eliminación de ruido de variación total

En el procesamiento de señales , particularmente en el procesamiento de imágenes , la eliminación de ruido por variación total , también conocida como regularización por variación total o filtrado por variación total , es un proceso de eliminación de ruido ( filtro ). Se basa en el principio de que las señales con detalles excesivos y posiblemente espurios tienen una variación total alta , es decir, la integral de la magnitud del gradiente de la imagen es alta. Según este principio, reducir la variación total de la señal —siempre que sea muy similar a la señal original— elimina los detalles no deseados a la vez que preserva detalles importantes como los bordes . El concepto fue desarrollado por LI Rudin , S. Osher y E. Fatemi en 1992 y hoy se conoce como el modelo ROF . ^{[ 1 ]}

Esta técnica de eliminación de ruido presenta ventajas sobre técnicas simples como el suavizado lineal o el filtrado de mediana , que reducen el ruido pero, al mismo tiempo, suavizan los bordes en mayor o menor grado. Por el contrario, la eliminación de ruido por variación total es un filtro de preservación de bordes extraordinariamente eficaz , es decir, preserva los bordes simultáneamente mientras suaviza el ruido en regiones planas, incluso con bajas relaciones señal-ruido. ^{[ 2 ]}

Para una señal digital${\displaystyle x_{n}}$, podemos, por ejemplo, definir la variación total como

${\displaystyle V(x)=\sum _{n}|x_{n+1}-x_{n}|.}$

Dada una señal de entrada${\displaystyle x_{n}}$, el objetivo de la eliminación de ruido de variación total es encontrar una aproximación, llamémosla${\displaystyle y_{n}}$, que tiene una variación total menor que${\displaystyle x_{n}}$pero está "cerca" de${\displaystyle x_{n}}$Una medida de proximidad es la suma de los errores cuadráticos:

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}.}$

Por lo tanto, el problema de eliminación de ruido de variación total se reduce a minimizar el siguiente funcional discreto sobre la señal.${\displaystyle y_{n}}$:

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y).}$

Al diferenciar este funcional con respecto a${\displaystyle y_{n}}$Podemos derivar una ecuación de Euler-Lagrange correspondiente , que puede integrarse numéricamente con la señal original.${\displaystyle x_{n}}$como condición inicial. Este fue el enfoque original. ^{[ 1 ]} Alternativamente, dado que se trata de un funcional convexo , se pueden utilizar técnicas de optimización convexa para minimizarlo y encontrar la solución.${\displaystyle y_{n}}$. ^{[ 3 ]}

El parámetro de regularización${\displaystyle \lambda }$desempeña un papel fundamental en el proceso de eliminación de ruido. Cuando${\displaystyle \lambda =0}$, no hay suavizado y el resultado es el mismo que minimizar la suma de los errores cuadráticos. Como${\displaystyle \lambda \to \infty }$Sin embargo, el término de variación total adquiere cada vez mayor importancia, lo que obliga a que el resultado presente una variación total menor, a costa de que se asemeje menos a la señal de entrada (ruidosa). Por lo tanto, la elección del parámetro de regularización es fundamental para lograr la cantidad justa de eliminación de ruido.

Ahora consideramos señales 2D y , como imágenes. La norma de variación total propuesta por el artículo de 1992 es

${\displaystyle V(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}}$

y es isotrópica y no diferenciable . Una variación que a veces se utiliza, ya que a veces puede ser más fácil de minimizar, es una versión anisotrópica.

${\displaystyle V_{\operatorname {aniso} }(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}}}+{\sqrt {|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}=\sum _{i,j}|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|.}$

El problema estándar de eliminación de ruido de variación total sigue teniendo la forma

${\displaystyle \min _{y}[\operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y)],}$

donde E es la norma L2 _2D . A diferencia del caso 1D, resolver este problema de eliminación de ruido no es trivial. Un algoritmo reciente que lo resuelve se conoce como el método primal-dual . ^{[ 4 ]}

Gracias en parte a la intensa investigación realizada en el campo de la detección comprimida a mediados de la década de 2000, existen muchos algoritmos, como el método de Bregman dividido , que resuelven variantes de este problema.

Supongamos que se nos da una imagen con ruido.${\displaystyle f}$y deseamos calcular una imagen sin ruido${\displaystyle u}$sobre un espacio 2D. ROF demostró que el problema de minimización que buscamos resolver es: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}+{\lambda \over 2}\int _{\Omega }(fu)^{2}\,dx}$

dónde${\textstyle \operatorname {BV} (\Omega)}$es el conjunto de funciones con variación acotada sobre el dominio${\displaystyle \Omega }$,${\textstyle \operatorname {TV} (\Omega)}$es la variación total sobre el dominio, y${\textstyle \lambda }$es un término de penalización. Cuando${\textstyle u}$es suave, la variación total es equivalente a la integral de la magnitud del gradiente:

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}=\int _{\Omega }\|\nabla u\|\,dx}$

dónde${\textstyle \|\cdot \|}$es la norma euclidiana . Entonces, la función objetivo del problema de minimización se convierte en:$${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\int _{\Omega }\left[\|\nabla u\|+{\lambda \over 2}(fu)^{2}\right]\,dx}$$A partir de este funcional, la ecuación de Euler-Lagrange para la minimización –suponiendo que no hay dependencia temporal– nos da la ecuación diferencial parcial elíptica no lineal :

Para algunos algoritmos numéricos, es preferible resolver la versión dependiente del tiempo de la ecuación ROF:$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}=\nabla \cdot \left({\nabla u \over {\|\nabla u\|}}\right)+\lambda (fu)}$$

El modelo de Rudin-Osher-Fatemi fue un componente fundamental para producir la primera imagen de un agujero negro . ^{[ 6 ]}

• difusión anisotrópica
• Variación limitada
• eliminación de ruido de búsqueda de base
• Algoritmo de Chambolle-Pock
• Procesamiento de imágenes digitales
• Lasso (estadística)
• Reducción de ruido
• Medios no locales
• Procesamiento de señales
• Variación total

• TVDIP: Implementación completa de eliminación de ruido por variación total en 1D en Matlab.
• Variación total primal-dual eficiente
• Algoritmo de eliminación de ruido de imágenes TV-L1 en Matlab