functor topológico

Una fuente${\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I})}$en una categoría${\displaystyle {\mathcal {E}}}$consta de los siguientes datos: ^{[ 2 ] : 125, Definición 1.1(1)}

• un objeto${\displaystyle X\in {\mathcal {E}}}$,
• una clase (posiblemente propia) de objetos${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}}$
• y una clase de morfismos${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$.

Doblemente, un fregadero${\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I})}$en${\displaystyle {\mathcal {E}}}$consta de

• un objeto${\displaystyle X\in {\mathcal {E}}}$,
• una clase de objetos${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}}$
• y una clase de morfismos${\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}$.

En particular, una fuente${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$es un objeto${\displaystyle X}$si${\displaystyle I}$está vacío, un morfismo${\displaystyle X\to Y}$si${\displaystyle I}$es un conjunto de un solo elemento. Lo mismo ocurre con un sumidero.

Dejar${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$ser una fuente en una categoría${\displaystyle {\mathcal {E}}}$y dejar${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$ser un functor. La fuente${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$Se dice que es un${\displaystyle \Pi }$-fuente inicial si satisface la siguiente propiedad universal . ^{[ 2 ] : Definición 2.1(1)}

• Para cada objeto${\displaystyle X'\in {\mathcal {E}}}$, un morfismo${\displaystyle {\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)}$y una familia de morfismos${\displaystyle (f'_{i}\colon X'\to Y_{i})_{i\in I}}$de tal manera que${\displaystyle \Pi (f_{i})\circ {\hat {g}}=\Pi (f'_{i})}$para cada${\displaystyle i\in I}$, existe un único${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-morfismo${\displaystyle g\colon X'\to X}$de tal manera que${\displaystyle {\sombrero {g}}=\Pi (g)}$y${\displaystyle \forall i\in I\colon f_{i}\circ g=f'_{i}}$.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f_{i}}{\to }}&Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f_{i}}{\to }}&\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}$

De manera similar se define la noción dual de${\displaystyle \Pi }$-sumidero final .

Cuando${\displaystyle I}$es un conjunto de un solo elemento, la fuente inicial se llama morfismo cartesiano .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {E}}}$,${\displaystyle {\mathcal {B}}}$sean dos categorías.${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$ser un functor. Una fuente${\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}}$en${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un${\displaystyle \Pi }$-fuente estructurada si para cada${\displaystyle i}$tenemos${\displaystyle {\sombrero {Y}}_{i}=\Pi (Y_{i})}$para algunos${\displaystyle Y_{i}\in {\mathcal {E}}}$. ^{[ 2 ] : 128, Definición 1.1(2)} De manera similar se define un${\displaystyle \Pi }$-fregadero estructurado .

Un ascensor de un${\displaystyle \Pi }$-fuente estructurada${\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}$es una fuente${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$en${\displaystyle {\mathcal {E}}}$de tal manera que${\displaystyle \Pi (X)={\hat {X}}}$y${\displaystyle \Pi (f_{i})={\hat {f}}_{i}}$para cada${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}\exists X\\{\scriptstyle \exists f_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists f_{i}}\\Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}{\hat {X}}\\{\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\\\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}$

Un ascensor de un${\displaystyle \Pi }$El sumidero estructurado se define de manera similar. Dado que los levantamientos inicial y final se definen mediante propiedades universales , son únicos salvo un único isomorfismo , si este existe.

Si un${\displaystyle \Pi }$-fuente estructurada${\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}$tiene un levantamiento inicial${\displaystyle (X\to Y_{i})_{i\in I}}$, decimos que${\displaystyle X}$es una inicial${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-estructura en${\displaystyle {\hat {X}}}$con respecto a${\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}$. De manera similar para un final${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-estructura con respecto a una${\displaystyle \Pi }$-fregadero estructurado.

Dejar${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$sea ​​un functor. Entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes. ^{[ 2 ] : 128, Definición 2.1(3) [ 3 ] : 29–30, §2 [ 4 ] : 2, Ejemplo 2.1(25) : 4, Definición 2.12}

• Cada${\displaystyle \Pi }$-La fuente estructurada tiene una elevación inicial. Es decir, siempre existe una estructura inicial.
• Cada${\displaystyle \Pi }$-El fregadero estructurado tiene una elevación final. Es decir, siempre existe una estructura final.

Un functor que satisface esta condición se denomina functor topológico .

Se pueden definir funtores topológicos de otra manera, utilizando la teoría de categorías enriquecidas . ^{[ 1 ]}

Una categoría concreta${\displaystyle ({\mathcal {E}},F)}$Se denomina categoría topológica (concreta) si el functor olvidadizo${\displaystyle F\colon {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set} }$es topológica. (Una categoría topológica también puede significar una categoría enriquecida enriquecida sobre la categoría${\displaystyle \operatorname {Top} }$de espacios topológicos .) Algunos requieren que una categoría topológica satisfaga dos condiciones adicionales.

• funciones constantes en${\displaystyle \mathbf {Conjunto} }$ascensor a${\displaystyle {\mathcal {E}}}$- morfismos .
• Fibras${\displaystyle \Pi ^{-1}({\sombrero {X}})}$(${\displaystyle {\hat {X}}\in \mathbf {Set} }$) son pequeños (son conjuntos y no clases propiamente dichas ).