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Valor temporal del dinero

Valor actual de $1,000 dentro de 100 años. Las curvas representan tasas de descuento constantes del 2%, 3%, 5% y 7%. El valor temporal del dinero se refiere a la idea de que, po...

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Valor actual de $1,000 dentro de 100 años. Las curvas representan tasas de descuento constantes del 2%, 3%, 5% y 7%.

El valor temporal del dinero se refiere a la idea de que, por lo general, es más beneficioso recibir una suma de dinero ahora que la misma cantidad más adelante. Puede considerarse una consecuencia del concepto de preferencia temporal , desarrollado posteriormente .

El valor temporal del dinero se refiere a la observación de que es mejor recibir el dinero cuanto antes. El dinero que tienes hoy se puede invertir para obtener una tasa de rendimiento positiva, generando más dinero mañana. Por lo tanto, un dólar hoy vale más que un dólar en el futuro. [ 1 ]

El valor temporal del dinero es uno de los factores que se consideran al sopesar el costo de oportunidad de gastar en lugar de ahorrar o invertir . Por ello, es una de las razones por las que se pagan o se ganan intereses : los intereses, ya sean sobre un depósito bancario o una deuda , compensan al depositante o prestamista por la pérdida del uso de su dinero. Los inversores están dispuestos a renunciar a gastar su dinero ahora solo si esperan una rentabilidad neta favorable de su inversión en el futuro, de modo que el valor incremental disponible posteriormente sea lo suficientemente alto como para compensar tanto la preferencia por gastar el dinero ahora como la inflación (si la hay); véase tasa de rendimiento requerida .

Descripción general

El valor temporal del dinero compara los flujos de efectivo que ocurren en diferentes fechas, convirtiéndolos a una única fecha de valoración (a menudo denominada "tiempo 0"). En un modelo simple de tiempo discreto, el tiempo se mide en períodos de igual duración.t=0,1,2,…{\displaystyle t=0,1,2,\dots }y una tasa de interés efectiva constantei{\displaystyle i}Se aplica una vez por período. [ 2 ] [ 3 ]

Si una cantidadPAGV{\displaystyle \mathrm {PV} }se invierte en el momento 0, su valor despuésnorte{\displaystyle n}períodos (el valor futuro) es FV=PAGV(1+i)norte.{\displaystyle \mathrm {FV} =\mathrm {PV} (1+i)^{n}.} El descuento invierte esta relación, de modo que el valor presente de una cantidad seguraFV{\displaystyle \mathrm {FV} }vence a la horanorte{\displaystyle n}es PAGV=FV(1+i)−norte=FV(1+i)norte.{\displaystyle \mathrm {PV} =\mathrm {FV} (1+i)^{-n}={\frac {\mathrm {FV} }{(1+i)^{n}}}.} El factor(1+i)norte{\displaystyle (1+i)^{n}}es el factor de acumulación sobrenorte{\displaystyle n}períodos y(1+i)−norte{\displaystyle (1+i)^{-n}}es el factor de descuento correspondiente. [ 3 ] [ 2 ]

Para una secuencia de flujos de efectivo con fechadoFt{\displaystyle \mathrm {CF} _{t}}(positivo para los ingresos y negativo para los pagos), el valor presente es la suma descontada de cada flujo de efectivo: PAGV=∑t=0nortedoFt(1+i)t.{\displaystyle \mathrm {PV} =\sum _{t=0}^{n}{\frac {\mathrm {CF} _{t}}{(1+i)^{t}}}.} Esta forma de suma descontada subyace a los cálculos del valor actual neto utilizados en la valoración y la presupuestación de capital. [ 4 ] [ 5 ] [ 3 ]

Los análisis nominales y reales deben mantenerse coherentes. Los flujos de efectivo nominales se descuentan a tasas nominales, mientras que los flujos de efectivo reales (descontando la inflación general) se descuentan a tasas reales; la combinación de convenciones altera los resultados mecánicamente incluso cuando la economía subyacente permanece inalterada. [ 6 ] [ 7 ]

Historia

El cobro o pago de intereses, la capitalización de saldos a lo largo del tiempo y la comparación de pagos en diferentes fechas son prácticas muy anteriores a la terminología moderna. Los relatos históricos de la práctica actuarial describen el uso del interés compuesto en transacciones comerciales desde la Edad Media en adelante, con tratamientos matemáticos sistemáticos de pagos contingentes a la vida que se desarrollaron posteriormente junto con la teoría de la probabilidad y los datos de mortalidad. [ 8 ]

La fijación de precios de las anualidades y otros contratos a largo plazo constituyó un contexto importante para el desarrollo de técnicas formales de valor presente. Los estudios históricos modernos sobre economía financiera rastrean los avances clave en la valoración de las anualidades vitalicias mediante métodos de valor esperado descontado y relacionan estos desarrollos con la aparición de las tablas de mortalidad y los métodos computacionales para el descuento de flujos de efectivo contingentes. [ 9 ]

Poitras analiza las contribuciones del siglo XVII asociadas con Johan de Witt y Edmond Halley, y Lewin las señala en un contexto de historia actuarial: la correspondencia de de Witt con Jan Hudde (1671) abordó la valoración de las rentas vitalicias, y el trabajo de Halley de 1693 mostró cómo se podía aplicar una tabla de mortalidad a la fijación de precios de las rentas vitalicias utilizando datos empíricos de mortalidad. [ 9 ] [ 8 ]

Las primeras reflexiones económicas sobre los préstamos, la usura y el poder adquisitivo del dinero constituyen parte del trasfondo de las teorías posteriores sobre el descuento y el interés. En los siglos XVI y principios del XVII, los académicos vinculados a la Universidad de Salamanca debatieron sobre la evolución del poder adquisitivo del dinero y el estatus moral y legal del crédito dentro de una tradición escolástica que abordaba cuestiones monetarias y comerciales junto con la teología y el derecho. [ 10 ]

Algunos estudios modernos interpretan las discusiones de Martín de Azpilcueta sobre el dinero y el intercambio como una anticipación de elementos de la teoría del interés posterior, pero la erudición especializada advierte contra el tratamiento de su obra como una formulación temprana de la teoría moderna de la preferencia temporal y señala que continuó condenando la usura en general. [ 11 ]

En economía, la obra de Irving Fisher , The Theory of Interest (1930), formalizó una explicación de la valoración intertemporal que vincula el interés con la impaciencia (preferencia temporal) y las oportunidades de inversión, e influyó en tratamientos posteriores del descuento y el valor presente en el análisis económico y las finanzas. [ 12 ]

Cálculos

Los problemas relacionados con el valor temporal del dinero implican el valor neto de los flujos de efectivo en diferentes momentos.

En un caso típico, las variables podrían ser: un saldo (el valor real o nominal de una deuda o un activo financiero en términos de unidades monetarias), una tasa de interés periódica, el número de períodos y una serie de flujos de efectivo. (En el caso de una deuda, los flujos de efectivo son pagos a cuenta del capital e intereses; en el caso de un activo financiero, son aportaciones o retiros del saldo). De manera más general, los flujos de efectivo pueden no ser periódicos, sino que pueden especificarse individualmente. Cualquiera de estas variables puede ser la variable independiente (la respuesta buscada) en un problema dado. Por ejemplo, se puede saber que: el interés es del 0,5 % por período (por mes, digamos); el número de períodos es 60 (meses); el saldo inicial (de la deuda, en este caso) es de 25 000 unidades; y el saldo final es de 0 unidades. La variable desconocida puede ser el pago mensual que debe realizar el prestatario.

Por ejemplo, 100 libras esterlinas invertidas durante un año, con un interés del 5%, valdrán 105 libras esterlinas después de un año; por lo tanto, 100 libras esterlinas pagadas ahora y 105 libras esterlinas pagadas exactamente un año después tienen el mismo valor para un receptor que espera un interés del 5% suponiendo que la inflación sea del 0%. Es decir, 100 libras esterlinas invertidas durante un año al 5% de interés tienen un valor futuro de 105 libras esterlinas bajo el supuesto de que la inflación sea del 0%. [ 13 ]

Este principio permite valorar un flujo de ingresos probable en el futuro, de manera que los ingresos anuales se descuentan y luego se suman, proporcionando así un "valor presente" global de todo el flujo de ingresos; todos los cálculos estándar para el valor temporal del dinero derivan de la expresión algebraica más básica para el valor presente de una suma futura, "descontada" al presente por una cantidad igual al valor temporal del dinero. Por ejemplo, la suma del valor futuroFV{\displaystyle FV}El importe que se recibirá en un año se descuenta a la tasa de interés.r{\displaystyle r}para dar la suma del valor presentePAGV{\displaystyle PV}:

PAGV=FV(1+r){\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}

Algunos cálculos estándar basados ​​en el valor temporal del dinero son:

  • Valor presente : El valor actual de una suma de dinero futura o un flujo de efectivo futuro , dado un tipo de rendimiento específico . Los flujos de efectivo futuros se "descuentan" a la tasa de descuento  ; cuanto mayor sea la tasa de descuento, menor será el valor presente de los flujos de efectivo futuros. Determinar la tasa de descuento adecuada es clave para valorar correctamente los flujos de efectivo futuros, ya sean ganancias u obligaciones. [ 14 ]
  • Valor presente de una anualidad : Una anualidad es una serie de pagos o ingresos iguales que se producen a intervalos regulares. Los arrendamientos y los pagos de alquiler son ejemplos de ello. En una anualidad ordinaria, los pagos o ingresos se producen al final de cada período, mientras que en una anualidad anticipada se producen al principio de cada período.
El valor presente de una perpetuidad es un flujo infinito y constante de flujos de efectivo idénticos. [ 15 ]
  • Valor futuro : El valor de un activo o efectivo en una fecha específica en el futuro, basado en el valor de ese activo en el presente. [ 16 ]
  • Valor futuro de una anualidad (VFA) : El valor futuro de una serie de pagos (anualidad), suponiendo que dichos pagos se invierten a una tasa de interés determinada.

Existen varias ecuaciones básicas que representan las igualdades mencionadas anteriormente. Las soluciones se pueden encontrar (en la mayoría de los casos) utilizando las fórmulas, una calculadora financiera o una hoja de cálculo . Las fórmulas están programadas en la mayoría de las calculadoras financieras y en varias funciones de hojas de cálculo (como PV, FV, RATE, NPER y PMT). [ 17 ]

Para cualquiera de las ecuaciones que aparecen a continuación, la fórmula también puede reorganizarse para determinar una de las incógnitas. En el caso de la fórmula estándar de anualidad, no existe una solución algebraica de forma cerrada para el tipo de interés (aunque las calculadoras financieras y las hojas de cálculo pueden determinar fácilmente las soluciones mediante algoritmos rápidos de prueba y error).

Estas ecuaciones se combinan frecuentemente para usos específicos. Por ejemplo, el precio de los bonos se puede determinar fácilmente mediante estas ecuaciones. Un bono cupón típico se compone de dos tipos de pagos: una serie de pagos de cupón similares a una anualidad y un pago único al vencimiento del bono , es decir, un pago futuro. Ambas fórmulas se pueden combinar para determinar el valor actual del bono.

Es importante tener en cuenta que la tasa de interés i corresponde al período en cuestión. Para una anualidad con un pago anual, i será la tasa de interés anual. Para una renta o flujo de pagos con un calendario de pagos diferente, la tasa de interés debe convertirse a la tasa de interés periódica correspondiente. Por ejemplo, para una hipoteca con pagos mensuales, la tasa de interés mensual debe dividirse entre 12 (véase el ejemplo a continuación). Consulte el apartado de interés compuesto para obtener más información sobre la conversión entre diferentes tasas de interés periódicas.

La tasa de retorno en los cálculos puede ser la variable que se busca o una variable predefinida que mida una tasa de descuento, un interés, la inflación, una tasa de retorno, el costo del capital propio, el costo de la deuda o cualquier otro concepto análogo. La elección de la tasa adecuada es fundamental para el ejercicio, y el uso de una tasa de descuento incorrecta invalidará los resultados.

Para los cálculos relacionados con anualidades, se debe decidir si los pagos se realizan al final de cada período (conocida como anualidad ordinaria) o al comienzo de cada período (conocida como anualidad anticipada). Al usar una calculadora financiera o una hoja de cálculo , generalmente se puede configurar para cualquiera de los dos cálculos. Las siguientes fórmulas son para una anualidad ordinaria. Para obtener el valor presente de una anualidad anticipada, el PV de una anualidad ordinaria se puede multiplicar por (1 + i ).

Fórmula

La siguiente fórmula utiliza estas variables comunes:

  • PV es el valor en el momento cero (valor presente).
  • FV es el valor en el instante n (valor futuro).
  • A es el valor de los pagos individuales en cada período de capitalización.
  • n es el número de períodos (no necesariamente un número entero).
  • i es la tasa de interés a la que el monto se capitaliza cada período.
  • g es la tasa creciente de pagos durante cada período de tiempo

Valor futuro de una suma presente

La fórmula del valor futuro ( VF ) es similar y utiliza las mismas variables.

FV = PAGV⋅(1+i)norte{\displaystyle FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}}

Valor presente de una suma futura

La fórmula del valor actual es la fórmula fundamental para calcular el valor temporal del dinero; todas las demás fórmulas se derivan de esta. Por ejemplo, la fórmula de la anualidad es la suma de una serie de cálculos del valor actual.

La fórmula del valor presente ( VP ) tiene cuatro variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos :

PAGV = FV(1+i)norte{\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}

El valor presente acumulado de los flujos de efectivo futuros se puede calcular sumando las contribuciones de FV t , el valor del flujo de efectivo en el momento t :

PAGV = ∑t=1norteFVt(1+i)t{\displaystyle PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}}

Nótese que esta serie se puede sumar para un valor dado de n , o cuando n es ∞. [ 18 ] Esta es una fórmula muy general, que conduce a varios casos especiales importantes que se presentan a continuación.

Valor presente de una anualidad durante n períodos de pago

En este caso, los flujos de efectivo se mantienen constantes a lo largo de los n períodos. La fórmula del valor presente de una anualidad (VPA) tiene cuatro variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos:

PAGV(A)=Ai⋅[1−1(1+i)norte]{\displaystyle PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]}

Para obtener el valor presente de una anualidad anticipada , multiplique la ecuación anterior por (1 + i ).

Valor actual de una anualidad creciente

En este caso, cada flujo de efectivo crece por un factor de (1 + g ). De forma similar a la fórmula de una anualidad, el valor presente de una anualidad creciente (VPAG) utiliza las mismas variables, con la adición de g como tasa de crecimiento de la anualidad (A es el pago de la anualidad en el primer período). Este es un cálculo que rara vez se incluye en las calculadoras financieras.

Donde i ≠ g  :

PAGV(A)=A(i−gramo)[1−(1+gramo1+i)norte]{\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over (ig)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}

Donde i = g  :

PAGV(A)=A×norte1+i{\displaystyle PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}}

Para obtener el valor presente de una anualidad creciente anticipada , multiplique la ecuación anterior por (1 + i ).

Valor actual de una anualidad creciente y una pensión de prestación fija.

Cómo calcular el valor presente del ajuste por costo de vida que se sumará a su pago de pensión de beneficio fijo. El factor de crecimiento (1+g) se aplica tanto a los flujos de efectivo como a la pensión fija. F. A es el primer pago.

PAGV(A)=A+Fi−gramo[1−(1+gramo1+i)norte]−Fi[1−1(1+i)norte]{\displaystyle PV(A)\,=\,{A+F \over ig}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]-{F \over i}\left[1-{1 \over (1+i)^{n}}\right]}

Para hallar el valor presente (VP) necesario para proporcionar un ajuste por costo de vida para una pensión, establezca A = 0, de modo que:

  • No se paga nada durante el primer año.
  • El segundo año paga una cantidad igual aF×gramo{\displaystyle F\times g}
  • El tercer año pagaF(1+gramo)2 menos F{\displaystyle F(1+g)^{2}{\text{ menos }}F}
  • El cuarto año pagaF(1+gramo)3 menos F{\displaystyle F(1+g)^{3}{\text{ minus }}F}, etcétera

Si el valor presente (VP) es mayor que el necesario, el excedente se distribuye entre los pagos futuros, aumentando cada año en un factor de (1+g), lo que resulta en una anualidad creciente. Si el VP es demasiado pequeño, el pago se vuelve negativo, lo que significa que la pensión debe reducirse en esa cantidad para poder añadir el ajuste por costo de vida.

Valor presente de una perpetuidad

Una perpetuidad consiste en pagos de una cantidad fija de dinero que se realizan periódicamente y continúan indefinidamente. Cuando n → ∞, la fórmula del valor presente de una perpetuidad (una anualidad perpetua) se reduce a una simple división.

PAGV(PAG) = Ai{\displaystyle PV(P)\ =\ {A \over i}}

Valor actual de una perpetuidad creciente

Cuando el pago de la anualidad perpetua crece a una tasa fija ( g , con g < i ), el valor se determina según la siguiente fórmula, obtenida al establecer n en infinito en la fórmula anterior para una perpetuidad creciente:

PAGV(A)=Ai−gramo{\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over i-g}}

En la práctica, existen pocos valores con características precisas, y la aplicación de este método de valoración está sujeta a diversas salvedades y modificaciones. Lo más importante es que es raro encontrar una renta vitalicia perpetua creciente con tasas de crecimiento fijas y una verdadera generación de flujo de efectivo perpetuo. A pesar de estas salvedades, el método general puede utilizarse en la valoración de bienes inmuebles, acciones y otros activos.

Este es el conocido modelo de crecimiento de Gordon, utilizado para la valoración de acciones .

Valor futuro de una anualidad

La fórmula del valor futuro (después de n períodos) de una anualidad (FVA) tiene cuatro variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos:

FV(A)=A⋅(1+i)norte−1i{\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}

Para obtener el valor futuro de una anualidad anticipada, multiplique la ecuación anterior por (1 + i ).

Valor futuro de una anualidad creciente

La fórmula del valor futuro (después de n períodos) de una anualidad creciente (FVA) tiene cinco variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos:

Donde i ≠ g  :

FV(A)=A⋅(1+i)norte−(1+gramo)nortei−gramo{\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}}

Donde i = g  :

FV(A)=A⋅norte(1+i)norte−1{\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}}

Tabla de fórmulas

La siguiente tabla resume las diferentes fórmulas comúnmente utilizadas para calcular el valor temporal del dinero. [ 19 ] Estos valores suelen aparecer en tablas donde se especifican la tasa de interés y el tiempo.

Notas:

  • A es un monto de pago fijo, cada período
  • G es el monto de pago inicial de un monto de pago creciente, que comienza en G y aumenta en G para cada período subsiguiente.
  • D es el monto de pago inicial de un monto de pago que aumenta exponencialmente (geométricamente), que comienza en D y aumenta por un factor de (1 + g ) en cada período subsiguiente.

Derivaciones

Derivación de anualidades

La fórmula para el valor presente de un flujo regular de pagos futuros (una anualidad) se deriva de la suma de la fórmula para el valor futuro de un único pago futuro, como se muestra a continuación, donde C es el monto del pago y n el período.

Un único pago C en un momento futuro m tiene el siguiente valor futuro en un momento futuro n :

FV =do(1+i)norte−metro{\displaystyle FV\ =C(1+i)^{n-m}}

Sumando todos los pagos desde el tiempo 1 hasta el tiempo n , luego invirtiendo el orden de los términos y sustituyendo k = n − m :

FVA =∑metro=1nortedo(1+i)norte−metro =∑k=0norte−1do(1+i)k{\displaystyle FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}}

Nótese que se trata de una serie geométrica , cuyo valor inicial es a = C , cuyo factor multiplicativo es 1 + i , y que tiene n términos. Aplicando la fórmula para series geométricas, obtenemos:

FVA =do(1−(1+i)norte)1−(1+i) =do(1−(1+i)norte)−i{\displaystyle FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}}

El valor presente de la anualidad (VPA) se obtiene simplemente dividiendo por(1+i)norte{\displaystyle (1+i)^{n}}:

PAGVA =FVA(1+i)norte=doi(1−1(1+i)norte){\displaystyle PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}

Otra forma sencilla e intuitiva de calcular el valor futuro de una anualidad es considerar un fondo de dotación, cuyos intereses se pagan como una anualidad y cuyo capital permanece constante. El capital de este fondo hipotético se puede calcular como aquel cuyos intereses son iguales al monto del pago de la anualidad:

Principal×i=do{\displaystyle {\text{Principal}}\times i=C}
Principal=doi+meta{\displaystyle {\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}}

Tenga en cuenta que no entra ni sale dinero del sistema combinado de capital de dotación + pagos de anualidades acumuladas, por lo que el valor futuro de este sistema se puede calcular simplemente mediante la fórmula del valor futuro:

FV=PAGV(1+i)norte{\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}}

Inicialmente, antes de cualquier pago, el valor presente del sistema es solo el capital inicial,PAGV=doi{\displaystyle PV={\frac {C}{i}}}. Al final, el valor futuro es el capital de la dotación (que es el mismo) más el valor futuro de los pagos totales de la anualidad (FV=doi+FVA{\displaystyle FV={\frac {C}{i}}+FVA}). Sustituyendo esto de nuevo en la ecuación:

doi+FVA=doi(1+i)norte{\displaystyle {\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}}
FVA=doi[(1+i)norte−1]{\displaystyle FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]}

Anualidad creciente y derivación de pensión de beneficio fijo

  • C = Primer pago que aumenta en g cada año
  • F = Pensión fija

Consideremos esto como un escenario de prestamista/prestatario, donde el prestamista se encuentra a la izquierda del signo de igualdad y el prestatario a la derecha.

Al final de un préstamo de 1 año, un ahorrador vería crecer su dinero en 1+i o PV(1+i). Si en cambio prestara este dinero a un prestatario, este tendría que hacer un pago C al prestamista. Igualar estos montos daría como resultado

norte=1:PAGV(1+i)=(do+F)−F{\displaystyle n=1:PV(1+i)=(C+F)-F}

Al final de un préstamo de 2 años, un ahorrador vería crecer su dinero en otro 1+i para un monto total dePAGV(1+i)2{\displaystyle PV(1+i)^{2}}Si en cambio prestara este dinero, el prestatario tendría que hacer dos pagos. El primer pago (C+F)-F comenzaría a generar intereses ya que se ha devuelto. Su segundo pago (C+F) aumentaría en 1+g. La pensión F se mantendría igual.

norte=2:PAGV(1+i)2=(do+F)(1+i)−F(1+i)+(do+F)(1+gramo)−F{\displaystyle {\begin{aligned}n=2:PV(1+i)^{2}=&(C+F)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)-F\end{aligned}}}

Al final de un préstamo de 3 años, un ahorrador vería crecer su dinero en otro 1+i para un monto total dePAGV(1+i)3{\displaystyle PV(1+i)^{3}}Si en cambio prestara este dinero, el prestatario tendría que realizar tres pagos. Los dos primeros generarían un interés adicional de (1+i). El tercer pago generaría un interés adicional de 1+g y la pensión seguiría siendo la misma.

norte=3:PAGV(1+i)3=(do+F)(1+i)2−F(1+i)2+(do+F)(1+gramo)(1+i)−F(1+i)+(do+F)(1+gramo)2−F{\displaystyle {\begin{aligned}n=3:PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+i)^{2}-F(1+i)^{2}\\&+(C+F)(1+g)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)^{2}-F\end{aligned}}}

Simplifica el préstamo a 3 años y generalízalo al final para n años. Comienza combinando los términos (C+F) y F.

PAGV(1+i)3=(do+F)(1+gramo)2[(1+i1+gramo)2+1+i1+gramo+1]−F[(1+i)2+(1+i)+1]{\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\left[\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{2}+{\frac {1+i}{1+g}}+1\right]\\&-F\left[(1+i)^{2}+(1+i)+1\right]\end{aligned}}}

Escribe estos términos en notación de sumatoria.

PAGV(1+i)3=(do+F)(1+gramo)2∑k=02(1+i1+gramo)k−F∑k=02(1+i)k{\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\sum _{k=0}^{2}\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{k}\\&-F\sum _{k=0}^{2}(1+i)^{k}\end{aligned}}}

Reescribe esto en forma cerrada usando la fórmula de la serie geométrica.∑k=0norterk=rnorte+1−1r−1{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}r^{k}={\frac {r^{n+1}-1}{r-1}}}

PAGV(1+i)3=(do+F)(1+gramo)2[(1+i1+gramo)3−1(1+i1+gramo)−1]−F[(1+i)3−1(1+i)−1]{\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)-1}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{(1+i)-1}}\right]\end{aligned}}}

Multiplica el numerador y el denominador del término C+F por (1+g) y cancela los 1 del término F.

PAGV(1+i)3=(do+F)(1+gramo)3[(1+i1+gramo)3−11+i−(1+gramo)]−F[(1+i)3−1i]{\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{3}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{1+i-(1+g)}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right]\end{aligned}}}

Multiplica el(1+gramo)3{\displaystyle (1+g)^{3}}en el término C+F a través de los corchetes.

PAGV(1+i)3=(do+F)[(1+i)3−(1+gramo)3i−gramo]−F[(1+i)3−1i]{\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)\left[{\frac {(1+i)^{3}-(1+g)^{3}}{i-g}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right]\end{aligned}}}

Divide ambos lados por(1+i)3{\displaystyle (1+i)^{3}}y generalizamos reemplazando el exponente 3 por n.

PAGV=do+Fi−gramo[1−(1+gramo1+i)norte]−Fi[1−1(1+i)norte]{\displaystyle {\begin{aligned}PV={\frac {C+F}{i-g}}\left[1-\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}\right]-{\frac {F}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right]\end{aligned}}}

Derivación de la perpetuidad

Sin mostrar aquí la derivación formal, la fórmula de la perpetuidad se deriva de la fórmula de la anualidad. Específicamente, el término:

(1−1(1+i)norte){\displaystyle \left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)}

Se puede observar que se aproxima al valor de 1 a medida que n aumenta. En el infinito, es igual a 1, dejandodoi{\displaystyle {C \over i}}como el único término restante.

Composición continua

En ocasiones, las tasas se convierten a su equivalente de interés compuesto continuo porque este resulta más conveniente (por ejemplo, es más fácil de diferenciar). Cada una de las fórmulas anteriores puede expresarse en su equivalente continuo. Por ejemplo, el valor presente en el momento 0 de un pago futuro en el momento t puede expresarse de la siguiente manera, donde e es la base del logaritmo natural y r es la tasa de interés compuesto continuo:

Fotovoltaica=FV⋅mi−rt{\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}

Esto se puede generalizar a tasas de descuento que varían con el tiempo: en lugar de una tasa de descuento constante r, se utiliza una función del tiempo r ( t ). En ese caso, el factor de descuento, y por lo tanto el valor presente, de un flujo de efectivo en el tiempo T viene dado por la integral de la tasa capitalizada continuamente r ( t ):

Fotovoltaica=FV⋅exp⁡(−∫0Tr(t)dt){\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}

De hecho, una razón fundamental para utilizar la capitalización continua es simplificar el análisis de diferentes tasas de descuento y permitir el uso de herramientas de cálculo. Además, para los intereses acumulados y capitalizados durante la noche (y, por lo tanto, capitalizados diariamente), la capitalización continua se aproxima bastante a la capitalización diaria real. Un análisis más sofisticado incluye el uso de ecuaciones diferenciales , como se detalla a continuación.

Ejemplos

El uso de la composición continua produce las siguientes fórmulas para diversos instrumentos:

Anualidad
 PAGV = A(1−mi−rt)mir−1{\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}
Perpetuidad
 PAGV = Amir−1{\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}
Anualidad creciente
 PAGV = Ami−gramo(1−mi−(r−gramo)t)mi(r−gramo)−1{\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}
Crecimiento perpetuo
 PAGV = Ami−gramomi(r−gramo)−1{\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}}
Anualidad con pagos continuos
 PAGV = 1−mi(−rt)r{\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}

Estas fórmulas suponen que el pago A se realiza en el primer período de pago y que la anualidad termina en el tiempo t . [ 20 ]

Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales (EDO y EDP), ecuaciones que involucran derivadas y una (o varias) variables, respectivamente, son omnipresentes en los tratamientos más avanzados de las matemáticas financieras . Si bien el valor temporal del dinero puede entenderse sin utilizar el marco de las ecuaciones diferenciales, la sofisticación añadida arroja más luz sobre el valor temporal y proporciona una introducción sencilla antes de considerar situaciones más complejas y menos familiares. Esta exposición sigue ( Carr y Flesaker, 2006 , págs. 6-7) .

El cambio fundamental que aporta la perspectiva de las ecuaciones diferenciales es que, en lugar de calcular un número (el valor presente ahora ), se calcula una función (el valor presente ahora o en cualquier momento futuro ). Esta función puede analizarse (¿cómo cambia su valor con el tiempo?) o compararse con otras funciones.

Formalmente, la afirmación de que "el valor disminuye con el tiempo" se da definiendo el operador diferencial lineal.L{\displaystyle {\mathcal {L}}}como:

L:=−∂t+r(t).{\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}

Esto indica que el valor disminuye (−) con el tiempo (∂ t ) a la tasa de descuento ( r ( t )). Aplicado a una función, resulta en:

LF=−∂tF(t)+r(t)F(t).{\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}

Para un instrumento cuyo flujo de pagos se describe mediante f ( t ), el valor V ( t ) satisface la ecuación diferencial ordinaria de primer orden no homogénea.LV=F{\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}("inhomogéneo" se debe a que se tiene f en lugar de 0, y "de primer orden" se debe a que se tienen derivadas de primer orden pero no derivadas de orden superior); esto codifica el hecho de que cuando se produce un flujo de efectivo, el valor del instrumento cambia en el valor de dicho flujo (si se recibe un cupón de 10 libras, el valor restante disminuye exactamente en 10 libras).

La herramienta técnica estándar en el análisis de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son las funciones de Green , a partir de las cuales se pueden construir otras soluciones. En términos del valor temporal del dinero, la función de Green (para la EDO del valor temporal) es el valor de un bono que paga 1 libra esterlina en un instante u ; el valor de cualquier otro flujo de efectivo se puede obtener combinando este flujo de efectivo básico. Matemáticamente, este flujo de efectivo instantáneo se modela como una función delta de Dirac.δtú(t):=δ(t−tú).{\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}

La función de Green para el valor en el tiempo t de un flujo de efectivo de £1 en el tiempo u es

b(t;tú):=H(tú−t)⋅exp⁡(−∫ttúr(v)dv){\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}

donde H es la función escalón de Heaviside . La notación ";tú{\displaystyle ;u}" es para enfatizar que u es un parámetro (fijo en cualquier instancia: el momento en que ocurrirá el flujo de efectivo), mientras que t es una variable (tiempo). En otras palabras, los flujos de efectivo futuros se descuentan exponencialmente (exp) por la suma (integral,∫{\displaystyle \textstyle {\int }}) de las tasas de descuento futuras (∫ttú{\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}para el futuro, r ( v ) para las tasas de descuento), mientras que los flujos de efectivo pasados ​​valen 0 (H(tú−t)=1 si t<tú,0 si t>tú{\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}), porque ya han ocurrido. Cabe señalar que el valor en el momento de un flujo de efectivo no está bien definido: existe una discontinuidad en ese punto, y se puede utilizar una convención (suponer que los flujos de efectivo ya han ocurrido, o que aún no han ocurrido), o simplemente no definir el valor en ese punto.

En caso de que la tasa de descuento sea constante,r(v)≡r,{\displaystyle r(v)\equiv r,}esto se simplifica a

b(t;tú)=H(tú−t)⋅mi−(tú−t)r={mi−(tú−t)rt<tú0t>tú,{\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}

dónde(tú−t){\displaystyle (u-t)}es "tiempo restante hasta que se genere flujo de caja".

Por lo tanto, para una serie de flujos de efectivo f ( u ) que termina en el tiempo T (que puede establecerse enT=+∞{\displaystyle T=+\infty }(sin horizonte temporal) el valor en el instante t,V(t;T){\displaystyle V(t;T)}se obtiene combinando los valores de estos flujos de efectivo individuales:

V(t;T)=∫tTF(tú)b(t;tú)dtú.{\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}

Esto formaliza el valor temporal del dinero en valores futuros de flujos de efectivo con tasas de descuento variables, y es la base de muchas fórmulas en matemáticas financieras, como la fórmula de Black-Scholes con tasas de interés variables .

Véase también

Notas

Referencias

  • Carr, Peter; Flesaker, Bjorn (2006), Replicación robusta de reclamaciones contingentes por incumplimiento (diapositivas de presentación) (PDF) , Bloomberg LP , archivado del original (PDF) el 27 de febrero de 2009. Véase también la presentación de audio y el artículo .{{citation}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda ) CS1 maint: postscript ( enlace )
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  • Libro electrónico sobre el valor del dinero en el tiempo