Cono (topología)

En topología , especialmente en topología algebraica , el cono de un espacio topológico${\displaystyle X}$se obtiene intuitivamente estirando X hasta formar un cilindro y luego colapsando una de sus caras extremas hasta un punto. El cono de X se denota por${\displaystyle CX}$o por ${\displaystyle \operatorname {cono} (X)}$.

Formalmente, el cono de X se define como:

${\displaystyle CX=(X\times [0,1])\cup _{p}v\ =\ \varinjlim {\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{0\})\xrightarrow {p} v{\bigr )},}$

dónde${\displaystyle v}$es un punto (llamado vértice del cono) y${\displaystyle p}$es la proyección hasta ese punto. En otras palabras, es el resultado de acoplar el cilindro.${\displaystyle X\times [0,1]}$por su cara${\displaystyle X\times \{0\}}$hasta cierto punto${\displaystyle v}$a lo largo de la proyección${\displaystyle p:{\bigl (}X\times \{0\}{\bigr )}\to v}$.

Si${\displaystyle X}$es un subespacio compacto no vacío del espacio euclidiano , el cono en${\displaystyle X}$es homeomorfo a la unión de segmentos de${\displaystyle X}$a cualquier punto fijo${\displaystyle v\not \in X}$de tal manera que estos segmentos se intersecan solo en${\displaystyle v}$Es decir, el cono topológico coincide con el cono geométrico para espacios compactos cuando este último está definido. Sin embargo, la construcción del cono topológico es más general.

El cono es un caso especial de unión :${\displaystyle CX\simeq X\star \{v\}=}$la unión de${\displaystyle X}$con un solo punto${\displaystyle v\not \in X}$. ^{[ 1 ] : 76}

Aquí a menudo utilizamos un cono geométrico (${\displaystyle CX}$dónde${\displaystyle X}$es un subespacio compacto no vacío del espacio euclidiano ). Los espacios considerados son compactos, por lo que obtenemos el mismo resultado salvo homeomorfismo.

• El cono sobre un punto p de la recta real es un segmento de recta en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$,${\displaystyle \{p\}\times [0,1]}$.
• El cono sobre dos puntos {0, 1} tiene forma de "V" con extremos en {0} y {1}.
• El cono sobre un intervalo cerrado I de la recta real es un triángulo relleno (con uno de los lados siendo I ), también conocido como 2-símplex (ver el último ejemplo).
• El cono sobre un polígono P es una pirámide con base P.
• El cono sobre un disco es el cono sólido de la geometría clásica (de ahí el nombre del concepto).
• El cono sobre un círculo dado por

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1{\mbox{ y }}z=0\}}$

es la superficie curva del cono sólido:

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=(z-1)^{2}{\mbox{ y }}0\leq z\leq 1\}.}$

Esto a su vez es homeomorfo al disco cerrado .

Ejemplos más generales: ^{[ 1 ] : 77, Ejercicio.1}

• El cono sobre una n -esfera es homeomorfo a la bola cerrada ( n + 1) .
• El cono sobre una n -bola también es homeomorfo a la ( n + 1) -bola cerrada .
• El cono sobre un n - símplex es un ( n +1)-símplex.

Todos los conos son conexos por caminos, ya que cada punto puede conectarse al vértice. Además, cada cono es contraíble al vértice por homotopía.

${\displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)}$.

El cono se utiliza en topología algebraica precisamente porque permite incrustar un espacio como subespacio de un espacio contraíble.

Cuando X es compacto y Hausdorff (esencialmente, cuando X puede incrustarse en el espacio euclidiano), entonces el cono${\displaystyle CX}$puede visualizarse como la colección de líneas que unen cada punto de X a un único punto. Sin embargo, esta imagen falla cuando X no es compacto o no es de Hausdorff, ya que generalmente la topología cociente en${\displaystyle CX}$será más fino que el conjunto de líneas que unen X con un punto.

El mapa${\displaystyle X\mapsto CX}$induce un functor${\displaystyle C\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$en la categoría de espacios topológicos Top . Si${\displaystyle f\colon X\to Y}$es un mapa continuo , entonces${\displaystyle Cf\colon CX\to CY}$se define por

${\displaystyle (Cf)([x,t])=[f(x),t]}$,

donde los corchetes denotan clases de equivalencia .

Si${\displaystyle (X,x_{0})}$es un espacio puntiagudo , existe una construcción relacionada, el cono reducido , dado por

${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \left\{0\right\}\cup \left\{x_{0}\right\}\times [0,1])}$

donde tomamos como punto base del cono reducido la clase de equivalencia de${\displaystyle (x_{0},0)}$Con esta definición, la inclusión natural${\displaystyle x\mapsto (x,1)}$se convierte en un mapa base. Esta construcción también proporciona un functor, de la categoría de espacios apuntados a sí mismo.

• Cono (desambiguación)
• Suspensión (topología)
• Dessuspensión
• Cono de mapeo (topología)
• Unir (topología)

• Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-Xy ISBN 0-521-79540-0
• "Cono" . PlanetMath .