dilatación del tiempo

La dilatación del tiempo puede inferirse de la constancia observada de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia, dictada por el segundo postulado de la relatividad especial . Esta constancia de la velocidad de la luz implica que, contrariamente a la intuición, las velocidades de los objetos materiales y de la luz no son aditivas. No es posible hacer que la velocidad de la luz parezca mayor acercándose o alejándose de la fuente de luz. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

La relatividad del tiempo puede ilustrarse con un experimento mental basado en un reloj vertical abstracto que consta de dos espejos A y B , entre los cuales rebota un pulso de luz. ^{[ 17 ]} La separación entre los espejos es L y el reloj da un tic cada vez que el pulso de luz incide en el espejo A. En el sistema de referencia en el que el reloj está en reposo (véase la parte izquierda del diagrama), el pulso de luz traza una trayectoria de longitud 2L y el período de tiempo entre los tics del reloj .${\displaystyle \Delta t}$es igual a 2 L dividido por la velocidad de la luz c :

${\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

Desde el sistema de referencia de un observador en movimiento que viaja a la velocidad v con respecto al sistema de referencia en reposo del reloj (parte derecha del diagrama), el pulso de luz se ve trazando una trayectoria más larga y en ángulo 2D . Mantener la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales requiere un alargamiento (es decir, una dilatación) del período de tiempo entre los tics de este reloj.${\displaystyle \Delta t'}$desde la perspectiva del observador en movimiento. Es decir, medido en un marco que se mueve con respecto al reloj local, este reloj funcionará (es decir, hará tictac) más lentamente, ya que la frecuencia de los tictacs es igual a uno dividido por el período de tiempo entre tictacs 1/${\displaystyle \Delta t'}$.

La aplicación directa del teorema de Pitágoras conduce a la conocida predicción de la relatividad especial:

El tiempo total que tarda el pulso de luz en recorrer su trayectoria viene dado por:

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

La longitud del semirrecorrido se puede calcular en función de cantidades conocidas de la siguiente manera:

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

La eliminación de las variables D y L de estas tres ecuaciones da como resultado:

lo cual expresa el hecho de que el período del observador en movimiento del reloj${\displaystyle \Delta t'}$es más largo que el período${\displaystyle \Delta t}$en el marco del propio reloj. El factor de Lorentz gamma ( γ ) se define como ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dado que todos los relojes que tienen un período común en el sistema de referencia en reposo deberían tener un período común cuando se observan desde el sistema de referencia en movimiento, todos los demás relojes —mecánicos , electrónicos, ópticos (como una versión horizontal idéntica del reloj del ejemplo) — deberían exhibir la misma dilatación del tiempo dependiente de la velocidad. ^{[ 19 ]}

Dado un determinado marco de referencia y el observador "estacionario" descrito anteriormente, si un segundo observador acompañara al reloj "en movimiento", cada uno de los observadores mediría el reloj del otro como si marcara el tiempo a un ritmo más lento que su propio reloj local, debido a que ambos medirían al otro como el que está en movimiento en relación con su propio marco de referencia estacionario.

El sentido común dictaría que, si el paso del tiempo se ralentiza para un objeto en movimiento, dicho objeto percibiría que el tiempo del mundo exterior se acelera en consecuencia. Paradójicamente, la relatividad especial predice lo contrario. Cuando dos observadores se mueven uno con respecto al otro, cada uno medirá que el reloj del otro se ralentiza, en concordancia con su propio movimiento con respecto al sistema de referencia del observador.

Aunque parezca contradictorio, una peculiaridad similar ocurre en la vida cotidiana. Si dos personas, A y B, se observan desde la distancia, B parecerá pequeña para A, pero al mismo tiempo, A parecerá pequeña para B. Conociendo los efectos de la perspectiva , no hay contradicción ni paradoja en esta situación. ^{[ 20 ]}

La reciprocidad del fenómeno también conduce a la llamada paradoja de los gemelos , donde se compara el envejecimiento de dos gemelos, uno que permanece en la Tierra y otro que emprende un viaje espacial, y donde la reciprocidad sugiere que ambos deberían tener la misma edad al reunirse. Por el contrario, al final del viaje de ida y vuelta, el gemelo viajero será más joven que su hermano en la Tierra. El dilema que plantea la paradoja se explica por el hecho de que la situación no es simétrica. El gemelo que permanece en la Tierra se encuentra en un único sistema de referencia inercial, y el gemelo viajero se encuentra en dos sistemas de referencia inerciales diferentes: uno en el viaje de ida y otro en el viaje de vuelta. Véase también Paradoja de los gemelos §  Papel de la aceleración .

Diagrama de Minkowski y paradoja de los gemelos

Reloj C en movimiento relativo entre dos relojes sincronizados A y B. C se encuentra con A en d , y con B en f .

Paradoja de los gemelos . Uno de los gemelos tiene que cambiar de marco de referencia, lo que da lugar a diferentes tiempos propios en las líneas de universo de ambos gemelos.

En el diagrama de Minkowski de la primera imagen de la derecha, el reloj C, situado en el sistema de referencia inercial S′, se encuentra con el reloj A en d y con el reloj B en f (ambos en S). Los tres relojes comienzan a funcionar simultáneamente en S. La línea de universo de A es el eje ct, la línea de universo de B que interseca f es paralela al eje ct, y la línea de universo de C es el eje ct′. Todos los eventos simultáneos con d en S se encuentran en el eje x, y en S′ en el eje x′.

El tiempo propio entre dos eventos está indicado por un reloj presente en ambos eventos. ^{[ 27 ]} Es invariante, es decir, en todos los sistemas de referencia inerciales se acepta que este tiempo está indicado por ese reloj. El intervalo df es, por lo tanto, el tiempo propio del reloj C, y es más corto con respecto a los tiempos de coordenadas ef=dg de los relojes B y A en S. Recíprocamente, también el tiempo propio ef de B es más corto con respecto al tiempo if en S′, porque el evento e ya se midió en S′ en el tiempo i debido a la relatividad de la simultaneidad, mucho antes de que C comenzara a funcionar.

De ello se deduce que el tiempo propio entre dos eventos, indicado por un reloj no acelerado presente en ambos, comparado con el tiempo de coordenadas sincronizadas medido en todos los demás sistemas de referencia inerciales, es siempre el intervalo de tiempo mínimo entre dichos eventos. Sin embargo, el intervalo entre dos eventos también puede corresponder al tiempo propio de relojes acelerados presentes en ambos. Entre todos los posibles tiempos propios entre dos eventos, el tiempo propio del reloj no acelerado es máximo , lo cual constituye la solución a la paradoja de los gemelos . ^{[ 27 ]}

Además del reloj de luz utilizado anteriormente, la fórmula para la dilatación del tiempo se puede derivar de forma más general de la parte temporal de la transformación de Lorentz . ^{[ 28 ]} Supongamos que hay dos eventos en los que el reloj en movimiento indica${\displaystyle t_{a}}$y${\displaystyle t_{b}}$, de este modo:

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dado que el reloj permanece en reposo en su marco inercial, sigue${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$, por lo tanto el intervalo${\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$está dado por:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

donde Δt , conocido como tiempo propio , es el intervalo de tiempo entre dos eventos colocales (es decir, que ocurren en el mismo lugar) para un observador en algún sistema de referencia inercial (por ejemplo, los tics de su reloj), Δt ′ es el intervalo de tiempo entre esos mismos eventos, medido por otro observador, que se mueve inercialmente con velocidad v con respecto al observador anterior, v es la velocidad relativa entre el observador y el reloj en movimiento, c es la velocidad de la luz, y el factor de Lorentz (denotado convencionalmente por la letra griega gamma o γ ) es:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

Así, se observa que la duración del ciclo de un reloj en movimiento aumenta: se mide que "se retrasa". El rango de tales variaciones en la vida cotidiana, donde v ≪ c , incluso considerando los viajes espaciales, no es lo suficientemente grande como para producir efectos de dilatación del tiempo fácilmente detectables, y tales efectos infinitesimalmente pequeños pueden ignorarse con seguridad para la mayoría de los propósitos. Como umbral aproximado, una dilatación del tiempo del 0,5 % puede volverse importante cuando un objeto se aproxima a velocidades del orden de 30 000  km/s (1/10 de la velocidad de la luz). ^{[ 29 ]}

En la relatividad especial, la dilatación del tiempo se describe de forma más sencilla en circunstancias donde la velocidad relativa es constante. Sin embargo, las ecuaciones de Lorentz permiten calcular el tiempo propio y el movimiento en el espacio para el caso simple de una nave espacial a la que se le aplica una fuerza por unidad de masa, con respecto a un objeto de referencia en movimiento uniforme (es decir, a velocidad constante), igual a g durante todo el período de medición.

Sea t el tiempo en un sistema de referencia inercial, denominado posteriormente sistema de referencia en reposo. Sea x una coordenada espacial, y sea la dirección de la aceleración constante, así como la velocidad de la nave espacial (relativa al sistema de referencia en reposo), paralela al eje x . Suponiendo que la posición de la nave espacial en el instante t = 0 es x = 0 y la velocidad es v = ₀ , y definiendo la siguiente abreviatura:

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}$

Las siguientes fórmulas son válidas: ^{[ 30 ]}

Posición:

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

Velocidad:

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Tiempo propio en función del tiempo coordenado:

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

En el caso en que v (0) = v ₀ = 0 y τ (0) = τ ₀ = 0 la integral se puede expresar como una función logarítmica o, equivalentemente, como una función hiperbólica inversa :

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

Como funciones del tiempo propio${\displaystyle \tau }$del barco, se cumplen las siguientes fórmulas: ^{[ 31 ]}

Posición:

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

Velocidad:

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

Coordinar el tiempo en función del tiempo propio:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

La hipótesis del reloj es la suposición de que la tasa a la que un reloj se ve afectado por la dilatación del tiempo no depende de su aceleración, sino solo de su velocidad instantánea. Esto es equivalente a afirmar que un reloj que se mueve a lo largo de una trayectoria${\displaystyle P}$mide el tiempo adecuado , definido por:

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

La hipótesis del reloj se incluyó implícitamente (pero no explícitamente) en la formulación original de la relatividad especial de Einstein de 1905. Desde entonces, se ha convertido en una suposición estándar y suele incluirse en los axiomas de la relatividad especial, especialmente a la luz de la verificación experimental hasta aceleraciones muy altas en aceleradores de partículas . ^{[ 32 ] [ 33 ]}

• En 1959, Robert Pound y Glen Rebka midieron el muy leve desplazamiento al rojo gravitacional en la frecuencia de la luz emitida a menor altura, donde el campo gravitatorio terrestre es relativamente más intenso. Los resultados se encontraban dentro del 10 % de las predicciones de la relatividad general. En 1964, Pound y J.L. Snider midieron un resultado dentro del 1 % del valor predicho por la dilatación del tiempo gravitacional. ^{[ 36 ]} (Véase el experimento de Pound-Rebka )
• En 2010, se midió la dilatación del tiempo gravitacional en la superficie de la Tierra con una diferencia de altura de solo un metro, utilizando relojes atómicos ópticos. ^{[ 26 ]}

• En 1971, Hafele y Keating transportaron relojes atómicos de cesio alrededor de la Tierra en aviones comerciales, en direcciones este y oeste, para comparar el tiempo transcurrido con el de un reloj que permanecía en el Observatorio Naval de los Estados Unidos . Se observaron dos efectos opuestos. Se esperaba que los relojes envejecieran más rápidamente (mostraran un mayor tiempo transcurrido) que el reloj de referencia, ya que se encontraban en un potencial gravitatorio más alto (más débil) durante la mayor parte del viaje (véase el experimento de Pound-Rebka ). Pero, por otro lado, se esperaba que los relojes en movimiento envejecieran más lentamente debido a la velocidad de su desplazamiento. A partir de las trayectorias de vuelo reales de cada viaje, la teoría predijo que los relojes en vuelo, en comparación con los relojes de referencia del Observatorio Naval de los Estados Unidos, deberían haber perdido 40 ± 23  nanosegundos durante el viaje hacia el este y haber ganado 275 ± 21  nanosegundos durante el viaje hacia el oeste. En relación con la escala de tiempo atómico del Observatorio Naval de los EE. UU., los relojes voladores perdieron 59 ± 10 nanosegundos durante el viaje hacia el este y ganaron 273 ± 7 nanosegundos durante el viaje hacia el oeste (donde las barras de error representan la desviación estándar). ^{[ 40 ]} En 2005, el Laboratorio Nacional de Física del Reino Unido informó sobre su replicación limitada de este experimento. ^{[ 41 ]} El experimento del NPL difirió del original en que los relojes de cesio se enviaron en un viaje más corto (Londres-Washington, D.C. ida y vuelta), pero los relojes fueron más precisos. Los resultados informados están dentro del 4 % de las predicciones de la relatividad, dentro de la incertidumbre de las mediciones.
• El Sistema de Posicionamiento Global puede considerarse un experimento en funcionamiento continuo tanto en la relatividad especial como en la general. Los relojes en órbita se corrigen para los efectos de dilatación del tiempo relativistas, tanto especiales como generales, como se describió anteriormente , de modo que (vistos desde la superficie terrestre) funcionan al mismo ritmo que los relojes en la superficie de la Tierra. ^{[ 42 ]}

La naturaleza impredecible de la dilatación del tiempo la convierte en un tema frecuente de malentendidos. Una forma de este malentendido sostiene que la dilatación del tiempo se aplica únicamente a los relojes basados ​​en la luz, como el «reloj de luz» utilizado en muchas derivaciones de la transformación de Lorentz en los libros de texto, y no a los dispositivos de medición del tiempo mecánicos, atómicos o biológicos. Este malentendido puede llevar a conclusiones erróneas sobre resultados experimentales, como el experimento de Hafele-Keating, que involucró relojes atómicos lanzados alrededor de la Tierra. ^{[ 43 ]}

Para abordar este problema, el físico Val G. Rousseau propuso un experimento mental conocido como el Gato de Einstein . ^{[ 43 ]} El escenario involucra un dispositivo ficticio —el reloj Sincronizar o Morir— que compara la sincronización de un reloj de luz y un cronómetro mecánico. La vida de un gato depende de la sincronización precisa entre estos dos relojes cuando se analizan en diferentes sistemas de referencia inerciales. La paradoja surge cuando se supone que la dilatación del tiempo se aplica solo al pulso de luz, pero no al reloj mecánico. Bajo esta suposición incorrecta, se esperaría que el gato muriera solo si los observadores se mueven con respecto a él. La aparente contradicción se resuelve cuando se reconoce que ambos relojes están igualmente sujetos a la dilatación del tiempo relativista. Esto ilustra el principio fundamental de que la dilatación del tiempo es una característica universal de la relatividad especial, independiente del mecanismo interno del reloj.