Forma cuadrática isotrópica

En matemáticas, una forma cuadrática sobre un cuerpo F se denomina isótropa si existe un vector distinto de cero para el cual la forma se anula; de lo contrario, es anisotrópica . Más explícitamente, si q es una forma cuadrática sobre un espacio vectorial V sobre F , entonces un vector distinto de cero v en V se denomina isótropo si q ( v ) = 0. Una forma cuadrática es isótropa si y solo si existe un vector isótropo distinto de cero (o vector nulo ) para dicha forma cuadrática.

Supongamos que ( V , q ) es un espacio cuadrático y W es un subespacio de V. Entonces, W se denomina subespacio isotrópico de V si algún vector en él es isotrópico, subespacio totalmente isotrópico si todos los vectores en él son isotrópicos, y subespacio anisotrópico si no contiene ningún vector isotrópico (distinto de cero).El índice de isotropía de un espacio cuadrático es el máximo de las dimensiones de los subespacios totalmente isotrópicos. ^{[ 1 ]}

Sobre los números reales, más generalmente en el caso en que F es un cuerpo real cerrado (de modo que la signatura está definida), si la forma cuadrática no es degenerada y tiene la signatura ( a , b ) , entonces su índice de isotropía es el mínimo de a y b . Una forma cuadrática anisotrópica sobre un cuerpo real cerrado siempre es definida . Un ejemplo importante de una forma isotrópica sobre los reales se da en el espacio pseudoeuclidiano .

Sea F un cuerpo de característica distinta de 2 y V = F ² . Si consideramos el elemento general ( x , y ) de V , entonces las formas cuadráticas q = xy y r = x ² − y ² son equivalentes ya que hay una transformación lineal en V que hace que q parezca r , y viceversa. Evidentemente, ( V , q ) y ( V , r ) son isótropos. Este ejemplo se llama plano hiperbólico en la teoría de formas cuadráticas . Un caso común tiene F = números reales en cuyo caso { x ∈ V  : q ( x ) = constante distinta de cero} y { x ∈ V  : r ( x ) = constante distinta de cero} son hipérbolas . En particular, { x ∈ V  : r ( x ) = 1} es la hipérbola unitaria . La notación ⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨ −1 ⟩ ha sido utilizada por Milnor y Husemoller ^{[ 1 ] : 9} para el plano hiperbólico como se muestran los signos de los términos del polinomio bivariado r .

El plano hiperbólico afín fue descrito por Emil Artin como un espacio cuadrático con base { M , N } que satisface M ² = N ² = 0, NM = 1 , donde los productos representan la forma cuadrática. ^{[ 2 ]}

A través de la identidad de polarización, la forma cuadrática se relaciona con una forma bilineal simétrica B ( u , v ) = ⁠ 1 / 4 ⁠ ( q ( u + v ) − q ( u − v )) .

Dos vectores u y v son ortogonales cuando B ( u , v ) = 0 . En el caso del plano hiperbólico, dichos u y v son hiperbólico-ortogonales .

Un espacio con forma cuadrática es escindido (o metabólico ) si existe un subespacio igual a su propio complemento ortogonal ; equivalentemente, el índice de isotropía es igual a la mitad de la dimensión. ^{[ 1 ] : 57} El plano hiperbólico es un ejemplo, y sobre un cuerpo de característica distinta de 2, todo espacio escindido es una suma directa de planos hiperbólicos. ^{[ 1 ] : 12, 3}

Desde el punto de vista de la clasificación de formas cuadráticas, los espacios con formas cuadráticas anisotrópicas son los bloques de construcción básicos para espacios cuadráticos de dimensiones arbitrarias. Para un cuerpo general F , la clasificación de formas cuadráticas anisotrópicas es un problema no trivial. Por el contrario, las formas isotrópicas suelen ser mucho más fáciles de manejar. Según el teorema de descomposición de Witt , todo espacio con producto interno sobre un cuerpo es una suma directa ortogonal de un espacio escindido y un espacio con forma cuadrática definida. ^{[ 1 ] : 56}

• Si F es un cuerpo algebraicamente cerrado , por ejemplo, el cuerpo de los números complejos , y ( V , q ) es un espacio cuadrático de dimensión al menos dos, entonces es isotrópico.
• Si F es un cuerpo finito y ( V , q ) es un espacio cuadrático de dimensión al menos tres, entonces es isotrópico (esto es una consecuencia del teorema de Chevalley-Warning ).
• Si F es el cuerpo Q _p de números p -ádicos y ( V , q ) es un espacio cuadrático de dimensión al menos cinco, entonces es isotrópico.

• Línea isotrópica
• espacio polar
• Grupo Witt
• Anillo de Witt (formas)
• Forma cuadrática universal

• Pete L. Clark, Formas cuadráticas, capítulo I: Teoría de Witts, de la Universidad de Miami en Coral Gables, Florida .
• Larry J. Gerstein (2008) Formas cuadráticas básicas , páginas 14, 15, 23, American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-4465-6
• Tsit Yuen Lam (1973) Teoría algebraica de formas cuadráticas , §1.3 Plano hiperbólico y espacios hiperbólicos, WA Benjamin .
• Tsit Yuen Lam (2005) Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos , Sociedad Matemática Americana ISBN 0-8218-1095-2.
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• Serre, Jean-Pierre (2000) [1973]. Curso de aritmética . Textos de posgrado en matemáticas : Clásicos en matemáticas. Vol.  7 (reimpresión de la 3.ª  ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 1034.11003 .