Ley de la probabilidad total

En teoría de la probabilidad , la ley (o fórmula ) de la probabilidad total es una regla fundamental que relaciona las probabilidades marginales con las probabilidades condicionales . Expresa la probabilidad total de un resultado que puede ocurrir a través de varios eventos distintos , de ahí su nombre.

La ley de probabilidad total es ^{[ 1 ]} un teorema que establece, en su caso discreto, que si${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$es un conjunto finito o infinitamente numerable de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos , entonces para cualquier evento${\displaystyle A}$

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$$

o, alternativamente, ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}$$

donde, para cualquier${\displaystyle n}$, si${\displaystyle P(B_{n})=0}$, entonces estos términos simplemente se omiten de la suma ya que${\displaystyle P(A\mid B_{n})}$es finito.

La suma puede interpretarse como un promedio ponderado y, en consecuencia, la probabilidad marginal,${\displaystyle P(A)}$, a veces se le llama "probabilidad promedio"; ^{[ 2 ]} "probabilidad general" se usa a veces en escritos menos formales. ^{[ 3 ]}

La ley de la probabilidad total también puede enunciarse para probabilidades condicionales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P({A\mid C})&={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}\\[2ex]&={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}\\[2ex]&=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})\end{aligned}}}$$

Tomar el${\displaystyle B_{n}}$como se indicó anteriormente, y suponiendo${\displaystyle C}$es un evento independiente de cualquiera de los${\displaystyle B_{n}}$:

$${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})}$$

La ley de probabilidad total se extiende al caso de condicionamiento a eventos generados por variables aleatorias continuas. Sea${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$Sea un espacio de probabilidad . Supongamos que${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con función de distribución${\displaystyle F_{X}}$, y${\displaystyle A}$un evento en${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$Entonces, la ley de probabilidad total establece:

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).}$$

Si${\displaystyle X}$admite una función de densidad${\displaystyle f_{X}}$, entonces el resultado es

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

Además, para el caso específico donde${\displaystyle A=\{Y\in B\}}$, dónde${\displaystyle B}$es un conjunto de Borel , entonces esto produce

$${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

Supongamos que dos fábricas abastecen el mercado de bombillas . Las bombillas de la fábrica X duran más de 5000 horas en el 99% de los casos, mientras que las de la fábrica Y duran más de 5000 horas en el 95% de los casos. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles y la fábrica Y el 40%. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla comprada dure más de 5000 horas?

Aplicando la ley de probabilidad total, tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle P(B_{X})={6 \over 10}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica X ;
• ${\displaystyle P(B_{Y})={4 \over 10}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica Y ;
• ${\displaystyle P(A\mid B_{X})={99 \over 100}}$es la probabilidad de que una bombilla fabricada por X funcione durante más de 5000 horas;
• ${\displaystyle P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}}$es la probabilidad de que una bombilla fabricada por Y funcione durante más de 5000 horas.

Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene un 97,4% de probabilidades de funcionar durante más de 5000 horas.

El término ley de probabilidad total a veces se refiere a la ley de alternativas , que es un caso especial de la ley de probabilidad total aplicada a variables aleatorias discretas . Un autor utiliza la terminología de la "Regla de Probabilidades Condicionales Medias" ^{[ 4 ]} , mientras que otro se refiere a ella como la "ley continua de alternativas" en el caso continuo ^{[ 5 ]} . Este resultado es presentado por Grimmett y Welsh ^{[ 6 ]} como el teorema de partición , nombre que también dan a la ley relacionada de esperanza total .

• Ley de los grandes números
• Ley de la expectativa total
• Ley de la varianza total
• Ley de covarianza total
• Ley de acumulación total
• Distribución marginal