la dualidad de Poincaré , la clase de Euler de fibrados de esferas , las clases de Thom y el isomorfismo de Thom, y mucho más.
• Milnor, John . Clases características .es otra referencia estándar para la clase de Thom y el isomorfismo de Thom. Véase especialmente el párrafo 18.
• May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica . University of Chicago Press . pp. 183–198 . ISBN  0-226-51182-0.Este libro de texto ofrece una construcción detallada de la clase de Thom para haces vectoriales triviales, y también formula el teorema en el caso de haces vectoriales arbitrarios.
• Stong, Robert E. (1968). Notas sobre la teoría del cobordismo . Princeton University Press .
• Thom, René (1954). " Quelques propriétés globales des variétés différentiables ". Comentarios Mathematici Helvetici . 28 : 17– 86. doi : 10.1007/BF02566923 . S2CID 120243638 . 
• Ando, ​​Matthew; Blumberg, Andrew J.; Gepner, David J.; Hopkins, Michael J .; Rezk, Charles (2014). "Unidades de espectros de anillos y espectros de Thom". Journal of Topology . 7 (4): 1077– 1117. arXiv : 0810.4535 . doi : 10.1112/jtopol/jtu009 . MR 0286898. S2CID 119613530 .  

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• "Espacio de Thom" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]