Unir (topología)

Unión geométrica de dos segmentos de línea . Los espacios originales se muestran en verde y azul. La unión es un sólido tridimensional, un disfenoides , en gris.

En topología , un campo de las matemáticas , la unión de dos espacios topológicos $A$ y $B$ , a menudo denotado por $A\ast B$ o $A\star B$ , es un espacio topológico formado al tomar la unión disjunta de los dos espacios y adjuntar segmentos de línea que unen cada punto en $A$ a cada punto en $B$ . La unión de un espacio $A$ con sí mismo se denota por $A^{\star 2}:=A\star A$ La unión se define de maneras ligeramente diferentes en distintos contextos.

Conjuntos geométricos

Si $A$ y $B$ son subconjuntos del espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ , entonces: ^{[ 1 ]}^{: 1}

${\displaystyle A\star B\$ ,

es decir, el conjunto de todos los segmentos de línea entre un punto y $A$ y un punto en $B$ .

Algunos autores ^{[ 2 ]}^{: 5} restringen la definición a subconjuntos que son unibles : cualesquiera dos segmentos de línea diferentes, que conectan un punto de A con un punto de B, se encuentran en como máximo un punto final común (es decir, no se intersecan en su interior). Cualquier par de subconjuntos puede hacerse "unible". Por ejemplo, si $A$ está en $\mathbb {R} ^{n}$ y $B$ está en $\mathbb {R} ^{m}$ , entonces $A\times \{0^{m}\}\times \{0\}$ y $\{0^{n}\}\times B\times \{1\}$ son unibles en $\mathbb {R} ^{n+m+1}$ . La figura anterior muestra un ejemplo para m=n=1, donde $A$ y $B$ son segmentos de línea.

Ejemplos

La unión de dos símplices es un símplice: la unión de un símplice n- dimensional y un símplice m- dimensional es un símplice ( m + n + 1)-dimensional. Algunos casos especiales son:
- La unión de dos puntos disjuntos es un intervalo ( m = n = 0).
- La unión de un punto y un intervalo es un triángulo (m=0, n=1).
- La unión de dos segmentos de línea es homeomorfa a un tetraedro sólido o disfenoides , ilustrado en la figura superior derecha ( m = n = 1).
- La unión de un punto y un simplex ( n -1)-dimensional es un simplex n- dimensional.
La unión de un punto y un polígono (o cualquier politopo ) es una pirámide , al igual que la unión de un punto y un cuadrado es una pirámide cuadrada . La unión de un punto y un cubo es una pirámide cúbica .
La unión de un punto y un círculo es un cono , y la unión de un punto y una esfera es un hipercono .

Espacios topológicos

Si $A$ y $B$ Si existen espacios topológicos, entonces:

{\displaystyle A\star B\

donde el cilindro $A\times B\times [0,1]$ está unido a los espacios originales $A$ y $B$ a lo largo de las proyecciones naturales de las caras del cilindro:

{A\times B\times \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,

{A\times B\times \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.

Por lo general, se asume implícitamente que $A$ y $B$ no son vacíos, en cuyo caso la definición a menudo se formula de manera un poco diferente: en lugar de unir las caras del cilindro $A\times B\times [0,1]$ a los espacios $A$ y $B$ Estos rostros simplemente se colapsan de una manera sugerida por las proyecciones de los aditamentos. $p_{1},p_{2}$ : formamos el espacio cociente

{\displaystyle A\star B\

donde la relación de equivalencia $\sim$ es generado por

(a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{para todo }}a\in A{\mbox{ y }}b_{1},b_{2}\in B,

(a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{para todo }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox{ y }}b\in B.

En los puntos finales, esto colapsa $A\times B\times \{0\}$ a $A$ y $A\times B\times \{1\}$ a $B$ .

Si $A$ y $B$ son subconjuntos acotados del espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ , y $A\subsetequ U$ y $B\subsetequ V$ , dónde $U,V$ son subespacios disjuntos de $\mathbb {R} ^{n}$ de tal manera que la dimensión de su casco afín es $\dim U+\dim V+1$ (por ejemplo, dos líneas no paralelas que no se intersecan en $\mathbb {R} ^{3}$ ), entonces la definición topológica se reduce a la definición geométrica, es decir, la "unión geométrica" es homeomorfa a la "unión topológica": ^{[ 3 ]}^{: 75, Prop.4.2.4}

${\big (}(A\times B\times [0,1])/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}$

complejos simpliciales abstractos

Si $A$ y $B$ Si existen complejos simpliciales abstractos , entonces su unión es un complejo simplicial abstracto definido de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}^{: 74, Def.4.2.1}

El conjunto de vértices $V(A\star B)$ es una unión disjunta de $V(A)$ y $V(B)$ .
Los simples de $A\star B$ son todas uniones disjuntas de un simplex de $A$ con un simplex de $B$ : $A\star B:=\{a\sqcup b:a\in A,b\in B\}$ (en el caso especial en el que $V(A)$ y $V(B)$ son disjuntos, la unión es simplemente $\{a\cup b:a\in A,b\in B\}$ ).

Ejemplos

Suponer $A=\{\emptyset ,\{a\}\}$ y $B=\{\emptyset ,\{b\}\}$ , es decir, dos conjuntos con un solo punto. Entonces $A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ , que representa un segmento de línea. Nótese que los conjuntos de vértices de A y B son disjuntos; de lo contrario, deberíamos haberlos hecho disjuntos. Por ejemplo, $A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}$ donde a ₁ y a ₂ son dos copias del único elemento en V(A). Topológicamente, el resultado es el mismo que $A\star B$ - un segmento de línea.
Suponer $A=\{\emptyset ,\{a\}\}$ y $B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}$ . Entonces $A\star B=P(\{a,b,c\})$ , que representa un triángulo.
Suponer $A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}$ y $B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}$ , es decir, dos conjuntos con dos puntos discretos. $A\star B$ es un complejo con facetas $\{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}$ , que representa un "cuadrado".

La definición combinatoria es equivalente a la definición topológica en el siguiente sentido: ^{[ 3 ]}^{: 77, Ejercicio.3} para cada dos complejos simpliciales abstractos $A$ y $B$ , $||A\star B||$ es homeomorfo a $||A||\star ||B||$ , dónde $||X||$ denota cualquier realización geométrica del complejo $X$ .

Mapas

Dados dos mapas $f:A_{1}\to A_{2}$ y $g:B_{1}\to B_{2}$ , su unión $f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}$ se define en función de la representación de cada punto en la unión $A_{1}\star B_{1}$ como $t\cdot a+(1-t)\cdot b$ , para algunos $a\in A_{1},b\in B_{1}$ : ^{[ 3 ]}^{: 77}

$f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)$

Casos especiales

El cono de un espacio topológico $X$ , denotado $CX$ , es una unión de $X$ con un solo punto.

La suspensión de un espacio topológico $X$ , denotado $SX$ , es una unión de $X$ con $S^{0}$ (la esfera de dimensión 0 , o el espacio discreto con dos puntos).

Propiedades

Conmutatividad

La unión de dos espacios es conmutativa salvo homeomorfismo , es decir $A\star B\cong B\star A$ .

Asociatividad

No es cierto que la operación de unión definida anteriormente sea asociativa salvo homeomorfismo para espacios topológicos arbitrarios. Sin embargo, para espacios de Hausdorff localmente compactos $A,B,C$ tenemos $(A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).$ Por lo tanto, se puede definir la unión k veces de un espacio consigo mismo, $A^{*k}:=A*\cdots *A$ ( k veces).

Es posible definir una operación de unión diferente. $A\;{\hat {\star }}\;B$ que utiliza el mismo conjunto subyacente que $A\star B$ pero una topología diferente, y esta operación es asociativa para todos los espacios topológicos. Para espacios de Hausdorff localmente compactos $A$ y $B$ , las uniones $A\star B$ y $A\;{\hat {\star }}\;B$ coinciden. ^{[ 4 ]}

Equivalencia homotópica

Si $A$ y $A'$ son homotópicamente equivalentes , entonces $A\star B$ y $A'\star B$ son homotópicamente equivalentes también. ^{[ 3 ]}^{: 77, Ejercicio.2}

Unión reducida

Dados los complejos CW con punto base $(A,a_{0})$ y $(B,b_{0})$ , la "unión reducida"

{\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}

es homeomorfo a la suspensión reducida

$\Sigma (A\wedge B)$

del producto aplastado . En consecuencia, dado que ${A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}$ es contraíble , hay una equivalencia homotópica

A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).

Esta equivalencia establece el isomorfismo ${\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}$ .

Conectividad homotópica

Dados dos espacios triangulares $A,B$ , la conectividad homotópica ( $\eta _{\pi }$ ) de su unión es al menos la suma de las conectividades de sus partes: ^{[ 3 ]}^{: 81, Prop.4.4.3}

$\eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)$ .

Como ejemplo, dejemos $A=B=S^{0}$ Sea un conjunto de dos puntos desconectados. Hay un agujero unidimensional entre los puntos, por lo que $\eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1$ . La unión $A*B$ es un cuadrado, que es homeomorfo a un círculo que tiene un agujero bidimensional, por lo tanto $\eta _{\pi }(A*B)=2$ . La unión de este cuadrado con una tercera copia de $S^{0}$ es un octaedro , que es homeomorfo a $S^{2}$ , cuyo agujero es tridimensional. En general, la unión de n copias de $S^{0}$ es homeomorfo a $S^{n-1}$ y $\eta _{\pi }(S^{n-1})=n$ .

Eliminó la unión

La unión eliminada de un complejo abstracto A es un complejo abstracto que contiene todas las uniones disjuntas de caras disjuntas de A : ^{[ 3 ]}^{: 112}

$A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}$

Ejemplos

Suponer $A=\{\emptyset ,\{a\}\}$ (un solo punto). Entonces $A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}$ , es decir, un espacio discreto con dos puntos disjuntos (recordemos que $A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}$ = un intervalo).
Suponer $A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}$ (dos puntos). Entonces $A_{\Delta }^{*2}$ es un complejo con facetas $\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}$ (dos aristas disjuntas).
Suponer $A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ (un borde). Entonces $A_{\Delta }^{*2}$ es un complejo con facetas $\{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}$ (un cuadrado). Recuerda que $A^{\star 2}$ representa un tetraedro sólido.
Supongamos que A representa un simplex de dimensión ( n -1) (con n vértices). Entonces la unión $A^{\star 2}$ es un simplex ( 2n- 1)-dimensional (con 2n vértices ): es el conjunto de todos los puntos (x1 _, ..., x2n ₎ con coordenadas no negativas tales que x1 ₊ ... + _x2n = 1. La unión eliminada $A_{\Delta }^{*2}$ puede considerarse como un subconjunto de este simplex: es el conjunto de todos los puntos (x ₁ ,...,x _2n ) en ese simplex, tales que las únicas coordenadas no nulas son algunas k coordenadas en x ₁ ,..,x _n , y las nk coordenadas complementarias en x _n+1 ,...,x _2n .

Propiedades

La operación de unión eliminada conmuta con la unión. Es decir, para cada dos complejos abstractos A y B : ^{[ 3 ]}^{: Lem.5.5.2}

$(A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})$

Demostración . Cada simplex en el complejo del lado izquierdo tiene la forma $(a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})$ , dónde $a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B$ , y $(a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})$ son disjuntos. Debido a las propiedades de una unión disjunta, esta última condición es equivalente a: $a_{1},a_{2}$ son disjuntos y $b_{1},b_{2}$ son disjuntos.

Cada simplex en el complejo del lado derecho tiene la forma $(a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})$ , dónde $a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B$ , y $a_{1},a_{2}$ son disjuntos y $b_{1},b_{2}$ son disjuntos. Por lo tanto, los conjuntos de símplices en ambos lados son exactamente iguales. □

En particular, la unión eliminada del simplex n-dimensional $\Delta ^{n}$ con sí mismo es el politopo cruzado n-dimensional , que es homeomorfo a la esfera n-dimensional $S^{n}$ . ^{[ 3 ]}^{: Cor.5.5.3}

Generalización

La unión eliminada k-ésima de n pliegues de un complejo simplicial A se define como:

$A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}$ , donde "k-ésimo disjunto" significa que cada subconjunto de k tiene una intersección vacía.

En particular, la unión eliminada n - múltiplos contiene todas las uniones disjuntas de n caras cuya intersección es vacía, y la unión eliminada 2-múltiplos n- múltiplos es más pequeña: contiene solo las uniones disjuntas de n caras que son disjuntas por pares. La unión eliminada 2-múltiplos es simplemente la unión eliminada simple definida anteriormente.

La unión eliminada de 2 dimensiones n -múltiples de un espacio discreto con m puntos se denomina complejo de tablero de ajedrez ( m , n ) .

Véase también

Dessuspensión

Referencias

↑ Colin P. Rourke y Brian J. Sanderson (1982). Introducción a la topología lineal por partes . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3.
↑ Bryant, John L. (1 de enero de 2001), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes" , en Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), Manual de topología geométrica , Ámsterdam: North-Holland, pp. 219–259 , ISBN 978-0-444-82432-5, consultado el 15 de noviembre de 2022
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : Lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler ., Sección 4.3
↑ Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry (2016). Topología homotópica (2.ª ed.). Springer. p. 20.

Hatcher, Allen , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-Xy ISBN 0-521-79540-0
Este artículo incorpora material de Join on PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
Brown, Ronald , Topología y Grupoides Sección 5.7 Uniones.

[1] Colin P. Rourke y Brian J. Sanderson (1982). Introducción a la topología lineal por partes . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3.

[2] Bryant, John L. (1 de enero de 2001), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes" , en Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), Manual de topología geométrica , Ámsterdam: North-Holland, pp. 219–259 , ISBN 978-0-444-82432-5, consultado el 15 de noviembre de 2022

[:0-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : Lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler ., Sección 4.3

[4] Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry (2016). Topología homotópica (2.ª ed.). Springer. p. 20.

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Conjuntos geométricos

Ejemplos

Espacios topológicos

complejos simpliciales abstractos

Ejemplos

Mapas

Casos especiales

Propiedades

Conmutatividad

Asociatividad

Equivalencia homotópica

Unión reducida

Conectividad homotópica

Eliminó la unión

Ejemplos

Propiedades

Generalización

Véase también

Referencias

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