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Topos

En matemáticas , un topos de Grothendieck ( EE. UU.: /ˈtɒpɒs / , Reino Unido : / ˈtoʊpoʊs , ˈtoʊpɒs / ; plural topoi / ˈtɒpɔɪ / o / ˈtoʊpɔɪ / , o toposes ) es una categoría que ...

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En matemáticas , un topos de Grothendieck ( EE. UU.: /ˈtɒpɒs / , Reino Unido : / ˈtoʊpoʊs , ˈtoʊpɒs / ; plural topoi / ˈtɒpɔɪ / o / ˈtoʊpɔɪ / , o toposes ) es una categoría que se comporta como la categoría de haces de conjuntos en un espacio topológico ( o más generalmente, en un sitio ). Los topoi se comportan de manera muy similar a la categoría de conjuntos y poseen una noción de localización. [ 1 ] Los topoi de Grothendieck encuentran aplicaciones en geometría algebraica . Se generalizan mediante topoi elementales , que se utilizan en lógica .

El campo matemático que estudia los topoi se llama teoría de topos .

Introducción

Desde la introducción de los haces en matemáticas en la década de 1940, un tema central ha sido el estudio de un espacio mediante el estudio de haces sobre dicho espacio. Esta idea fue desarrollada por Alexander Grothendieck al introducir la noción de "topos". La principal utilidad de esta noción radica en la abundancia de situaciones en matemáticas donde las heurísticas topológicas son muy efectivas, pero se carece de un espacio topológico adecuado; en ocasiones, es posible encontrar un topos que formalice la heurística. Un ejemplo importante de esta idea programática es el topos étale de un esquema . Otra ilustración de la capacidad de los topos de Grothendieck para encarnar la "esencia" de diferentes situaciones matemáticas se da por su uso como "puentes" para conectar teorías que, aunque escritas en lenguajes posiblemente muy diferentes, comparten un contenido matemático común. [ 2 ] [ 3 ]

Definiciones equivalentes

Un topos de Grothendieck es una categoríado{\displaystyle C}que satisface cualquiera de las tres propiedades siguientes. (Un teorema de Jean Giraud establece que las propiedades que se indican a continuación son todas equivalentes).

AquíPresidente⁡(D){\displaystyle \operatorname {Presh} (D)}denota la categoría de functores contravariantes deD{\displaystyle D}a la categoría de conjuntos; a tal functor contravariante se le llama frecuentemente prefaiscejo .

Los axiomas de Giraud

Axiomas de Giraud para una categoríado{\displaystyle C}son:

  • do{\displaystyle C}tiene un pequeño conjunto de generadores y admite todos los colímites pequeños . Además, los productos de fibra se distribuyen sobre los coproductos; es decir, dado un conjuntoI{\displaystyle I}, unI{\displaystyle I}-mapeo de coproductos indexados aA{\displaystyle A}y un morfismoA′→A{\displaystyle A'\to A}, el retroceso es unI{\displaystyle I}-coproducto indexado de los retrocesos:(∐i∈IBi)×AA′≅∐i∈I(Bi×AA′).{\displaystyle \left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A').}
  • Sumas endo{\displaystyle C}son disjuntos. En otras palabras, el producto de fibra deincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}sobre su suma es el objeto inicial endo{\displaystyle C}.
  • Todas las relaciones de equivalencia endo{\displaystyle C}son eficaces .

El último axioma requiere la mayor explicación. Si X es un objeto de C , una "relación de equivalencia" R en X es una aplicación R → X × X en C tal que para cualquier objeto Y en C , la aplicación inducida Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) da una relación de equivalencia ordinaria en el conjunto Hom( Y , X ). Dado que C tiene colímites, podemos formar el coecualizador de las dos aplicaciones R → X ; llamémoslo X / R . La relación de equivalencia es "efectiva" si la aplicación canónica

R→incógnita×incógnita/Rincógnita{\displaystyle R\to X\times _{X/R}X\,\!}

es un isomorfismo.

Ejemplos

El teorema de Giraud ya proporciona una lista completa de ejemplos de "haces sobre sitios". Cabe señalar, sin embargo, que los sitios no equivalentes suelen dar lugar a topoi equivalentes. Como se indicó en la introducción, los haces sobre espacios topológicos ordinarios motivan muchas de las definiciones y resultados básicos de la teoría de topos.

Categoría de conjuntos y conjuntos G

La categoría de conjuntos es un caso especial importante: desempeña el papel de un punto en la teoría de topos. De hecho, un conjunto puede considerarse como un haz sobre un punto, ya que los functores en la categoría unitaria con un solo objeto y solo el morfismo identidad son conjuntos específicos en la categoría de conjuntos.

De manera similar, hay un toposBGRAMO{\displaystyle BG}para cualquier grupoGRAMO{\displaystyle G}lo cual es equivalente a la categoría deGRAMO{\displaystyle G}-conjuntos. Construimos esto como la categoría de prehaces en la categoría con un objeto, pero ahora el conjunto de morfismos viene dado por el grupoGRAMO{\displaystyle G}. Dado que cualquier functor debe dar unGRAMO{\displaystyle G}-acción sobre el objetivo, esto da la categoría deGRAMO{\displaystyle G}-conjuntos. De manera similar, para un grupoideGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}la categoría de pregavillas enGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}proporciona una colección de conjuntos indexados por el conjunto de objetos enGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}y los automorfismos de un objeto enGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}tiene una acción sobre el objetivo del functor.

Topoi de espacios anillados

Ejemplos más exóticos, y la razón de ser de la teoría de topos, provienen de la geometría algebraica. El ejemplo básico de un topos proviene del topos de Zariski de un esquema . Para cada esquemaincógnita{\displaystyle X}Hay un sitioAbierto(incógnita){\displaystyle {\text{Abrir}}(X)}(de objetos dados por subconjuntos abiertos y morfismos dados por inclusiones) cuya categoría de prehaces forma el topos de Zariski(incógnita)Zar{\displaystyle (X)_{Zar}}Pero una vez consideradas clases distinguidas de morfismos, existen múltiples generalizaciones que conducen a matemáticas no triviales. Además, los topoi proporcionan los fundamentos para estudiar esquemas puramente como functores en la categoría de álgebras.

A un esquema e incluso a una pila se le puede asociar un topos étale , un topos fppf o un topos de Nisnevich . Otro ejemplo importante de un topos proviene del sitio cristalino . En el caso del topos étale, estos forman los objetos de estudio fundamentales en la geometría anabeliana , que estudia objetos en geometría algebraica que están determinados enteramente por la estructura de su grupo fundamental étale .

Patologías

La teoría de topos es, en cierto sentido, una generalización de la topología clásica de conjuntos de puntos. Por lo tanto, cabe esperar encontrar ejemplos, tanto antiguos como nuevos, de comportamientos anómalos . Por ejemplo, Pierre Deligne propuso un caso de un topos no trivial que carece de puntos (véase más adelante la definición de puntos de un topos).

Morfismos geométricos

Siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son topoi, un morfismo geométricotú:incógnita→Y{\displaystyle u:X\to Y}es un par de functores adjuntos ( u ∗ , u ∗ ) (donde u ∗  : Y → X es adjunto izquierdo de u ∗  : X → Y ) tales que u ∗ preserva los límites finitos. Nótese que u ∗ preserva automáticamente los colímites en virtud de tener un adjunto derecho.

Según el teorema del functor adjunto de Freyd , dar un morfismo geométrico X → Y es dar un functor u ∗ : Y → X que preserva los límites finitos y todos los colímites pequeños. Por lo tanto, los morfismos geométricos entre topoi pueden verse como análogos de las aplicaciones de locales . 

Siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son espacios topológicos ytú{\displaystyle u}es un mapa continuo entre ellos, entonces las operaciones de retroceso y avance en haces producen un morfismo geométrico entre los topoi asociados para los sitiosAbierto(incógnita),Abierto(Y){\displaystyle {\text{Abrir}}(X),{\text{Abrir}}(Y)}.

Puntos topográficos

Un punto de un toposincógnita{\displaystyle X}se define como un morfismo geométrico del topos de conjuntos aincógnita{\displaystyle X}.

Si X es un espacio ordinario y x es un punto de X , entonces el functor que transforma un haz F en su tallo F x tiene un adjunto derecho (el functor de "haz rascacielos"), por lo que un punto ordinario de X también determina un punto topos-teórico. Estos pueden construirse como el retroceso-empuje hacia adelante a lo largo de la aplicación continua x : 1 → X . 

Para el topos etale(incógnita)mit{\displaystyle (X)_{et}}de un espacioincógnita{\displaystyle X}, un punto es un objeto un poco más refinado. Dado un puntoincógnita:Especulación(κ(incógnita))→incógnita{\displaystyle x:{\text{Especificación}}(\kappa (x))\to X}del esquema subyacenteincógnita{\displaystyle X}un puntoincógnita′{\displaystyle x'}del topos(incógnita)mit{\displaystyle (X)_{et}}entonces viene dada por una extensión de campo separablek{\displaystyle k}deκ(incógnita){\displaystyle \kappa (x)}de tal manera que el mapa asociadoincógnita′:Especulación(k)→incógnita{\displaystyle x':{\text{Especificación}}(k)\to X}factores a través del punto originalincógnita{\displaystyle x}. Luego, el mapa de factorizaciónEspeculación(k)→Especulación(κ(incógnita)){\displaystyle {\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))}es un morfismo étale de esquemas.

Más precisamente, esos son los puntos globales . No son suficientes por sí mismos para mostrar el aspecto espacial de un topos, porque un topos no trivial puede carecer de él. Los puntos generalizados son morfismos geométricos de un topos Y (la etapa de definición ) a X. Hay suficientes de estos para mostrar el aspecto espacial. Por ejemplo, si X es el topos clasificador S [ T ] para una teoría geométrica T , entonces la propiedad universal dice que sus puntos son los modelos de T (en cualquier etapa de definición Y ).

Morfismos geométricos esenciales

Un morfismo geométrico ( u ∗ , u ∗ ) es esencial si u ∗ tiene un adjunto izquierdo adicional u ! , o equivalentemente (por el teorema del functor adjunto) si u ∗ preserva no solo los límites finitos sino todos los límites pequeños.

Topoi anillado

Un topos anillado es un par ( X , R ), donde X es un topos y R es un objeto anillo conmutativo en X. La mayoría de las construcciones de espacios anillados se realizan para topos anillados. La categoría de objetos R -módulos en X es una categoría abeliana con suficientes inyectivas. Una categoría abeliana más útil es la subcategoría de R- módulos cuasi-coherentes : estos son R -módulos que admiten una presentación.

Otra clase importante de topoi anillados, además de los espacios anillados, son los topoi étale de pilas de Deligne-Mumford .

Teoría de la homotopía de los topos

Michael Artin y Barry Mazur asociaron al sitio subyacente a un topos un conjunto prosimplicial (salvo homotopía ). [ 4 ] (Es mejor considerarlo en Ho(pro-SS); véase Edwards) Usando este sistema inverso de conjuntos simpliciales, a veces se puede asociar a un invariante de homotopía en topología clásica un sistema inverso de invariantes en teoría de topos. El estudio del conjunto prosimplicial asociado al topos étale de un esquema se llama teoría de homotopía étale . [ 5 ] En buenos casos (si el esquema es noetheriano y geométricamente unibranquio ), este conjunto prosimplicial es profinito .

Véase también

Notas

  1. ↑ Ilustración 2004
  2. ↑ Caramello, Olivia (2016). Los topos de Grothendieck como "puentes" unificadores en matemáticas (PDF) (HDR). Universidad Paris Diderot (París 7).
  3. ↑ Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic 'bridges' . Vol. 1. Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN  9780198758914.
  4. ↑ Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969). Homotopía étale . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 100. Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0080957 . ISBN  978-3-540-36142-8.
  5. ↑ Friedlander, Eric M. (1982), Homotopía étale de esquemas simpliciales , Annals of Mathematics Studies, vol. 104, Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08317-9

Referencias

Algunos papeles suaves
  • Edwards, DA; Hastings, HM (verano de 1980). "Teoría Čech: su pasado, presente y futuro" (PDF) . Rocky Mountain Journal of Mathematics . 10 (3): 429– 468. doi : 10.1216/RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR 44236540 . 
  • Baez, John . "Teoría de los topos en pocas palabras" .Una introducción suave.
  • Steven Vickers : " Toposes pour les nuls " y " Toposes pour les vraiment nuls ". Introducciones elementales y aún más elementales a los toposes como espacios generalizados.
  • Illusie, Luc (2004). "¿Qué es... un topos?" (PDF) . Notices of the AMS . 51 (9): 160–1 .

Los siguientes textos son introducciones sencillas a los topos y a los fundamentos de la teoría de categorías. Son adecuados para quienes tienen pocos conocimientos de lógica matemática y teoría de conjuntos, incluso para personas sin formación matemática.

  • Lawvere, F. William ; Schanuel, Stephen H. (1997). Matemáticas conceptuales: Una primera introducción a las categorías . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47817-5.Una "introducción a las categorías para informáticos, lógicos, físicos, lingüistas, etc." (citado del texto de la contraportada).
  • Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Conjuntos para matemáticas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3.Introduce los fundamentos de las matemáticas desde una perspectiva categórica.

Trabajo fundamental de Grothendieck sobre los topoi:

  • Grothendieck, A .; Verdier, JL (1972). Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas . Apuntes de clases de matemáticas. vol.  269. Saltador. doi : 10.1007/BFb0081551 . ISBN 978-3-540-37549-4.Tomo 2 270 doi : 10.1007/BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4

Las siguientes monografías incluyen una introducción a algunos aspectos de la teoría del topos, pero no están dirigidas principalmente a estudiantes principiantes. Se presentan en orden (percibido) de dificultad creciente.

  • McLarty, Colin (1992). Categorías elementales, topos elementales . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-158949-2.Una buena introducción a los fundamentos de la teoría de categorías, la teoría de topos y la lógica de topos. Requiere muy pocos conocimientos previos.
  • Goldblatt, Robert (2013) [1984]. Topoi: El análisis categorial de la lógica . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31796-0. Un buen comienzo. Disponible en línea en la página web de Robert Goldblatt.
  • Bell, John L. (2001). «El desarrollo de la lógica categórica» . En Gabbay, DM; Guenthner, Franz (eds.). Manual de lógica filosófica . Vol.  12 (2.ª  ed.). Springer. pp.  279–. ISBN 978-1-4020-3091-8.Versión disponible en línea en la página web de John Bell.
  • MacLane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Haz en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de topos . Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0.Más completo y más difícil de leer.
  • Barr, Michael ; Wells, Charles (2013) [1985]. Toposes, Triples and Theories . Springer. ISBN 978-1-4899-0023-4.(Versión en línea). Más conciso que *Showaves in Geometry and Logic* , pero difícil para principiantes.
Obras de referencia para expertos, menos adecuadas para una primera introducción.
  • Edwards, DA; Hastings, HM (1976). Teorías de homotopía de Čech y Steenrod con aplicaciones a la topología geométrica . Lecture Notes in Maths. Vol.  542. Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0081083 . ISBN 978-3-540-38103-7.
  • Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica: Volumen 3, Teoría de haces . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol.  52. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44180-3.La tercera parte de la «magnífica obra de Borceux», como la ha denominado Johnstone. Sigue siendo adecuada como introducción, aunque a los principiantes les puede resultar difícil identificar los resultados más relevantes entre la enorme cantidad de material presentado.
  • Johnstone, Peter T. (2014) [1977]. Topos Theory . Courier. ISBN 978-0-486-49336-7.Durante mucho tiempo fue el compendio de referencia sobre la teoría de los topos. Sin embargo, incluso Johnstone describe esta obra como "demasiado difícil de leer y no apta para pusilánimes".
  • Johnstone, Peter T. (2002). Bocetos de un elefante: Un compendio de la teoría del topo . Vol.  2. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851598-2.A principios de 2010, dos de los tres volúmenes previstos de este inmenso compendio ya estaban disponibles.
  • Caramello, Olivia (2017). Teorías, sitios, topos: Relacionando y estudiando teorías matemáticas a través de «puentes» topos-teóricos . Vol.  1. Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.
Libros que abordan aplicaciones específicas de la teoría del topos.
  • Pedicchio, Maria Cristina ; Tholen, Walter; Rota, GC, eds. (2004). Fundamentos categóricos: temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol.  97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8.Incluye numerosas aplicaciones especiales interesantes.