Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Límite de Thurston

En matemáticas , la frontera de Thurston del espacio de Teichmüller de una superficie se obtiene como la frontera de su clausura en el espacio proyectivo de funcionales sobre cu...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , la frontera de Thurston del espacio de Teichmüller de una superficie se obtiene como la frontera de su clausura en el espacio proyectivo de funcionales sobre curvas cerradas simples en la superficie. La frontera de Thurston puede interpretarse como el espacio de foliaciones medidas proyectivas sobre la superficie.

El límite de Thurston del espacio de Teichmüller de una superficie cerrada de génerogramo{\displaystyle g}es homeomorfo a una esfera de dimensión6gramo−7{\displaystyle 6g-7}. La acción del grupo de clases de mapeo sobre el espacio de Teichmüller se extiende continuamente sobre la unión con la frontera.

Foliaciones medidas en superficies

DejarS{\displaystyle S}ser una superficie cerrada. Una foliación medida(F,μ){\displaystyle ({\mathcal {F}},\mu )}enS{\displaystyle S}es una foliaciónF{\displaystyle {\mathcal {F}}}enS{\displaystyle S}que puede admitir singularidades aisladas, junto con una medida transversalμ{\displaystyle \mu }, es decir, una función que a cada arcoα{\displaystyle \alpha }transversal a la foliaciónF{\displaystyle {\mathcal {F}}}asocia un número real positivoμ(α){\displaystyle \mu (\alpha )}. La foliación y la medida deben ser compatibles en el sentido de que la medida es invariante si el arco se deforma con los puntos finales permaneciendo en la misma hoja. [ 1 ]

DejarS{\displaystyle {\mathcal {S}}}sea ​​el espacio de clases de isotopía de curvas simples cerradas enS{\displaystyle S}. Una foliación medida(F,μ){\displaystyle ({\mathcal {F}},\mu )}se puede utilizar para definir una funcióni((F,μ),⋅)∈R+S{\displaystyle i(({\mathcal {F}},\mu ),\cdot )\in \mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}}}de la siguiente manera: siγ{\displaystyle \gamma }es cualquier curva

μ(γ)=sorberα1,…,αr(∑i=1rμ(αi)){\displaystyle \mu (\gamma )=\sup _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}\left(\sum _{i=1}^{r}\mu (\alpha _{i})\right)}

donde el supremo se toma sobre todas las colecciones de arcos disjuntosα1…,αr⊂γ{\displaystyle \alpha _{1}\ldots ,\alpha _{r}\subset \gamma }que son transversales aF{\displaystyle {\mathcal {F}}}(En particularμ(γ)=0{\displaystyle \mu (\gamma )=0}siγ{\displaystyle \gamma }es una hoja cerrada deF{\displaystyle {\mathcal {F}}}). Entonces siσ∈S{\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}}El número de intersección se define por:

i((F,μ),σ)=infγ∈σμ(γ){\displaystyle i{\bigl (}({\mathcal {F}},\mu ),\sigma {\bigr )}=\inf _{\gamma \in \sigma }\mu (\gamma )}.

Se dice que dos foliaciones medidas son equivalentes si definen la misma función enS{\displaystyle {\mathcal {S}}}(existe un criterio topológico para esta equivalencia mediante movimientos de Whitehead ). El espacioPAGMETROF{\displaystyle {\mathcal {PMF}}}de foliaciones medidas proyectivas es la imagen del conjunto de foliaciones medidas en el espacio proyectivo.PAG(R+S){\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}})}a través de la incrustacióni{\displaystyle i}. Si el génerogramo{\displaystyle g}deS{\displaystyle S}es al menos 2, el espacioPAGMETROF{\displaystyle {\mathcal {PMF}}}es homeomorfo al6gramo−7{\displaystyle 6g-7}esfera -dimensional (en el caso del toro, es la 2-esfera; no hay foliaciones medidas en la esfera).

Compactificación del espacio de Teichmüller

Incrustamiento en el espacio de funcionales

DejarS{\displaystyle S}sea ​​una superficie cerrada. Recordemos que un punto en el espacio de Teichmüller es un par(incógnita,F){\displaystyle (X,f)}dóndeincógnita{\displaystyle X}es una superficie hiperbólica (una variedad riemanniana con curvaturas seccionales todas iguales a−1{\displaystyle -1}) yF{\displaystyle f}un homeomorfismo, salvo una relación de equivalencia natural . El espacio de Teichmüller puede realizarse como un espacio de funcionales sobre el conjuntoS{\displaystyle {\mathcal {S}}}de clases de isótopos de curvas cerradas simples enS{\displaystyle {\mathcal {S}}}de la siguiente manera. Siincógnita=(incógnita,F)∈T(S){\displaystyle x=(X,f)\in T(S)}yσ∈S{\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}}entoncesℓ(incógnita,σ){\displaystyle \ell (x,\sigma )}se define como la longitud de la geodésica cerrada única enincógnita{\displaystyle X}en la clase de isótoposF∗σ{\displaystyle f_{*}\sigma }El mapaincógnita↦ℓ(incógnita,⋅){\displaystyle x\mapsto \ell (x,\cdot )}es una incrustación deT(S){\displaystyle T(S)}enR+S{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}}}, que se puede utilizar para darle al espacio de Teichmüller una topología (al lado derecho se le da la topología del producto ).

De hecho, el mapa al espacio proyectivoPAG(R+S){\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}})}sigue siendo una incrustación:T{\displaystyle {\mathcal {T}}}denota la imagen deT(S){\displaystyle T(S)}allí. Dado que este espacio es compacto, el cierreT¯{\displaystyle {\overline {\mathcal {T}}}}es compacto: se denomina compactificación de Thurston del espacio de Teichmüller.

El límite de Thurston

El límiteT¯∖T{\displaystyle {\overline {\mathcal {T}}}\setminus {\mathcal {T}}}es igual al subconjuntoPAGMETROF{\displaystyle {\mathcal {PMF}}}dePAG(R+S){\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}})}. La demostración también implica que la compactificación de Thurston es homeomorfa a la6gramo−6{\displaystyle 6g-6}Bola cerrada -dimensional. [ 2 ]

Aplicaciones

difeomorfismos de pseudo-Anosov

Un difeomorfismoS→S{\displaystyle S\to S}Se denomina pseudo-Anosov si existen dos foliaciones medidas transversales, de tal manera que bajo su acción se conservan las foliaciones subyacentes y las medidas se multiplican por un factor.λ,λ−1{\displaystyle \lambda ,\lambda ^{-1}}respectivamente para algunosλ>1{\displaystyle \lambda >1}(llamado factor de estiramiento ). Utilizando su compactificación, Thurston demostró la siguiente caracterización de las clases de mapeo pseudo-Anosov (es decir, clases de mapeo que contienen un elemento pseudo-Anosov), que en esencia era conocida por Nielsen y que generalmente se denomina clasificación de Nielsen-Thurston . Una clase de mapeoϕ{\displaystyle \phi }es pseudo-Anosov si y solo si :

  • no es reducible (es decir, no hayk≥1{\displaystyle k\geq 1}yσ∈S{\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}}de tal manera que(ϕk)∗σ=σ{\displaystyle (\phi ^{k})_{*}\sigma =\sigma });
  • no es de orden finito (es decir, no hayk≥1{\displaystyle k\geq 1}de tal manera queϕk{\displaystyle \phi ^{k}}es la clase isotópica de la identidad).

La demostración se basa en el teorema del punto fijo de Brouwer aplicado a la acción deϕ{\displaystyle \phi }sobre la compactación de ThurstonT¯{\displaystyle {\overline {\mathcal {T}}}}Si el punto fijo se encuentra en el interior, la clase es de orden finito; si se encuentra en el límite y la foliación subyacente tiene una hoja cerrada, entonces es reducible; en el caso restante, es posible demostrar que existe otro punto fijo correspondiente a una foliación medida transversalmente y deducir la propiedad pseudo-Anosov.

Aplicaciones al grupo de clases de mapeo

La acción del grupo de clases de mapeo de la superficieS{\displaystyle S}En el espacio de Teichmüller, se extiende de forma continua a la compactificación de Thurston. Esto proporciona una herramienta poderosa para estudiar la estructura de este grupo; por ejemplo, se utiliza en la demostración de la alternativa de Tits para el grupo de clases de mapeo. También puede utilizarse para demostrar diversos resultados sobre la estructura de subgrupos del grupo de clases de mapeo. [ 3 ]

Aplicaciones a 3 – colectores

La compactificación del espacio de Teichmüller mediante la adición de foliaciones medidas es esencial en la definición de las laminaciones finales de una 3-variedad hiperbólica .

Acciones sobre árboles reales

Un punto en el espacio de TeichmüllerT(S){\displaystyle T(S)}alternativamente puede considerarse una representación fiel del grupo fundamental.π1(S){\displaystyle \pi _{1}(S)}en el grupo de isometríaPAGSL2(R){\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}del plano hiperbólicoH2{\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}, salvo conjugación. Dicha acción isométrica da lugar (mediante la elección de un ultrafiltro no principal ) a una acción sobre el cono asintótico deH2{\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}, que es un árbol real . Dos de estas acciones son isométricas equivariantes si y solo si provienen del mismo punto en el espacio de Teichmüller. El espacio de tales acciones (dotado de una topología natural) es compacto, y por lo tanto obtenemos otra compactificación del espacio de Teichmüller. Un teorema de R. Skora afirma que esta compactificación es homeomorfa equivariante a la compactificación de Thurston. [ 4 ]

Notas

  1. ↑ Fathi, Laudenbach & Poénaru 2012 , Exposé 5.
  2. ↑ Fathi, Laudenbach & Poénaru 2012 , Exposé 8.
  3. ↑ Ivanov 1992 .
  4. ↑ Bestvina, Mladen. "R{\displaystyle \mathbb {R} }-árboles en topología, geometría y teoría de grupos". Manual de topología geométrica . North-Holland. págs. 55–91 . 

Referencias

  • Fathi, Albert; Laudenbach, François; Poénaru, Valentin (2012). El trabajo de Thurston sobre superficies. Traducido del original francés de 1979 por Djun M. Kim y Dan Margalit . Mathematical Notes. Vol.  48. Princeton University Press. pp.  xvi+254. ISBN 978-0-691-14735-2.
  • Ivanov, Nikolai (1992). Subgrupos de grupos modulares de Teichmüller . American Math. Soc.