teoría de cuerdas topológica

Las cuerdas ordinarias sobre fondos especiales nunca son topológicas . Para que estas cuerdas sean topológicas, es necesario modificar el modelo sigma mediante un procedimiento llamado torsión topológica , inventado por Edward Witten en 1988. La observación central es que estas teorías tienen dos simetrías U(1), conocidas como simetrías R , y la simetría de Lorentz puede modificarse mezclando rotaciones y simetrías R. Se puede usar cualquiera de las dos simetrías R, lo que da lugar a dos teorías diferentes, llamadas modelo A y modelo B. Después de esta torsión, la acción de la teoría es BRST exacta , y como resultado la teoría no tiene dinámica. En cambio, todos los observables dependen de la topología de una configuración. Dichas teorías se conocen como teorías topológicas .

Clásicamente, este procedimiento siempre es posible.

Mecánica cuántica, las simetrías U(1) pueden ser anómalas , lo que hace imposible la torsión. Por ejemplo, en el caso de Kähler con H = 0, la torsión que lleva al modelo A siempre es posible, pero la que lleva al modelo B solo es posible cuando la primera clase de Chern del espaciotiempo se anula, lo que implica que el espaciotiempo es de Calabi-Yau . De forma más general, las teorías (2,2) tienen dos estructuras complejas y el modelo B existe cuando las primeras clases de Chern de los haces asociados suman cero, mientras que el modelo A existe cuando la diferencia de las clases de Chern es cero. En el caso de Kähler, las dos estructuras complejas son iguales y, por lo tanto, la diferencia siempre es cero, razón por la cual el modelo A siempre existe.

No existe restricción alguna sobre el número de dimensiones del espaciotiempo, salvo que debe ser par, dado que el espaciotiempo es una generalización de Kähler. Sin embargo, todas las funciones de correlación con superficies de mundo que no sean esferas se anulan a menos que la dimensión compleja del espaciotiempo sea tres, por lo que los espaciostiempos con dimensión compleja tres son los más interesantes. Esto resulta ventajoso para la fenomenología , ya que los modelos fenomenológicos suelen utilizar una teoría de cuerdas física compactificada en un espacio de dimensión compleja 3. La teoría de cuerdas topológica no es equivalente a la teoría de cuerdas física, ni siquiera en el mismo espacio, pero ciertas cantidades supersimétricas coinciden en ambas teorías.

El modelo topológico A viene con un espacio objetivo que es un espaciotiempo de Kähler generalizado de 6 dimensiones reales. En el caso en que el espaciotiempo es de Kähler, la teoría describe dos objetos. Hay cuerdas fundamentales, que envuelven dos curvas holomorfas de dimensión real. Las amplitudes para la dispersión de estas cuerdas dependen solo de la forma de Kähler del espaciotiempo, y no de la estructura compleja. Clásicamente, estas funciones de correlación están determinadas por el anillo de cohomología . Hay efectos de instantones mecánicos cuánticos que corrigen estas y producen invariantes de Gromov-Witten , que miden el producto de copa en un anillo de cohomología deformado llamado cohomología cuántica . La teoría de campos de cuerdas de las cuerdas cerradas del modelo A se conoce como gravedad de Kähler , y fue introducida por Michael Bershadsky y Vladimir Sadov en Theory of Kähler Gravity .

Además, existen D2-branas que envuelven subvariedades lagrangianas del espaciotiempo. Estas son subvariedades cuyas dimensiones son la mitad de las del espaciotiempo, y tales que la imagen inversa de la forma de Kähler a la subvariedad se anula. La teoría del volumen del mundo en una pila de N D2-branas es la teoría de campos de cuerdas de las cuerdas abiertas del modelo A, que es una teoría de Chern-Simons U(N) .

Las cuerdas topológicas fundamentales pueden terminar en las D2-branas. Si bien la incrustación de una cuerda depende únicamente de la forma de Kähler, las incrustaciones de las branas dependen completamente de la estructura compleja. En particular, cuando una cuerda termina en una brana, la intersección siempre será ortogonal, ya que el producto exterior de la forma de Kähler y la 3-forma holomorfa es cero. En la cuerda física, esto es necesario para la estabilidad de la configuración, pero aquí es una propiedad de los ciclos lagrangianos y holomorfos en una variedad de Kähler.

También pueden existir branas coisotrópicas en diversas dimensiones distintas de las semidimensiones de las subvariedades lagrangianas . Estas fueron introducidas por primera vez por Anton Kapustin y Dmitri Orlov en su obra "Remarks on A-Branes, Mirror Symmetry, and the Fukaya Category" (Observaciones sobre las branas A, la simetría especular y la categoría de Fukaya) .

El modelo B también contiene cuerdas fundamentales, pero sus amplitudes de dispersión dependen completamente de la estructura compleja y son independientes de la estructura de Kähler. En particular, son insensibles a los efectos de instantones de la hoja de mundo y, por lo tanto, a menudo se pueden calcular con exactitud. La simetría especular las relaciona entonces con las amplitudes del modelo A, lo que permite calcular los invariantes de Gromov-Witten. La teoría de campos de cuerdas de las cuerdas cerradas del modelo B se conoce como la teoría de gravedad de Kodaira-Spencer y fue desarrollada por Michael Bershadsky , Sergio Cecotti , Hirosi Ooguri y Cumrun Vafa en Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes .

El modelo B también incluye branas D(-1), D1, D3 y D5, que envuelven subvariedades holomorfas de dimensión 0, 2, 4 y 6, respectivamente. La subvariedad de dimensión 6 es un componente conexo del espaciotiempo. La teoría sobre una brana D5 se conoce como teoría de Chern-Simons holomorfa . La densidad lagrangiana es el producto de cuña de la de la teoría de Chern-Simons ordinaria con la forma (3,0) holomorfa, que existe en el caso de Calabi-Yau. Las densidades lagrangianas de las teorías sobre branas de menor dimensión pueden obtenerse a partir de la teoría de Chern-Simons holomorfa mediante reducciones dimensionales.

La teoría M topológica, que posee un espaciotiempo de siete dimensiones, no es una teoría de cuerdas topológica, ya que no contiene cuerdas topológicas. Sin embargo, se ha conjeturado que la teoría M topológica sobre un fibrado circular en una variedad de 6 dimensiones es equivalente al modelo A topológico sobre dicha variedad.

En particular, las D2-branas del modelo A se elevan a puntos donde el fibrado circular degenera, o más precisamente, a monopolos de Kaluza-Klein . Las cuerdas fundamentales del modelo A se elevan a membranas denominadas M2-branas en la teoría topológica M.

Un caso especial que ha suscitado gran interés es la teoría M topológica en un espacio con holonomía G2 _y el modelo A en un espacio de Calabi-Yau. En este caso, las branas M2 envuelven ciclos 3-asociativos. Estrictamente hablando, la conjetura de la teoría M topológica solo se ha formulado en este contexto, ya que en este caso las funciones introducidas por Nigel Hitchin en *The Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions* y * Stable Forms and Special Metrics* proporcionan una acción efectiva candidata de baja energía.

Estas funciones se denominan " funcionales de Hitchin " y la cadena topológica está estrechamente relacionada con las ideas de Hitchin sobre la estructura compleja generalizada , el sistema de Hitchin y la construcción ADHM , etc.

La teoría de la hoja de mundo bidimensional es un modelo sigma supersimétrico N = (2,2) . La supersimetría (2,2) implica que los generadores fermiónicos del álgebra de supersimetría , denominados supercargas, pueden ensamblarse en un único espinor de Dirac , que consta de dos espinores de Majorana-Weyl de cada quiralidad. Este modelo sigma está topológicamente retorcido, lo que significa que los generadores de simetría de Lorentz que aparecen en el álgebra de supersimetría rotan simultáneamente el espaciotiempo físico y también las direcciones fermiónicas mediante la acción de una de las simetrías R. El grupo de simetría R de una teoría de campo bidimensional N = (2,2) es U(1) × U(1). Las torsiones por dos factores diferentes dan lugar a los modelos A y B, respectivamente. La construcción topológicamente retorcida de las teorías de cuerdas topológicas fue introducida por Edward Witten en su artículo de 1988. ^{[ 1 ]}

La torsión topológica conduce a una teoría topológica porque el tensor energía-impulso puede escribirse como un anticonmutador de una supercarga y otro campo. Dado que el tensor energía-impulso mide la dependencia de la acción con respecto al tensor métrico , esto implica que todas las funciones de correlación de operadores Q-invariantes son independientes de la métrica. En este sentido, la teoría es topológica.

De forma más general, cualquier término D en la acción, que es cualquier término que pueda expresarse como una integral sobre todo el superespacio , es un anticonmutador de una supercarga y, por lo tanto, no afecta a las observables topológicas. Aún más generalmente, en el modelo B, cualquier término que pueda escribirse como una integral sobre el fermiónico${\displaystyle {\overline {\theta }}^{\pm }}$las coordenadas no contribuyen, mientras que en el modelo A cualquier término que sea una integral sobre${\displaystyle \theta ^{-}}$o más${\displaystyle {\overline {\theta }}^{+}}$no contribuye. Esto implica que los observables del modelo A son independientes del superpotencial (ya que puede escribirse como una integral sobre solo${\displaystyle {\overline {\theta }}^{\pm }}$) pero dependen holomorfamente del superpotencial retorcido , y viceversa para el modelo B.

Varias dualidades relacionan las teorías anteriores. El modelo A y el modelo B en dos variedades espejo están relacionados por simetría especular , que se ha descrito como una dualidad T en un toro tridimensional. Se conjetura que el modelo A y el modelo B en la misma variedad están relacionados por dualidad S , lo que implica la existencia de varias branas nuevas, llamadas branas NS por analogía con la brana NS5 , que envuelven los mismos ciclos que las branas originales pero en la teoría opuesta. Además, una combinación del modelo A y una suma del modelo B y su conjugado están relacionados con la teoría M topológica mediante una especie de reducción dimensional . Aquí, los grados de libertad del modelo A y los modelos B no parecen ser observables simultáneamente, sino que tienen una relación similar a la que existe entre posición y momento en mecánica cuántica .

También existen varias dualidades que relacionan configuraciones con D-branas, descritas mediante cuerdas abiertas, con aquellas en las que las branas han sido sustituidas por flujo y con la geometría descrita por la geometría cercana al horizonte de las branas perdidas. Estas últimas se describen mediante cuerdas cerradas.

Quizás la primera de estas dualidades sea la dualidad de Gopakumar-Vafa , introducida por Rajesh Gopakumar y Cumrun Vafa en "On the Gauge Theory/Geometry Correspondence" . Esta relaciona una pila de N D6-branas en una 3-esfera del modelo A en el cono deformado con la teoría de cuerdas cerradas del modelo A en un cono resuelto con un campo B igual a N veces la constante de acoplamiento de cuerdas. Las cuerdas abiertas en el modelo A se describen mediante una teoría de Chern-Simons U(N), mientras que la teoría de cuerdas cerradas en el modelo A se describe mediante la gravedad de Kähler.

Aunque se dice que la variedad cónica está resuelta, el área de la esfera bidimensional expandida es cero; solo el campo B, que a menudo se considera la parte compleja del área, es distinto de cero. De hecho, como la teoría de Chern-Simons es topológica, se puede reducir el volumen de la esfera tridimensional deformada a cero y así llegar a la misma geometría que en la teoría dual.

La dualidad especular de esta dualidad es otra dualidad que relaciona las cuerdas abiertas en el modelo B sobre una brana que envuelve el ciclo 2 en la variedad cónica resuelta con las cuerdas cerradas en el modelo B sobre la variedad cónica deformada. Las cuerdas abiertas en el modelo B se describen mediante reducciones dimensionales de la teoría de Chern-Simons homolomorfa en las branas en las que terminan, mientras que las cuerdas cerradas en el modelo B se describen mediante la gravedad de Kodaira-Spencer.