Teorema de Tijdeman

En teoría de números , el teorema de Tijdeman establece que hay como máximo un número finito de potencias consecutivas. Dicho de otra manera, el conjunto de soluciones en enteros x , y , n , m de la ecuación diofántica exponencial

${\displaystyle y^{m}=x^{n}+1,}$

para exponentes n y m mayores que uno, es finito. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El teorema fue demostrado por el teórico de números neerlandés Robert Tijdeman en 1976, ^{[ 3 ]} utilizando el método de Baker en la teoría de números trascendentales para dar una cota superior efectiva para x , y , m , n . Michel Langevin calculó un valor de exp exp exp exp 730 para la cota. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]}

El teorema de Tijdeman proporcionó un fuerte impulso hacia la eventual demostración de la conjetura de Catalan por Preda Mihăilescu . ^{[ 6 ]} El teorema de Mihăilescu afirma que solo hay un miembro del conjunto de pares de potencias consecutivas, a saber, 9=8+1. ^{[ 7 ]}

Que las potencias sean consecutivas es esencial para la demostración de Tijdeman; si reemplazamos la diferencia de 1 por cualquier otra diferencia k y pedimos el número de soluciones de

${\displaystyle y^{m}=x^{n}+k}$

con n y m mayores que uno tenemos un problema sin resolver, ^{[ 8 ]} llamado el problema generalizado de Tijdeman. Se conjetura que este conjunto también será finito. Esto se seguiría de una conjetura aún más fuerte de Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1931), véase la conjetura de Catalan , que afirma que la ecuación${\displaystyle Sí^{m}=Bx^{n}+k}$solo tiene un número finito de soluciones. La verdad de la conjetura de Pillai, a su vez, se seguiría de la verdad de la conjetura abc . ^{[ 9 ]}