Campo de traza de una representación

Los grupos fuchsianos son subgrupos discretos de${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )}$. El rastro de un elemento en${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )}$está bien definido salvo signo (tomando la traza de una preimagen arbitraria en${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$) y el campo de traza de${\displaystyle \Gamma }$es el campo generado sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$por las huellas de todos los elementos de${\displaystyle \Gamma }$(véase, por ejemplo, en Maclachlan y Reid (2003) ).

El campo traza invariante es igual al campo traza del subgrupo${\displaystyle \Gamma ^{(2)}}$generado por todos los cuadrados de elementos de${\displaystyle \Gamma }$(un subgrupo de índice finito de${\displaystyle \Gamma }$). ^{[ 1 ]}

El campo de traza invariante de los grupos fuchsianos es estable al tomar grupos conmensurables . Este no es el caso para el campo de traza; ^{[ 2 ]} en particular, el campo de traza es en general diferente del campo de traza invariante.

Dejar${\displaystyle \Gamma }$ser un grupo fuchsiano y${\displaystyle k}$su campo de traza. Deje${\displaystyle A}$ser el${\displaystyle k}$-subálgebra del álgebra matricial${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$generado por las preimágenes de elementos de${\displaystyle \Gamma }$. El álgebra${\displaystyle A}$es entonces lo más simple posible, más precisamente: ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle \Gamma }$es del primer o segundo tipo entonces${\displaystyle A}$es un álgebra de cuaterniones sobre${\displaystyle k}$.

El álgebra${\displaystyle A}$se llama álgebra de cuaterniones de${\displaystyle \Gamma }$. El álgebra de cuaterniones de${\displaystyle \Gamma ^{(2)}}$se denomina álgebra de cuaterniones invariante de${\displaystyle \Gamma }$, denotado por${\displaystyle A\Gamma }$En cuanto a los campos traza, el primero no es el mismo para todos los grupos en la misma clase de conmensurabilidad, pero el segundo sí lo es.

Si${\displaystyle \Gamma }$es un grupo fuchsiano aritmético entonces${\displaystyle k\Gamma }$y${\displaystyle A\Gamma }$juntos son un cuerpo numérico y un álgebra de cuaterniones a partir de los cuales se puede formar un grupo conmensurable.${\displaystyle \Gamma }$puede derivarse. ^{[ 4 ]}

La teoría para grupos kleinianos (subgrupos discretos de${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {C} )}$) es en su mayor parte similar a la de los grupos fuchsianos. ^{[ 5 ]} Una gran diferencia es que el campo traza de un grupo de covolumen finito es siempre un campo numérico. ^{[ 6 ]}

Al considerar subgrupos de grupos de Lie generales (que no necesariamente se definen como grupos matriciales ), es necesario utilizar una representación lineal del grupo para tomar trazas de elementos. La más natural es la representación adjunta . Resulta que para aplicaciones es mejor, incluso para grupos que tienen una representación lineal natural de menor dimensión (como los grupos lineales especiales) .${\displaystyle \mathrm {SL} _ {n}(\mathbb {R} )}$), para definir siempre el campo de traza utilizando la representación adjunta. Así, tenemos la siguiente definición, originalmente debida a Ernest Vinberg , ^{[ 7 ]} quien utilizó la terminología "campo de definición". ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de mentiras y${\displaystyle \Gamma \subset G}$un subgrupo. Sea${\displaystyle \rho }$sea ​​la representación adjunta de${\displaystyle G}$. El campo de traza de${\displaystyle \Gamma }$es el campo:

${\displaystyle k\Gamma =\mathbb {Q} (\{\operatorname {trace} (\rho (\gamma )):\gamma \in \Gamma \}).}$

Si dos subgrupos densos de Zariski de${\displaystyle G}$Si son conmensurables, entonces tienen el mismo campo de traza en este sentido.

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de Lie semisimple y${\displaystyle \Gamma \subset G}$una red . Supongamos además que o bien${\displaystyle \Gamma }$es irreductible y${\displaystyle G}$no es localmente isomorfo a${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$, o que${\displaystyle \Gamma }$no tiene ningún factor localmente isomorfo a${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$. Entonces, la rigidez local implica el siguiente resultado.

El campo${\displaystyle k\Gamma }$es un campo numérico .

Además, existe un grupo algebraico.${\displaystyle \mathbf {G} }$encima${\displaystyle k\Gamma }$de tal manera que el grupo de puntos reales${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {R} )}$es isomorfo a${\displaystyle \rho (G)}$y${\displaystyle \rho (\Gamma )}$está contenido en un conjugado de${\displaystyle \mathbf {G} (k\Gamma )}$. ^{[ 7 ] [ 9 ]} Así${\displaystyle k\Gamma }$es un "campo de definición" para${\displaystyle \Gamma }$en el sentido de que es un campo de definición de su cierre de Zariski en la representación adjunta.

En el caso donde${\displaystyle \Gamma }$es aritmética entonces es conmensurable al grupo aritmético definido por${\displaystyle \mathbf {G} }$.

Para los grupos fuchsianos el campo${\displaystyle k\Gamma }$La definición anterior es igual a su campo traza invariante. Para los grupos kleinianos son iguales si usamos la representación adjunta sobre los números complejos. ^{[ 10 ]}