Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Ley de Titius-Bode

La ley de Titius-Bode (a veces llamada simplemente ley de Bode ) es una fórmula que predice la distancia entre los planetas de cualquier sistema planetario . La fórmula sugiere ...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La ley de Titius-Bode (a veces llamada simplemente ley de Bode ) es una fórmula que predice la distancia entre los planetas de cualquier sistema planetario . La fórmula sugiere que, extendiéndose hacia afuera, cada planeta debería estar aproximadamente al doble de la distancia del Sol que el anterior. Esta hipótesis predijo correctamente las órbitas de Ceres (en el cinturón de asteroides ) y Urano , pero falló al predecir la órbita de Neptuno . Recibe su nombre de Johann Daniel Titius y Johann Elert Bode .

Trabajos posteriores de Mary Adela Blagg y DE Richardson revisaron significativamente la fórmula original y formularon predicciones que posteriormente fueron validadas por nuevos descubrimientos y observaciones. Son estas reformulaciones las que ofrecen «las mejores representaciones fenomenológicas de distancias para investigar la importancia teórica de las leyes de tipo Titius-Bode». [ 1 ]

Fórmula original

La ley relaciona el semieje mayoranorte{\displaystyle a_{n}}de la órbita de cada planeta hacia afuera desde el Sol en unidades tales que el semieje mayor de la Tierra sea igual a 10:a=4+incógnita{\displaystyle a=4+x}dóndeincógnita=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768…{\displaystyle x=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768\ldots }De tal manera que, con la excepción del primer paso, cada valor es el doble del valor anterior. Existe otra representación de la fórmula:a=4+3×2norte{\displaystyle a=4+3\times 2^{n}}dóndenorte=−∞,0,1,2,… .{\displaystyle n=-\infty ,0,1,2,\ldots ~.}Los valores resultantes se pueden dividir por 10 para convertirlos en unidades astronómicas ( ua ), lo que da como resultado la expresión:a=0,4+0,3×2norte.{\displaystyle a=0.4+0.3\times 2^{n}.}Para los planetas más lejanos del Sol, más allá de Saturno , se predice que cada planeta se encuentra aproximadamente al doble de distancia del Sol que el objeto anterior. Mientras que la ley de Titius-Bode predice que Saturno , Urano , Neptuno y Plutón se encuentran a unas 10, 20, 39 y 77 UA , respectivamente, los valores reales están más cerca de 10, 19, 30 y 40 UA . [ a ]  

La forma "clásica" (canónica) de la ley de Titius-Bode esanorte=0,4+0,3×2norte{\displaystyle a_{n}=0.4+0.3\times 2^{n}}Esta fórmula también tiene una forma "recursiva":anorte+1=2×anorte−0,4{\displaystyle a_{n+1}=2\times a_{n}-0.4}, dóndea0=0,55.{\displaystyle a_{0}=0.55.}

Origen e historia

Juan Daniel Ticio (1729-1796)
Johann Elert Bode (1747–1826)

La primera mención de una serie que se aproxima a la ley de Bode se encuentra en un libro de texto de D. Gregory (1715): [ 2 ]

... suponiendo que la distancia de la Tierra al Sol se divida en diez partes iguales, de estas la distancia de Mercurio será aproximadamente cuatro, la de Venus siete, la de Marte quince, la de Júpiter cincuenta y dos, y la de Saturno noventa y cinco. [ 3 ]

Una frase similar, probablemente parafraseada de Gregory (1715), [ 2 ] [ 3 ] aparece en una obra publicada por C. Wolff en 1724.

En 1764, C. Bonnet escribió: [ 4 ]

Conocemos diecisiete planetas [es decir, planetas principales y sus satélites] que forman parte de la composición de nuestro sistema solar; pero no estamos seguros de que no haya más. [ 4 ] [ 3 ]

En su traducción de la obra de Bonnet de 1766, J. D. Titius añadió dos párrafos propios a la afirmación anterior. Estas inserciones se ubicaron al final de la página  7 y al principio de la página  8. El nuevo párrafo no figura en el texto original francés de Bonnet, ni en las traducciones de la obra al italiano ni al inglés.

El texto insertado por Titius consta de dos partes. La primera explica la sucesión de distancias planetarias al Sol:

Tome nota de las distancias de los planetas entre sí, y reconozca que casi todos están separados entre sí en una proporción que coincide con sus magnitudes corporales. Divida la distancia del Sol a Saturno en 100 partes; entonces Mercurio está separado del Sol por cuatro de esas partes, Venus por 4+3=7 de esas partes, la Tierra por 4+6=10, Marte por 4+12=16. Pero observe que de Marte a Júpiter hay una desviación de esta progresión tan exacta. Desde Marte hay un espacio de 4+24=28 de esas partes, pero hasta ahora no se ha avistado ningún planeta allí. Pero ¿debería el Señor Arquitecto haber dejado ese espacio vacío? De ninguna manera. Supongamos, pues, que este espacio pertenece sin duda a los satélites aún no descubiertos de Marte, agreguemos también que tal vez Júpiter todavía tenga a su alrededor algunos más pequeños que aún no han sido avistados por ningún telescopio. Junto a este espacio para nosotros aún inexplorado se eleva la esfera de influencia de Júpiter en 4+48=52 partes; y la de Saturno en 4+96=100 partes.

En 1772, JE Bode , que entonces tenía veinticinco años, publicó un compendio astronómico, [ 5 ] en el que incluyó la siguiente nota al pie, citando a Titius (en ediciones posteriores): [ b ] [ 6 ]

Este último punto parece derivarse particularmente de la asombrosa relación que los seis planetas conocidos observan en sus distancias al Sol. Si tomamos la distancia del Sol a Saturno como 100, entonces Mercurio está separado del Sol por 4 partes de esa distancia. Venus está a 4+3=7. La Tierra a 4+6=10. Marte a 4+12=16. Ahora bien, hay una brecha en esta progresión tan ordenada. Después de Marte, sigue un espacio de 4+24=28 partes, en el que aún no se ha visto ningún planeta. ¿Podemos creer que el Fundador del universo dejó este espacio vacío? Ciertamente no. Desde aquí llegamos a la distancia de Júpiter por 4+48=52 partes, y finalmente a la de Saturno por 4+96=100 partes. [ 6 ]

Estas dos afirmaciones, a pesar de su peculiar expresión y de los radios utilizados para las órbitas, parecen provenir de un antiguo algoritmo de una cosista . [ c ]

Se encontraron muchos precedentes que datan de antes del siglo XVII. Titius fue discípulo del filósofo alemán C.F. von Wolf (1679-1754), y la segunda parte del texto que Titius insertó en la obra de Bonnet se encuentra en un libro de von Wolf (1723), [ 7 ] lo que sugiere que Titius aprendió la relación de él. La literatura del siglo XX sobre la ley de Titius-Bode atribuye la autoría a von Wolf. Una versión anterior fue escrita por D. Gregory (1702), [ 8 ] en la que la sucesión de distancias planetarias 4, 7, 10, 16, 52 y 100 se convirtió en una progresión geométrica con razón 2. Esta es la fórmula newtoniana más cercana, que también fue citada por Benjamin Martin (1747) [ 9 ] y Tomàs Cerdà (c. 1760) [ 10 ] años antes de la traducción ampliada del libro de Bonnet al alemán por parte de Titius (1766). Durante los dos siglos siguientes, autores posteriores continuaron presentando sus propias versiones modificadas, aparentemente sin conocimiento de trabajos previos. [ 1 ]    

Titius y Bode esperaban que la ley condujera al descubrimiento de nuevos planetas, y de hecho, el descubrimiento de Urano y Ceres —cuyas distancias se ajustaban bien a la ley— contribuyó a su fama. Sin embargo, la distancia de Neptuno era muy discrepante, y de hecho, Plutón —que ya no se considera un planeta— se encuentra a una distancia media que se corresponde aproximadamente con la que la ley de Titius-Bode predijo para el siguiente planeta después de Urano.

Cuando se publicó originalmente, la ley se cumplía aproximadamente con todos los planetas conocidos hasta entonces —es decir, desde Mercurio hasta Saturno— , con una brecha entre el cuarto y el quinto planeta. Vikarius (Johann Friedrich) Wurm (1787) propuso una versión modificada de la Ley de Titius-Bode que tenía en cuenta los satélites conocidos de Júpiter y Saturno, y predecía mejor la distancia de Mercurio. [ 11 ]

La ley de Titius-Bode se consideraba interesante, pero no de gran importancia hasta el descubrimiento de Urano en 1781, que encaja casi a la perfección en la serie. Basándose en este descubrimiento, Bode instó a sus contemporáneos a buscar un quinto planeta. Ceres , el objeto más grande del cinturón de asteroides , fue hallado en la posición predicha por Bode en 1801.

La ley de Bode era ampliamente aceptada en aquel entonces, hasta que en 1846 se descubrió Neptuno en una ubicación que no se ajustaba a la ley. Simultáneamente, debido a la gran cantidad de asteroides descubiertos en el cinturón , Ceres dejó de ser considerado un planeta principal. En 1898, el astrónomo y lógico C.  S. Peirce utilizó la ley de Bode como ejemplo de razonamiento falaz. [ 12 ]

El descubrimiento de Plutón en 1930 complicó aún más la cuestión: aunque no se encontraba ni remotamente cerca de la posición predicha por la ley de Bode, estaba muy cerca de la posición que la ley había asignado a Neptuno. El posterior descubrimiento del cinturón de Kuiper —y en particular del objeto Eris , que es más masivo que Plutón, pero que no se ajusta a la ley de Bode— desacreditó aún más la fórmula. [ 13 ]

Datos

La ley de Titius-Bode predice que los planetas estarán presentes a distancias específicas en unidades astronómicas , que pueden compararse con los datos observados para los planetas y dos planetas enanos en el Sistema Solar:

Representación gráfica de los ocho planetas, Plutón y Ceres en función de las diez primeras distancias previstas.

Formulación de Blagg

En 1913, MA Blagg , astrónoma de Oxford, revisó la ley. [ 14 ] Analizó las órbitas del sistema planetario y las de los sistemas satélite de los gigantes gaseosos exteriores, Júpiter, Saturno y Urano. Examinó el logaritmo de las distancias, tratando de encontrar la mejor diferencia "promedio". Su análisis dio como resultado una fórmula diferente:

La función de corrección empírica f introducida en la reformulación de Blagg de la ley de Titius-Bode.

distanortedomi=A⋅[ B+F(α+norte β) ] ( 1.7275 )norte.{\displaystyle {\mathsf {distancia}}=A\cdot {\bigl [}\ B+f\left(\alpha +n\ \beta \right)\ {\bigr ]}\ {\bigl (}\ 1.7275\ {\bigr )}^{n}.}Nótese en particular que, en la fórmula de Blagg, la ley para el Sistema Solar se representaba mejor mediante una progresión en 1,7275 , en lugar del valor original 2 utilizado por Titius, Bode y otros.

Blagg examinó el sistema de satélites de Júpiter , Saturno y Urano , y descubrió la misma proporción de progresión de 1,7275 en cada uno.

Sin embargo, la forma final de la función de corrección f no se presentó en el artículo de Blagg de 1913, donde Blagg señaló que las cifras empíricas proporcionadas eran solo a modo de ilustración. La forma empírica se presentó en forma de gráfico (la razón por la que los puntos de la curva coinciden tan estrechamente con los datos empíricos, para los objetos descubiertos antes de 1913, es que son precisamente esos datos empíricos).

Encontrar una fórmula que se ajustara bien a la curva empírica resultó ser difícil. El análisis de Fourier de la forma dio como resultado la siguiente aproximación de siete términos: [ 14 ]F(θ)=0,4594+0,396porque(θ−27.4∘)+0,168porque(2(θ−60.4∘))+0,062porque(3(θ−28.1∘))+=0,4594+0,053porque(4(θ−77.2∘))+0,009porque(5(θ−22∘))+0,012porque(7(θ−40.4∘)).{\displaystyle {\begin{aligned}f{\bigl (}\theta {\bigr )}&=0,4594+0,396\cos \!{\bigl (}\theta -27,4^{\circ }{\bigr )}+0,168\cos \!{\bigl (}2(\theta -60,4^{\circ }){\bigr )}+0.062\cos \!{\bigl (}3(\theta -28.1^{\circ }){\bigr )}+\\&{\phantom {=0.4594}}+0.053\cos \!{\bigl (}4(\theta -77.2^{\circ }){\bigr )}+0.009\cos \!{\bigl (}5(\theta -22^{\circ }){\bigr )}+0.012\cos \!{\bigl (}7(\theta -40.4^{\circ }){\bigr )}.\end{aligned}}}Tras un análisis más detallado, Blagg propuso la siguiente fórmula más sencilla; sin embargo, el precio de esta forma más simple es que produce un ajuste menos preciso a los datos empíricos. Blagg la presentó en forma no normalizada en su artículo, lo que deja ambiguos los tamaños relativos de A , B y f ; aquí se muestra en forma normalizada (es decir, esta versión de f se escala para producir valores que van de 0 a 1 , ambos inclusive): [ 15 ]F(θ)=0,249+0,860(porque⁡Ψ3−porque(2Ψ)+16−4porque(2Ψ−60∘)),{\displaystyle f{\bigl (}\theta {\bigr )}=0.249+0.860\left({\frac {\cos \Psi }{3-\cos \!\left(2\Psi \right)}}+{\frac {1}{6-4\cos \!\left(2\Psi -60^{\circ }\right)}}\right),}dóndeΨ≡θ−27.5∘.{\displaystyle \Psi \equiv \theta -27.5^{\circ }.} Ninguna de estas fórmulas para la función f se utiliza en los cálculos que se muestran a continuación: Los cálculos aquí presentados se basan en una gráfica de la función f que se dibujó a partir de datos observados.

Su artículo se publicó en 1913 y quedó en el olvido hasta 1953, cuando AE Roy lo encontró mientras investigaba otro problema. [ 16 ] Roy señaló que la propia Blagg había sugerido que su fórmula podría dar distancias medias aproximadas de otros cuerpos aún no descubiertos en 1913. Desde entonces, se han descubierto seis cuerpos en tres sistemas examinados por Blagg: Plutón , Sinope ( Júpiter  IX ), Lysithea ( J  X ), Carme ( J  XI ), Ananke ( J  XII ) y Miranda ( Urano  V ).

Roy descubrió que los seis encajaban muy bien. Esto podría haber sido una exageración: de estos seis cuerpos, cuatro compartían posiciones con objetos que ya se conocían en 1913; en cuanto a los otros dos, hubo una sobreestimación de aproximadamente el 6 % para Plutón; y más tarde, se hizo evidente una subestimación del 6 % para Miranda. [ 15 ]

Comparación de la formulación de Blagg con la observación

Los cuerpos entre paréntesis eran desconocidos en 1913, cuando Blagg escribió su artículo. Algunas de las distancias calculadas en los sistemas de Saturno y Urano no son muy precisas. Esto se debe a que los bajos valores de la constante B en la tabla anterior las hacen muy sensibles a la forma exacta de la función f .

Formulación de Richardson

En un artículo de la revista Popular Astronomy de 1945, [ 17 ] el escritor científico DE Richardson aparentemente llegó de forma independiente a la misma conclusión que Blagg: que la razón de progresión es 1,728 en lugar de 2 . Su ley de espaciado tiene la formaRnorte=(1.728)norteϱnorte(θnorte),{\displaystyle R_{n}={\bigl (}1.728{\bigr )}^{n}\varrho _{n}(\theta _{n}),}dóndeϱnorte{\displaystyle \varrho _{n}}es una función oscilatoria con período2π{\displaystyle 2\pi }, que representan distanciasϱnorte{\displaystyle \varrho _{n}}desde un origen descentrado hasta puntos en una elipse.

inercia histórica

Nieto, quien realizó la primera revisión integral moderna de la Ley de Titius-Bode, [ 18 ] señaló que "El dominio psicológico de la Ley sobre la astronomía ha sido tal que la gente siempre ha tendido a considerar su forma original como aquella sobre la cual basar las teorías". Fue enfático en que "las teorías futuras deben deshacerse del sesgo de tratar de explicar una razón de progresión de 2":

Un aspecto que debe destacarse es que debe abandonarse el sesgo histórico hacia una razón de progresión de 2. Debe quedar claro que la primera formulación de Titius (con su primer término asimétrico) debe considerarse una buena primera aproximación . Ciertamente, no debe considerarse necesariamente como la mejor aproximación a la que recurrir en las teorías. Pero en astronomía, el peso de la historia es considerable... A pesar de que el número 1,73 es mucho mejor, los astrónomos se aferran al número original 2. [ 1 ]

Explicaciones teóricas

No existe una explicación teórica sólida que justifique la ley de Titius-Bode; sin embargo, es posible que, dada una combinación de resonancia orbital y escasez de grados de libertad , cualquier sistema planetario estable tenga una alta probabilidad de satisfacer una relación de tipo Titius-Bode. Dado que podría tratarse de una coincidencia matemática más que de una "ley de la naturaleza", a veces se la denomina regla en lugar de "ley". [ 19 ] El astrofísico Alan Boss afirma que se trata simplemente de una coincidencia, y la revista de ciencias planetarias Icarus ya no acepta artículos que intenten proporcionar versiones mejoradas de la "ley". [ 13 ]

La resonancia orbital de los principales cuerpos en órbita crea regiones alrededor del Sol que carecen de órbitas estables a largo plazo. Los resultados de simulaciones de formación planetaria respaldan la idea de que un sistema planetario estable elegido al azar probablemente satisfaga una ley de Titius-Bode. [ 20 ]

Dubrulle y Graner [ 21 ] [ 22 ] demostraron que las reglas de distancia de ley de potencias pueden ser consecuencia de los modelos de nubes colapsantes de sistemas planetarios que poseen dos simetrías: invariancia rotacional (es decir, la nube y su contenido son axialmente simétricos) e invariancia de escala (es decir, la nube y su contenido se ven iguales en todas las escalas). Esta última es una característica de muchos fenómenos que se consideran que desempeñan un papel en la formación planetaria, como la turbulencia.

Sistemas de satélites naturales y sistemas exoplanetarios

Actualmente, solo se dispone de un número limitado de sistemas en los que se puede probar la ley de Bode; dos planetas solares tienen suficientes lunas grandes que probablemente se formaron en un proceso similar al que formó los planetas: los cuatro satélites grandes de Júpiter y el satélite interior más grande (es decir, Amaltea ) mantienen un espaciado regular, pero no de Titius-Bode, con los cuatro satélites más internos bloqueados en períodos orbitales que son cada uno el doble del siguiente satélite interior. De manera similar, las lunas grandes de Urano tienen un espaciado regular, pero no de Titius-Bode. [ 23 ] Sin embargo, según Martin Harwit

Una ligera modificación en la redacción de esta ley nos permite incluir no solo las órbitas planetarias alrededor del Sol, sino también las órbitas de las lunas alrededor de sus planetas de origen. [ 24 ]

La nueva formulación se conoce como " la ley de Dermott ".

De los recientes descubrimientos de sistemas planetarios extrasolares, pocos tienen suficientes planetas conocidos para comprobar si se aplican reglas similares. Un intento con 55 Cancri sugirió la ecuaciónanorte=0,0142⋅mi0,9975norte=0,0142⋅2.7115norte,{\displaystyle a_{n}=0.0142\cdot \mathrm {e} ^{0.9975n}=0.0142\cdot 2.7115^{n},}y de manera controvertida [ 25 ] predice un planeta o campo de asteroides no descubierto paranorte=5{\displaystyle n=5}a 2 UA . [ 26 ] Además, el período orbital y el semieje mayor del planeta más interno en el sistema 55 Cancri han sido revisados ​​en gran medida (de 2,817 días a 0,737 días y de 0,038 UA a 0,016 UA, respectivamente) desde la publicación de estos estudios. [ 27 ]      

Investigaciones astronómicas recientes sugieren que los sistemas planetarios alrededor de algunas otras estrellas podrían seguir leyes similares a las de Titius-Bode. [ 28 ] [ 29 ] Bovaird y Lineweaver (2013) [ 30 ] aplicaron una relación generalizada de Titius-Bode a 68  sistemas de exoplanetas que contienen cuatro o más planetas. Demostraron que el 96% de estos sistemas de exoplanetas se adhieren a una relación generalizada de Titius-Bode en una medida similar o mayor que la del Sistema Solar. Se predicen las ubicaciones de exoplanetas potencialmente no detectados en cada sistema. [ 30 ]

Investigaciones posteriores detectaron 5  planetas candidatos de los 97  pronosticados para los 68  sistemas planetarios. El estudio mostró que el número real de planetas podría ser mayor. Se desconocen las tasas de ocurrencia de planetas del tamaño de Marte y Mercurio, por lo que muchos planetas podrían pasar desapercibidos debido a su pequeño tamaño. Otras posibles razones que podrían explicar las aparentes discrepancias incluyen planetas que no transitan la estrella o circunstancias en las que el espacio pronosticado está ocupado por discos circunestelares . A pesar de estas consideraciones, el número de planetas encontrados con las predicciones de la ley de Titius-Bode fue menor de lo esperado. [ 31 ]

En un artículo de 2018, se propuso la idea de un hipotético octavo planeta alrededor de TRAPPIST-1 , denominado "TRAPPIST-1i", utilizando la ley de Titius-Bode. TRAPPIST-1i tenía una predicción basada exclusivamente en la ley de Titius-Bode con un período orbital de 27,53 ± 0,83 días . [ 32 ]

Finalmente, las estadísticas brutas de las órbitas exoplanetarias apuntan fuertemente a un cumplimiento general de leyes tipo Titius-Bode (con un aumento exponencial de los semiejes mayores en función del índice planetario) en todos los sistemas exoplanetarios; al hacer un histograma ciego de semiejes mayores orbitales para todos los exoplanetas conocidos para los que se conoce esta magnitud, [ 33 ] y compararlo con lo que se esperaría si los planetas se distribuyeran de acuerdo con leyes tipo Titius-Bode, se obtiene un grado significativo de acuerdo (es decir, 78%) [ 34 ] .

Véase también

Notas a pie de página

  1. ↑ El espaciado parece pasar de la complicada serie de Titius a un espaciado igual simple a partir de Saturno, siendo Neptuno el primer planeta importante que no se ajusta a la regla de Titius-Bode.
  2. ↑ La nota a pie de página de Bode inicialmente no tenía fuente, pero en versiones posteriores se le atribuyó a Titius, y en las memorias de Bode se refiere a Titius, reconociendo claramente la prioridad de Titius.
  3. ↑ Los cosistas eran expertos en cálculos de todo tipo y eran empleados por comerciantes y empresarios para resolver problemas contables complejos. Su nombre deriva de la palabra italiana cosa , que significa "cosa", porque usaban símbolos para representar una cantidad desconocida, de manera similar a como los matemáticos modernos usanincógnita.{\displaystyle \,x\;.}Los profesionales que resolvían problemas en aquella época inventaban sus propios métodos ingeniosos para realizar cálculos y hacían todo lo posible por mantenerlos en secreto para conservar la reputación de ser la única persona capaz de resolver un problema en particular.

Referencias

  1. 1 2 3 Nieto, Michael Martin (1970). "Conclusiones sobre la ley de distancias planetarias de Titius-Bode". Astronomía y astrofísica . 8 : 105–111 . Bibcode : 1970A & A.....8..105N .
  2. 1 2 Gregory, D. (1715). Los elementos de la astronomía .
  3. 1 2 3 "¿Dónde deberían estar los planetas? La ley de proporcionalidad" . Dawn. Archivado del original el 7 de marzo de 2016. Recuperado el 16 de marzo de 2018 .
  4. 1 2 Bonnet, C. (1764). Contemplation de la Nature (en francés).
  5. ^ Bode, Johann Elert (1772). Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels [ Manual para conocer el cielo estrellado ] (en alemán) (2ª ed.). 
  6. 1 2 Hoskin, Michael (26 de junio de 1992). "La ley de Bodes y el descubrimiento de Ceres" . Observatorio Astronomico di Palermo "Giuseppe S. Vaiana" . Recuperado el 5 de julio de 2007 .
  7. ↑ von Wolf, CF (1723). Vernünftige Gedanken von den Wirkungen der Natur (en alemán). 
  8. ^ Gregorio, David (1702). Astronomiae physicae et geométricae elementa (en latín).
  9. ^ Martín, Benjamín (1747). Filosofía Británica .
  10. ↑ Cerdà, Tomás (c. 1760). Tratado de Astronomía (en español).
  11. ↑ Sierpe, Johann Friedrich (1787). Bode, JE (ed.). "Verschiedene astronomische Bemerkungen und eine Abhandlung über mögliche Planeten und Kometen unseres Sonnensystems". Astronomisches Jahrbuch . 15 . Berlín: Georg Jacob Decker: 162-173 .
  12. ↑ Peirce, CS ; Ketner, Kenneth Laine (1992). Razonamiento y lógica de las cosas . Conferencias de Cambridge de 1898. Harvard University Press . págs. 194–196 . ISBN  978-0-674-74966-5.Página del catálogo de HUP archivada el 2 de enero de 2010 en Wayback Machine .
  13. 1 2 Boss, Alan (octubre de 2006). "Pregúntale a Astro". Astronomía . Vol. 30, n.º 10. pág. 70.   
  14. 1 2 Blagg, MA (1913). "Sobre un sustituto sugerido para la ley de Bode" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 73 : 414–422 . Bibcode : 1913MNRAS..73..414B . doi : 10.1093/mnras/73.6.414 .
  15. 1 2 Lobban, GG; Roy, AE ; Brown, JC (octubre de 1982). "Una revisión de la fórmula de Blagg a la luz de las lunas y anillos planetarios descubiertos recientemente" . Journal of the British Astronomical Association . 92 (6): 260– 263. Bibcode : 1982JBAA...92..260L .
  16. ↑ Malcolm, Roy (1955). "¿Es la ley de Bode una coincidencia?". Ciencia ficción asombrosa . LV (5).
  17. ↑ Richardson, DE (1945). "Distancias de los planetas al Sol y de los satélites a sus cuerpos principales en los sistemas de satélites de Júpiter, Saturno y Urano". Astronomía Popular . Vol. 53. págs. 14–26 .  
  18. ↑ Nieto, Michael Martin (1972). La ley de Titius-Bode de las distancias planetarias: su historia y teoría (1.ª ed.). Pergamon Press. doi : 10.1016/C2013-0-02478-4 . ISBN  978-0-08-016784-8.
  19. ↑ Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (2007). Introducción a la astrofísica moderna . Pearson Addison-Wesley. págs. 716–717 . ISBN  978-0-8053-0402-2.
  20. ↑ Hayes, Wayne; Tremaine, Scott (octubre de 1998). "Ajuste de sistemas planetarios aleatorios seleccionados a las leyes de Titius-Bode" (PDF) . Icarus . 135 (2): 549. arXiv : astro-ph/9710116 . Bibcode : 1998Icar..135..549H . CiteSeerX 10.1.1.27.8254 . doi : 10.1006/icar.1998.5999 . S2CID 15015134 .  
  21. ↑ Graner, F. ; Dubrulle, B. (1994). "Leyes de Titius-Bode en el sistema solar. Parte I: La invariancia de escala lo explica todo". Astronomía y Astrofísica . 282 (1): 262– 268. Bibcode : 1994A & A...282..262G .
  22. ↑ Dubrulle, B. ; F., Graner (1994). "Leyes de Titius-Bode en el sistema solar. Parte II: Construye tu propia ley a partir de modelos de discos". Astronomía y Astrofísica . 282 (1): 269– 276. Bibcode : 1994A & A...282..269D . 
  23. ↑ Cohen, Howard L. (mayo de 1996). "Revisión de la relación Titius-Bode" . FirstLight (artículo del boletín mensual). Gainesville, Florida: Alachua Astronomy Club. Archivado del original el 28 de septiembre de 2007. Recuperado el 24 de febrero de 2008 a través de Florida Stars.
  24. ↑ Harwit, Martin (1998). Conceptos astrofísicos . Springer. págs. 27–29 . ISBN  9780387949437– vía Google Libros.
  25. ↑ Kotliarov, Ivan (21 de junio de 2008). "La ley de Titius-Bode revisada pero no revivida". arXiv : 0806.3532 [ physics.space-ph ].
  26. ↑ Poveda, Arcadio & Lara, Patricia (2008). "El sistema exoplanetario de 55 Cancri y la ley de Titus-Bode" (PDF) . Revista Mexicana de Astronomía y Astrofísica (44): 243–246 . 
  27. ↑ Dawson, Rebekah I.; Fabrycky, Daniel C. (2010). "Planetas de velocidad radial des-aliased. Un nuevo período corto para la super-Tierra 55 Cnc e". Astrophysical Journal . 722 (1): 937– 953. arXiv : 1005.4050 . Bibcode : 2010ApJ...722..937D . doi : 10.1088/0004-637X/722/1/937 . S2CID 118592734 .   
  28. ↑ «Sección 8.2: ¿Leyes extrasolares tipo Titius-Bode?» (PDF) (Comunicado de prensa). La búsqueda HARPS de planetas extrasolares en el hemisferio sur. Observatorio Europeo Austral . 23 de agosto de 2010. Consultado el 24 de agosto de 2010 . 
  29. ↑ Lara, Patricia (2012). Sobre la ley estructural de los sistemas exoplanetarios . ICNAAM 2012: Conferencia Internacional de Análisis Numérico y Matemáticas Aplicadas. AIP Conference Proceedings. Vol. 1479. pp. 2356–2359 . Bibcode : 2012AIPC.1479.2356L . doi : 10.1063/1.4756667 .  
  30. 1 2 Bovaird, Timothy; Lineweaver, Charles H. (2013). "Predicciones de exoplanetas basadas en la relación generalizada de Titius-Bode" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 435 (2): 1126. arXiv : 1304.3341 . Bibcode : 2013MNRAS.435.1126B . doi : 10.1093/mnras/stt1357 .
  31. ^ Huang, Chelsea X.; Bakos, Gaspár Á. (9 de mayo de 2014). "Prueba de las predicciones de la ley de Titius-Bode para sistemas multiplanetarios de Kepler" . Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 442 (1): 674–681 . arXiv : 1405.2259 . Código Bib : 2014MNRAS.442..674H . doi : 10.1093/mnras/stu906 .
  32. ↑ Kipping, David (2018). "Predicción de la órbita de TRAPPIST-1i" . Notas de investigación de la Sociedad Astronómica Americana . 2 (3): 136. arXiv : 1807.10835 . Bibcode : 2018RNAAS...2..136K . doi : 10.3847/2515-5172/aad6e8 . S2CID 119005201 . 
  33. ↑ Ballesteros, FJ; Fernandez-Soto, A.; Martinez, VJ (2019). "Buceando en exoplanetas: ¿Son los mares de agua los más comunes?". Astrobiología . 19 (5): 642– 654. Bibcode : 2019AsBio..19..642B . doi : 10.1089/ ast.2017.1720 . hdl : 10261/213115 . PMID 30789285. S2CID 73498809 .  
  34. ↑ Lara, Patricia; Cordero-Tercero, Guadalupe; Allen, Christine (2020). "La fiabilidad de la relación de Titius-Bode y sus implicaciones para la búsqueda de exoplanetas". Publicaciones de la Sociedad Astronómica de Japón . 72 (2) 24. arXiv : 2003.05121 . doi : 10.1093/pasj/psz146 .

Lecturas adicionales

  • Matthews, Robert (9 de abril de 1994). "La mano fantasmal que espació los planetas" . New Scientist . pág.  13.
  • Perdijk, HJR «La ley de Titius-Bode explicada» . Plantas y planetas. KPN . Archivado del original el 15 de julio de 2014. Consultado el 26 de enero de 2024 .– místico y especulativo; faltan los diagramas de referencia en el archivo.
  • Parés i Farràs, Ramon (2016). Distancias planetarias y ley de Titius-Bode [ Distancias planetarias y la ley de Titius-Bode ] (PDF) (ensayo de astronomía popular) (en español) . Consultado el 26 de enero de 2024 .– una combinación de la historia de las mediciones de distancia y el desarrollo de la ley de Titius, los astrónomos destacados que participaron y la exposición mediante gráficos y proporciones simples de las distancias modernas a planetas y satélites.