Problema de Thomson

El objetivo del problema de Thomson es determinar la configuración de energía potencial electrostática mínima de N electrones confinados a la superficie de una esfera unitaria que se repelen entre sí con una fuerza dada por la ley de Coulomb . El físico J.J. Thomson planteó el problema en 1904 ^{[ 1 ]} tras proponer un modelo atómico , posteriormente llamado modelo del pudín de pasas , basado en su conocimiento de la existencia de electrones con carga negativa dentro de átomos con carga neutra.

Entre los problemas relacionados se incluyen el estudio de la geometría de la configuración de energía mínima y el estudio del comportamiento de la energía mínima para valores grandes de N.

La energía de interacción electrostática que se produce entre cada par de electrones de cargas iguales (${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$, con${\displaystyle e}$La carga elemental de un electrón viene dada por la ley de Coulomb .

${\displaystyle U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},}$

dónde${\displaystyle \epsilon _{0}}$es la constante eléctrica y${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$es la distancia entre cada par de electrones ubicados en puntos de la esfera definida por vectores${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _ {j}}$, respectivamente.

Unidades simplificadas de${\displaystyle e=1}$y${\displaystyle k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1}$(la constante de Coulomb ) se utilizan sin pérdida de generalidad. Entonces,

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \sobre r_{ij}}.}$

La energía potencial electrostática total de cada configuración de N electrones puede expresarse entonces como la suma de todas las energías de interacción por pares.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

La minimización global de${\displaystyle U(N)}$La optimización de todas las configuraciones posibles de N puntos distintos se suele obtener mediante algoritmos de minimización numérica.

El problema de Thomson está relacionado con el séptimo de los dieciocho problemas matemáticos sin resolver propuestos por el matemático Steve Smale : "Distribución de puntos en la 2-esfera". ^{[ 2 ]} La principal diferencia es que en el problema de Smale la función a minimizar no es el potencial electrostático.${\displaystyle 1 \over r_{ij}}$pero un potencial logarítmico dado por${\displaystyle -\log r_{ij}.}$Una segunda diferencia es que la pregunta de Smale se refiere al comportamiento asintótico del potencial total cuando el número N de puntos tiende a infinito, no a valores concretos de N.

Las configuraciones de energía mínima matemáticamente exactas solo se han identificado rigurosamente en un puñado de casos.

• Para N  =  1, la solución es trivial. El electrón puede ubicarse en cualquier punto de la superficie de la esfera unitaria. La energía total de la configuración se define como cero, ya que la carga del electrón no está sujeta a ningún campo eléctrico proveniente de otras fuentes de carga.

• Para N  =  2, la configuración óptima consiste en electrones en puntos antipodales .

• Para N  =  3, los electrones residen en los vértices de un triángulo equilátero alrededor de cualquier círculo máximo . ^{[ 3 ]} El círculo máximo se considera a menudo que define un ecuador alrededor de la esfera y los dos puntos perpendiculares al plano se consideran a menudo polos para ayudar en discusiones sobre las configuraciones electrostáticas de soluciones de muchos N electrones.

• Para N  =  4, los electrones residen en los vértices de un tetraedro regular .

• Para N  =  5, los electrones residen en los vértices de una bipirámide triangular . ^{[ 4 ]}

• Para N  =  6, los electrones residen en los vértices de un octaedro regular . ^{[ 5 ]} La configuración también puede describirse como cuatro electrones que residen en las esquinas de un cuadrado alrededor del ecuador y los dos restantes que residen en los polos.

• Para N  =  12, los electrones residen en los vértices de un icosaedro regular . ^{[ 6 ]}

Las soluciones del problema de Thomson para N  =  4, 6 y 12 electrones son sólidos platónicos cuyas caras son triángulos equiláteros congruentes. Las soluciones numéricas para N  =  8 y 20 no son las configuraciones poliédricas convexas regulares de los dos sólidos platónicos restantes (el cubo y el dodecaedro , respectivamente). ^{[ 7 ]}

También se pueden solicitar los estados fundamentales de partículas que interactúan con potenciales arbitrarios. Para ser matemáticamente precisos, sea f una función real decreciente y definamos el funcional de energía.

$${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).}$$

Tradicionalmente, se considera${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$también conocido como Riesz${\displaystyle \alpha }$-núcleos. Para núcleos de Riesz integrables, véase el trabajo de Landkof de 1972. ^{[ 8 ]} Para núcleos de Riesz no integrables, se cumple el teorema del bagel de semillas de amapola , véase el trabajo de Hardin y Saff de 2004. ^{[ 9 ]} Entre los casos notables se incluyen: ^{[ 10 ]}

• α  =  ∞, el problema de Tammes (empaquetamiento);
• α  =  1, el problema de Thomson;
• α  =  0, para maximizar el producto de distancias, posteriormente conocido como el problema de Whyte ;
• α  =  −1  : problema de distancia media máxima.

También se pueden considerar configuraciones de N puntos en una esfera de dimensión superior . Véase diseño esférico .

Se han aplicado varios algoritmos a este problema. Desde el cambio de milenio, el enfoque se ha centrado en métodos de optimización local aplicados a la función de energía, aunque también han aparecido los paseos aleatorios : ^{[ 10 ]}

• optimización global restringida (Altschuler et al. 1994),
• descenso más pronunciado (Claxton y Benson 1966, Erber y Hockney 1991),
• paseo aleatorio (Weinrach et al. 1990),
• algoritmo genético (Morris et al. 1996)

Si bien el objetivo es minimizar la energía potencial electrostática global de cada caso de N electrones, existen varios casos iniciales algorítmicos de interés.

Carga de capa esférica continua

La energía de una capa esférica continua de carga distribuida a través de su superficie viene dada por

${\displaystyle U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}}$

y es, en general, mayor que la energía de cada solución del problema de Thomson. Nota: Aquí N se utiliza como una variable continua que representa la carga infinitamente divisible, Q , distribuida a través de la capa esférica. Por ejemplo, una capa esférica de${\displaystyle N=1}$representa la distribución uniforme de la carga de un solo electrón,${\displaystyle -e}$, a lo largo de toda la concha.

El problema de Thomson es una consecuencia natural del modelo de pudín de pasas de JJ Thomson en ausencia de su carga de fondo positiva uniforme. ^{[ 12 ]}

Aunque la evidencia experimental llevó al abandono del modelo de pudín de pasas de Thomson como modelo atómico completo, se ha descubierto que las irregularidades observadas en las soluciones numéricas de energía del problema de Thomson se corresponden con el llenado de las capas electrónicas en átomos que se encuentran naturalmente en toda la tabla periódica de los elementos. ^{[ 14 ]}

El problema de Thomson también desempeña un papel en el estudio de otros modelos físicos, como las burbujas multielectrónicas y el ordenamiento superficial de gotas de metal líquido confinadas en trampas de Paul .

El problema generalizado de Thomson surge, por ejemplo, al determinar la disposición de las subunidades proteicas que componen las envolturas de los virus esféricos . En esta aplicación, las "partículas" son cúmulos de subunidades proteicas dispuestas sobre una envoltura. Otras aplicaciones incluyen la disposición regular de partículas coloidales en coloidosomas , propuestos para la encapsulación de principios activos como fármacos, nutrientes o células vivas, patrones de átomos de carbono en fullerenos y la teoría VSEPR . Un ejemplo con interacciones logarítmicas de largo alcance lo proporcionan los vórtices de Abrikosov que se forman a bajas temperaturas en una envoltura metálica superconductora con un gran monopolo en su centro.

En la siguiente tabla${\displaystyle N}$es el número de puntos (cargas) en una configuración,${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$es la energía, el tipo de simetría se da en la notación de Schönflies (ver Grupos puntuales en tres dimensiones ), y${\displaystyle r_{i}}$son las posiciones de las cargas. La mayoría de los tipos de simetría requieren que la suma vectorial de las posiciones (y por lo tanto el momento dipolar eléctrico ) sea cero.

También es habitual considerar el poliedro formado por la envoltura convexa de los puntos. Por lo tanto,${\displaystyle v_{i}}$es el número de vértices donde se encuentran el número dado de aristas,${\displaystyle e}$es el número total de aristas,${\displaystyle f_{3}}$es el número de caras triangulares,${\displaystyle f_{4}}$es el número de caras cuadriláteras, y${\displaystyle \theta _{1}}$es el ángulo más pequeño subtendido por los vectores asociados al par de cargas más cercano. Las longitudes de los lados generalmente no son iguales. Por lo tanto, excepto en los casos N  =  2, 3, 4, 6, 12 y los poliedros geodésicos , la envoltura convexa es topológicamente equivalente únicamente a la figura que aparece en la última columna. ^{[ 15 ]}

Según una conjetura, si${\displaystyle P}$es el poliedro formado por la envoltura convexa de la configuración de la solución al problema de Thomson para${\displaystyle m}$electrones y${\displaystyle q}$es el número de caras cuadriláteras de${\displaystyle P}$, entonces${\displaystyle P}$tiene${\displaystyle f(m)=\delta _{0,m-2}+3(m-2)-q}$bordes. ^{[ 16 ]}

• Geometría molecular
• Problema de Tammes : Disposición de puntos en la superficie de una esfera de manera que se maximice la distancia mínima entre ellos.

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• Esta página web contiene muchas más configuraciones electrónicas con la energía más baja conocida: https://www.hars.us .