Fórmula de orden de Thompson

En la teoría matemática de grupos finitos , la fórmula de orden de Thompson , introducida por John Griggs Thompson ( Held 1969 , p. 279) , proporciona una fórmula para el orden de un grupo finito en términos de los centralizadores de involuciones , extendiendo los resultados de Brauer y Fowler (1955) .

Si un grupo finito G tiene exactamente dos clases de conjugación de involuciones con representantes t y z , entonces la fórmula de orden de Thompson ( Aschbacher 2000 , 45.6) ( Suzuki 1986 , 5.1.7) establece

${\displaystyle |G|=|C_{g}(z)|a(t)+|C_{g}(t)|a(z)}$

Aquí a ( x ) es el número de pares ( u , v ) con u conjugado a t , v conjugado a z , y x en el subgrupo generado por uv .

Harris (1972 , 3.10) da la siguiente versión más complicada de la fórmula de orden de Thompson para el caso en que G tiene más de dos clases de conjugación de involución.

${\displaystyle |G|=C_{G}(t)C_{G}(z)\sum _{x}{\frac {a(x)}{C_{G}(x)}}}$

donde t y z son involuciones no conjugadas, la suma es sobre un conjunto de representantes x para las clases de conjugación de involuciones, y a ( x ) es el número de pares ordenados de involuciones u , v tales que u es conjugada a t , v es conjugada a z , y x es la involución en el subgrupo generado por tz .

La fórmula de orden de Thompson se puede reescribir como

${\displaystyle {\frac {|G|}{C_{G}(z)}}{\frac {|G|}{C_{G}(t)}}=\sum _{x}a(x){\frac {|G|}{C_{G}(x)}}}$

donde, como antes, la suma se realiza sobre un conjunto de representantes x para las clases de involuciones. El lado izquierdo es el número de pares de involuciones ( u , v ) con u conjugado a t , v conjugado a z . El lado derecho cuenta estos pares en clases, dependiendo de la clase de la involución en el grupo cíclico generado por uv . El punto clave es que uv tiene orden par (ya que si tuviera orden impar, u y v serían conjugados) y, por lo tanto, el grupo que genera contiene una única involución x .

• Aschbacher, Michael (2000), Teoría de grupos finitos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  10 (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78675-1, MR 1777008 
• Brauer, R.; Fowler, KA (1955), "Sobre grupos de orden par", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 62 : 565–583 , doi : 10.2307/1970080 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970080 , MR 0074414   
• Harris, Morton E. (1972), "Una caracterización de extensiones de orden impar de los grupos simplécticos proyectivos finitos PSp(4,q)", Transactions of the American Mathematical Society , 163 : 311–327 , doi : 10.2307/1995724 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1995724 , MR 0286897   
• Held, Dieter (1969), "Los grupos simples relacionados con M ₂₄ ", Journal of Algebra , 13 : 253–296 , doi : 10.1016/0021-8693(69)90074-X , ISSN 0021-8693 , 0249500 
• Suzuki, Michio (1986), Teoría de grupos. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol.  248, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-10916-9, MR 0815926