Anillo topológico

En matemáticas , un anillo topológico es un anillo${\displaystyle R}$que también es un espacio topológico tal que tanto la suma como la multiplicación son continuas como aplicaciones ^{[ 1 ]}${\displaystyle R\times R\to R}$dónde${\displaystyle R\times R}$lleva la topología del producto . Esto significa${\displaystyle R}$es un grupo topológico aditivo y un semigrupo topológico multiplicativo .

Los anillos topológicos están fundamentalmente relacionados con los cuerpos topológicos y surgen de forma natural al estudiarlos, ya que, por ejemplo, la completación de un cuerpo topológico puede ser un anillo topológico que no es un cuerpo . ^{[ 2 ]}

El grupo de unidades${\displaystyle R^{\times }}$de un anillo topológico${\displaystyle R}$es un grupo topológico cuando se le dota de la topología que proviene de la incrustación de${\displaystyle R^{\times }}$en el producto${\displaystyle R\times R}$como${\displaystyle \left(x,x^{-1}\right).}$Sin embargo, si el grupo de unidades está dotado de la topología de subespacio como un subespacio de${\displaystyle R,}$puede que no sea un grupo topológico, porque la inversión en${\displaystyle R^{\times }}$no tiene por qué ser continuo con respecto a la topología del subespacio. Un ejemplo de esta situación es el anillo de Adele de un cuerpo global ; su grupo de unidades, llamado grupo de Idele , no es un grupo topológico en la topología del subespacio. Si la inversión en${\displaystyle R^{\times }}$es continua en la topología del subespacio de${\displaystyle R}$entonces estas dos topologías en${\displaystyle R^{\times }}$son lo mismo.

Si no se exige que un anillo tenga una unidad, entonces hay que añadir el requisito de continuidad del inverso aditivo, o equivalentemente, definir el anillo topológico como un anillo que es un grupo topológico (con respecto a la suma) en el que la multiplicación también es continua.

Los anillos topológicos aparecen en el análisis matemático , por ejemplo, como anillos de funciones continuas de valor real en algún espacio topológico (donde la topología viene dada por la convergencia puntual), o como anillos de operadores lineales continuos en algún espacio vectorial normado ; todas las álgebras de Banach son anillos topológicos. Los racionales , reales , complejos y${\displaystyle p}$Los números n-ádicos también son anillos topológicos (incluso cuerpos topológicos, véase más adelante) con sus topologías estándar. En el plano, los números complejos divididos y los números duales forman anillos topológicos alternativos. Véase números hipercomplejos para otros ejemplos de baja dimensión.

En álgebra conmutativa , es común la siguiente construcción: dado un ideal${\displaystyle I}$en un anillo conmutativo${\displaystyle R,}$la topología I -ádica en${\displaystyle R}$se define de la siguiente manera: un subconjunto${\displaystyle U}$de${\displaystyle R}$está abierto si y solo si para cada${\displaystyle x\in U}$existe un número natural${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle x+I^{n}\subsetequ U.}$Esto se convierte en${\displaystyle R}$en un anillo topológico. El${\displaystyle I}$La topología -ádica es Hausdorff si y solo si la intersección de todas las potencias de${\displaystyle I}$es el ideal cero${\displaystyle (0).}$

El${\displaystyle p}$La topología -ádica en los enteros es un ejemplo de una${\displaystyle I}$topología -ádica (con${\displaystyle I=p\mathbb {Z} }$).

Todo anillo topológico es un grupo topológico (con respecto a la adición) y, por lo tanto, un espacio uniforme de manera natural. Por consiguiente, se puede preguntar si un anillo topológico dado${\displaystyle R}$está completo . Si no lo está, entonces se puede completar : se puede encontrar un anillo topológico completo esencialmente único.${\displaystyle S}$que contiene${\displaystyle R}$como un subanillo denso tal que la topología dada en${\displaystyle R}$es igual a la topología del subespacio que surge de${\displaystyle S.}$ Si el anillo de inicio${\displaystyle R}$es métrico, el anillo${\displaystyle S}$puede construirse como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en${\displaystyle R,}$Esta relación de equivalencia hace que el anillo${\displaystyle S}$Utilizando Hausdorff y secuencias constantes (que son de Cauchy), se obtiene un morfismo continuo (uniformemente) (CM en adelante).${\displaystyle c:R\to S}$de tal manera que, para todo CM${\displaystyle f:R\to T}$dónde${\displaystyle T}$es Hausdorff y completo, existe un CM único${\displaystyle g:S\to T}$de tal manera que ${\displaystyle f=g\circ c.}$Si${\displaystyle R}$no es métrico (como, por ejemplo, el anillo de todas las funciones de valor racional de variable real, es decir, todas las funciones${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q} }$dotada de la topología de convergencia puntual), la construcción estándar utiliza filtros de Cauchy mínimos y satisface la misma propiedad universal que la anterior (véase Bourbaki , Topología general, III.6.5).

Los anillos de la serie de poder formal y el${\displaystyle p}$Los enteros -ádicos se definen de forma más natural como completaciones de ciertos anillos topológicos que contienen${\displaystyle I}$-topologías ádicas .

Algunos de los ejemplos más importantes son los campos topológicos . Un campo topológico es un anillo topológico que también es un campo , y tal que la inversión de elementos distintos de cero es una función continua. Los ejemplos más comunes son los números complejos y todos sus subcampos , y los campos valuados , que incluyen los${\displaystyle p}$campos -ádicos .

• Grupo compacto – Grupo topológico con topología compacta 
• Campo completo
• Campo localmente compacto
• Grupo localmente compacto : un tipo de grupo topológico en matemáticas. 
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Semigrupo fuertemente continuo : generalización de la función exponencial. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• grupo abeliano topológico
• Campo topológico : estructura algebraica con suma, multiplicación y división. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• Grupo topológico : Grupo que es un espacio topológico con operaciones de grupo continuas. 
• Módulo topológico
• semigrupo topológico
• Espacio vectorial topológico : espacio vectorial con una noción de proximidad.