Campo de números totalmente reales

En teoría de números , un cuerpo numérico F se denomina totalmente real si para cada incrustación de F en los números complejos la imagen se encuentra dentro de los números reales . Condiciones equivalentes son que F sea generado sobre Q por una raíz de un polinomio entero P , siendo todas las raíces de P reales; o que el álgebra de producto tensorial de F con el cuerpo real, sobre Q , sea isomorfa a una potencia tensorial de R.

Por ejemplo, los cuerpos cuadráticos F de grado 2 sobre Q son reales (y, por lo tanto, totalmente reales) o complejos, dependiendo de si se adjunta a Q la raíz cuadrada de un número positivo o negativo . En el caso de los cuerpos cúbicos , un polinomio cúbico entero P irreducible sobre Q tendrá al menos una raíz real. Si tiene una raíz real y dos complejas, la extensión cúbica correspondiente de Q definida al adjuntar la raíz real no será totalmente real, aunque sea un cuerpo de números reales.

Los cuerpos de números totalmente reales desempeñan un papel especial significativo en la teoría algebraica de números . Una extensión abeliana de Q es totalmente real o contiene un subcuerpo totalmente real sobre el cual tiene grado dos.

Cualquier cuerpo numérico que sea de Galois sobre los racionales debe ser totalmente real o totalmente imaginario .

• Campo de números totalmente imaginarios
• Campo CM , una extensión cuadrática totalmente imaginaria de un campo totalmente real.

• Hida, Haruzo (1993), Teoría elemental de las funciones L y las series de Eisenstein , London Mathematical Society Student Texts, vol.  26, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43569-7