Trazar distancia

En mecánica cuántica , y especialmente en información cuántica y el estudio de sistemas cuánticos abiertos , la distancia de traza es una métrica en el espacio de matrices de densidad que proporciona una medida de la distinguibilidad entre dos estados. Es la generalización cuántica de la distancia de Kolmogorov para distribuciones de probabilidad clásicas.

La distancia de traza se define como la mitad de la norma de traza de la diferencia de las matrices:$${\displaystyle T(\rho ,\sigma ):={\frac {1}{2}}\|\rho -\sigma \|_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}}\right],}$$dónde${\displaystyle \|A\|_{1}\equiv \operatorname {Tr} [{\sqrt {A^{\dagger }A}}]}$es la norma de traza de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle {\sqrt {A}}}$es el único semidefinido positivo${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle B^{2}=A}$(que siempre se define para semidefinido positivo)${\displaystyle A}$). Esto puede considerarse como la matriz obtenida de${\displaystyle A}$tomando las raíces cuadradas algebraicas de sus autovalores. Para la distancia de traza, más específicamente tenemos una expresión de la forma${\displaystyle |C|\equiv {\sqrt {C^{\dagger }C}}={\sqrt {C^{2}}}}$dónde${\displaystyle C=\rho -\sigma }$es hermitiana. Esta cantidad es igual a la suma de los valores singulares de${\displaystyle C}$, que es${\displaystyle C}$Hermitiana, es igual a la suma de los valores absolutos de sus autovalores. Más explícitamente, $${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{r}|\lambda _{i}|,}$$ dónde${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$es el${\displaystyle i}$-el autovalor de${\displaystyle \rho -\sigma }$, y${\displaystyle r}$es su rango.

El factor de dos asegura que la distancia de traza entre matrices de densidad normalizadas tome valores en el rango${\displaystyle [0,1]}$.

La distancia de traza sirve como una generalización cuántica directa de la distancia de variación total entre distribuciones de probabilidad. Dadas dos distribuciones de probabilidad${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$, su distancia de variación total se define como$${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{k}|P_{k}-Q_{k}|.}$$Al extender este concepto a los estados cuánticos, hay que tener en cuenta que, para los estados cuánticos, diferentes mediciones pueden producir diferentes distribuciones. Un enfoque natural es considerar la distancia de variación total (clásica) entre los resultados de medición producidos por dos estados para una elección fija de medición, y luego maximizarla sobre todas las mediciones posibles. Este procedimiento conduce precisamente a la distancia de traza entre los estados cuánticos. Más explícitamente, esta es la cantidad$${\displaystyle \max _{\Pi }{\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\sigma )|,}$$con la maximización realizada con respecto a todos los posibles POVM${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i}}$.

Para entender por qué este máximo es igual a la distancia de traza entre los estados, tenga en cuenta que existe una descomposición única.${\displaystyle \rho -\sigma =P-Q}$con${\displaystyle P,Q\geq 0}$Matrices semidefinidas positivas con soporte ortogonal. Con estos operadores podemos escribir de forma concisa${\displaystyle |\rho -\sigma |=P+Q}$. Además${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P),\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q)\geq 0}$y por lo tanto${\displaystyle |\operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))|\leq \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)+\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q)}$Por lo tanto, tenemos$${\displaystyle \sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|=\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P-Q))|\leq \sum _{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P+Q))=\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |.}$$Esto demuestra que$${\displaystyle \max _{\Pi }\delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })\leq T(\rho ,\sigma ),}$$dónde${\displaystyle P_{\Pi ,\rho }}$denota la distribución de probabilidad clásica resultante de la medición${\displaystyle \rho }$con el POVM${\displaystyle \Pi }$,${\displaystyle (P_{\Pi ,\rho })_{i}\equiv \operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )}$y el máximo se realiza sobre todos los POVM.${\displaystyle \Pi \equiv \{\Pi _{i}\}_{i}}$.

Para concluir que la desigualdad está saturada por algún POVM, solo necesitamos considerar la medición proyectiva con elementos correspondientes a los autovectores de${\displaystyle \rho -\sigma }$. Con esta elección,$${\displaystyle \delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\lambda _{i}|=T(\rho ,\sigma ),}$$dónde${\displaystyle \lambda _{i}}$son los valores propios de${\displaystyle \rho -\sigma }$.

Al utilizar la dualidad de Hölder para las normas de Schatten , la distancia de traza se puede escribir en forma variacional como ^{[ 1 ].}

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].}$

En cuanto a su contraparte clásica, la distancia de traza puede relacionarse con la probabilidad máxima de distinguir entre dos estados cuánticos:

Por ejemplo, supongamos que Alice prepara un sistema en cualquiera de los estados${\displaystyle \rho }$o${\displaystyle \sigma }$, cada uno con probabilidad${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$y se lo envía a Bob, quien tiene que discriminar entre los dos estados usando una medición binaria. Deja que Bob asigne el resultado de la medición.${\displaystyle 0}$y un elemento POVM${\displaystyle P_{0}}$como el resultado${\displaystyle 1}$y un elemento POVM${\displaystyle P_{1}=1-P_{0}}$identificar el estado${\displaystyle \rho }$o${\displaystyle \sigma }$, respectivamente. Su probabilidad esperada de identificar correctamente el estado entrante viene dada entonces por

${\displaystyle p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0|\rho )+{\frac {1}{2}}p(1|\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).}$

Por lo tanto, al aplicar una medición óptima, Bob tiene la probabilidad máxima.

${\displaystyle p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))}$

de identificar correctamente en qué estado preparó Alice el sistema. ^{[ 2 ]}

La distancia de traza tiene las siguientes propiedades ^{[ 1 ]}

• Es una métrica en el espacio de matrices de densidad, es decir, es no negativa, simétrica y satisface la desigualdad triangular , y${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=0\Leftrightarrow \rho =\sigma }$
• ${\displaystyle 0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1}$y${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=1}$si y solo si${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$tienen soportes ortogonales
• Se conserva bajo transformaciones unitarias :${\displaystyle T(U\rho U^{\dagger },U\sigma U^{\dagger })=T(\rho ,\sigma )}$
• Es contractivo bajo mapas CP que preservan trazas , es decir, si${\displaystyle \Phi }$es un mapa CPTP, entonces${\displaystyle T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )}$
• Es convexa en cada una de sus entradas. Por ejemplo:${\displaystyle T(\sum _{i}p_{i}\rho _{i},\sigma )\leq \sum _{i}p_{i}T(\rho _{i},\sigma )}$
• En estados puros, se puede expresar de forma única en términos del producto interno de los estados:${\displaystyle T(|\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |)={\sqrt {1-|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}}}$^{[ 3 ]}

Para los cúbits , la distancia de traza es igual a la mitad de la distancia euclidiana en la representación de Bloch .