Grupo fuchsiano aritmético

Un álgebra de cuaterniones sobre un cuerpo${\displaystyle F}$es un sistema central simple de cuatro dimensiones${\displaystyle F}$-álgebra. Un álgebra de cuaterniones tiene una base${\displaystyle 1,i,j,ij}$, dónde${\displaystyle i^{2},j^{2}\in F^{\times }}$y${\displaystyle ij=-ji}$.

Se dice que un álgebra de cuaterniones se divide en${\displaystyle F}$si es isomorfo como un${\displaystyle F}$-álgebra al álgebra de matrices${\displaystyle M_{2}(F)}$.

Si${\displaystyle \sigma }$es una incrustación de${\displaystyle F}$en un campo${\displaystyle E}$, entonces denotamos por${\displaystyle A\otimes _{\sigma }E}$el álgebra obtenida al extender escalares desde${\displaystyle F}$a${\displaystyle E}$donde vemos${\displaystyle F}$como subcampo de${\displaystyle E}$a través de${\displaystyle \sigma }$.

Un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )}$Se dice que se deriva de un álgebra de cuaterniones si se puede obtener mediante la siguiente construcción. Sea${\displaystyle F}$ser un campo de números totalmente reales y${\displaystyle A}$un álgebra de cuaterniones sobre${\displaystyle F}$que satisface las siguientes condiciones. Primero hay una incrustación única${\displaystyle \sigma :F\hookrightarrow \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle A\otimes _{\sigma }\mathbb {R} }$está dividido por${\displaystyle \mathbb {R} }$; denotamos por${\displaystyle \phi :A\otimes _{\sigma }\mathbb {R} \to M_{2}(\mathbb {R} )}$un isomorfismo de${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebras. También pedimos que para todas las demás incrustaciones${\displaystyle \tau }$el álgebra${\displaystyle A\otimes _{\tau }\mathbb {R} }$no está dividido (esto es equivalente a que sea isomorfo a los cuaterniones de Hamilton ). A continuación, necesitamos un orden${\displaystyle {\mathcal {O}}}$en${\displaystyle A}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ser el grupo de elementos en${\displaystyle {\mathcal {O}}}$de norma reducida 1 y sea${\displaystyle \Gamma }$sea ​​su imagen en${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$a través de${\displaystyle \phi }$. Luego la imagen de${\displaystyle \Gamma }$es un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$(ya que la norma reducida de un álgebra matricial es simplemente el determinante) y podemos considerar el grupo fuchsiano que es su imagen en${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )}$.

El hecho principal sobre estos grupos es que son subgrupos discretos y tienen un covolumen finito para la medida de Haar en${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} ).}$Además, la construcción anterior produce un subgrupo cocompacto si y solo si el álgebra${\displaystyle A}$no está dividido${\displaystyle F}$La discreción es una consecuencia bastante inmediata del hecho de que${\displaystyle A}$Se divide únicamente en una incrustación real. La finitud del covolumen es más difícil de demostrar. ^{[ 1 ]}

Un grupo fuchsiano aritmético es cualquier subgrupo de${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )}$lo cual es conmensurable a un grupo derivado de un álgebra de cuaterniones. De esta definición se deduce inmediatamente que los grupos fuchsianos aritméticos son discretos y de covolumen finito (esto significa que son retículos en${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )}$).

El ejemplo más simple de un grupo fuchsiano aritmético es el modular${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {Z} ),}$que se obtiene mediante la construcción anterior con${\displaystyle A=M_{2}(\mathbb {Q} )}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} ).}$Al tomar pedidos de Eichler en${\displaystyle A}$obtenemos subgrupos${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$para${\displaystyle N\geqslant 2}$de índice finito en${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$que se puede escribir explícitamente de la siguiente manera:

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):c=0{\pmod {N}}\right\}.}$

La aritmeticidad de dichos subgrupos se deduce del hecho de que son de índice finito en el grupo aritmético.${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$; pertenecen a una clase más general de subgrupos de índice finito, a saber, subgrupos de congruencia .

Cualquier orden en un álgebra de cuaterniones sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$que no está dividido${\displaystyle \mathbb {Q} }$pero se divide por${\displaystyle \mathbb {R} }$produce un grupo fuchsiano aritmético cocompacto. Existe una gran cantidad de tales álgebras. ^{[ 2 ]}

De manera más general, todos los órdenes en álgebras de cuaterniones (que satisfacen las condiciones anteriores) que no son${\displaystyle M_{2}(\mathbb {Q} )}$generan subgrupos cocompactos. Otro ejemplo de particular interés se obtiene tomando${\displaystyle A}$ser los cuaterniones de Hurwitz .

Una pregunta natural es identificar aquellos entre los grupos fuchsianos aritméticos que no están estrictamente contenidos en un subgrupo discreto mayor. Estos se denominan grupos kleinianos maximales , y es posible dar una clasificación completa en una clase de conmensurabilidad aritmética dada. Un teorema de Margulis implica que una red en${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {C} )}$es aritmética si y solo si es conmensurable a infinitos grupos kleinianos máximos.

Un subgrupo de congruencia principal de${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$es un subgrupo de la forma

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d=1{\pmod {N}},\,b,c=0{\pmod {N}}\right\}}$

para algunos${\displaystyle N\geqslant 1.}$Estos son subgrupos normales de índice finito, y el cociente${\displaystyle \Gamma /\Gamma (N)}$es isomorfo al grupo finito${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$Un subgrupo de congruencia de${\displaystyle \Gamma }$es por definición un subgrupo que contiene un subgrupo de congruencia principal (estos son los grupos que se definen tomando las matrices en${\displaystyle \Gamma }$que satisfacen ciertas congruencias módulo un número entero, de ahí su nombre).

Cabe destacar que no todos los subgrupos de índice finito de${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$son subgrupos de congruencia. Una buena manera de ver esto es observar que${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$tiene subgrupos que se proyectan sobre el grupo alternante${\displaystyle A_{n}}$para arbitrario${\displaystyle n,}$y puesto que para grandes${\displaystyle n}$el grupo${\displaystyle A_{n}}$no es un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$para cualquier${\displaystyle N}$, estos subgrupos no pueden ser subgrupos de congruencia. De hecho, hay muchos más subgrupos de no congruencia que de congruencia en${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$. ^{[ 3 ]}

La noción de subgrupo de congruencia se generaliza a grupos fuchsianos aritméticos cocompactos, y los resultados anteriores también son válidos en este contexto general.

Existe un isomorfismo entre${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )}$y el componente conectado del grupo ortogonal${\displaystyle \mathrm {SO} (2,1)}$dado por la acción del primero por conjugación en el espacio de matrices de traza cero, en el cual el determinante induce la estructura de un espacio cuadrático real de signatura (2,1). Los grupos fuchsianos aritméticos pueden construirse directamente en este último grupo tomando los puntos integrales en el grupo ortogonal asociado a formas cuadráticas definidas sobre cuerpos numéricos (y que satisfacen ciertas condiciones).

En esta correspondencia, el grupo modular se asocia, hasta la conmensurabilidad, al grupo${\displaystyle \mathrm {SO} (2,1)(\mathbb {Z} ).}$^{[ 4 ]}

La construcción anterior se puede adaptar para obtener subgrupos en${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {C} )}$: en lugar de pedir${\displaystyle F}$ser totalmente real y${\displaystyle A}$para dividirse en exactamente una incrustación real, uno pide${\displaystyle F}$tener exactamente una incrustación compleja hasta la conjugación compleja, en la que${\displaystyle A}$se divide automáticamente y eso${\displaystyle A}$no se divide en ningún punto de incrustación${\displaystyle F\hookrightarrow \mathbb {R} }$. Los subgrupos de${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {C} )}$Los grupos kleinianos aritméticos que son comparables a los obtenidos mediante esta construcción se denominan grupos kleinianos aritméticos . Al igual que en el caso fuchsiano, los grupos kleinianos aritméticos son subgrupos discretos de covolumen finito.

Es posible dar una fórmula para el volumen de superficies aritméticas distinguidas a partir de los datos aritméticos con los que se construyó. Sea${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ser un orden máximo en el álgebra de cuaterniones${\displaystyle A}$de discriminante${\displaystyle D_{A}}$sobre el campo${\displaystyle F}$, dejar${\displaystyle r=[F:\mathbb {Q} ]}$sea ​​su grado,${\displaystyle D_{F}}$su discriminante y${\displaystyle \zeta _{F}}$su función zeta de Dedekind . Sea${\displaystyle \Gamma _{\mathcal {O}}}$sea ​​el grupo aritmético obtenido de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$mediante el procedimiento anterior y${\displaystyle S}$el orbifold${\displaystyle \Gamma _{\mathcal {O}}\setminus \mathbb {H} ^{2}}$Su volumen se calcula mediante la fórmula ^{[ 6 ] .}

${\displaystyle \operatorname {vol} (S)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{(2\pi )^{2r-2}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}\mid D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).}$

El producto se basa en los ideales primordiales de${\displaystyle O_{F}}$divisor${\displaystyle (D_{A})}$, y${\displaystyle N(\cdot )}$es la función norma en los ideales, es decir${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$es la cardinalidad del anillo finito${\displaystyle O_{F}/{\mathfrak {p}}}$. Si${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} )}$, entonces el resultado de esta fórmula recupera el conocido resultado de que el volumen hiperbólico de la superficie modular es igual a${\displaystyle \pi /3}$.

Junto con la descripción de subgrupos máximos y resultados de finitud para cuerpos numéricos, esta fórmula permite demostrar la siguiente afirmación:

Dado cualquier${\displaystyle V>0}$, solo hay un número finito de superficies aritméticas cuyo volumen es menor que${\displaystyle V}$.

Nótese que en dimensiones ≥ 4, el teorema de finitud de Wang (una consecuencia de la rigidez local ) afirma que esta afirmación sigue siendo cierta al reemplazar "aritmética" por "volumen finito". Belolipetsky– Gelander –Lubotzky– Mozes proporcionaron un equivalente asintótico para el número de variedades aritméticas de un cierto volumen . ^{[ 7 ]}

El orbifold hiperbólico de volumen mínimo se puede obtener como la superficie asociada a un orden particular, el orden de cuaternión de Hurwitz , y es compacto de volumen.${\displaystyle \pi /21}$.

Una geodésica cerrada en una variedad riemanniana es una curva cerrada que también es geodésica . Se puede dar una descripción efectiva del conjunto de tales curvas en una superficie aritmética o 3-variedad: corresponden a ciertas unidades en ciertas extensiones cuadráticas del cuerpo base (la descripción es extensa y no se dará aquí en su totalidad). Por ejemplo, la longitud de las geodésicas cerradas primitivas en la superficie modular corresponde al valor absoluto de las unidades de norma uno en cuerpos cuadráticos reales. Esta descripción fue utilizada por Sarnak para establecer una conjetura de Gauss sobre el orden medio de los grupos de clases de cuerpos cuadráticos reales. ^{[ 8 ]}

Las superficies aritméticas se pueden utilizar ^{[ 9 ]} para construir familias de superficies de género${\displaystyle g}$para cualquier${\displaystyle g}$que satisfacen la desigualdad sistólica (óptima, salvo una constante)

${\displaystyle \operatorname {sys} (S)\geqslant {\frac {4}{3}}\log g.}$

Si${\displaystyle S}$Si se trata de una superficie hiperbólica, entonces existe un operador distinguido.${\displaystyle \Delta }$en funciones suaves en${\displaystyle S}$. En el caso donde${\displaystyle S}$es compacto se extiende a un operador no acotado , esencialmente autoadjunto, en el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(S)}$de funciones de cuadrado integrable en${\displaystyle S}$El teorema espectral en geometría riemanniana establece que existe una base ortonormal .${\displaystyle \phi _{0},\phi _{1},\ldots ,\phi _{n},\ldots }$de autofunciones para${\displaystyle \Delta }$. Los autovalores asociados${\displaystyle \lambda _{0}=0<\lambda _{1}\leqslant \lambda _{2}\leqslant \cdots }$son ilimitadas y su comportamiento asintótico se rige por la ley de Weyl .

En el caso donde${\displaystyle S=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}}$es aritmética, estas autofunciones son un tipo especial de formas automorfas para${\displaystyle \Gamma }$llamadas formas de Maass . Los valores propios de${\displaystyle \Delta }$son de interés para los teóricos de números, así como la distribución y los conjuntos nodales de la${\displaystyle \phi _{n}}$.

El caso donde${\displaystyle S}$El hecho de que tenga un volumen finito es más complicado, pero se puede establecer una teoría similar mediante la noción de forma de cúspide .

La brecha espectral de la superficie${\displaystyle S}$es por definición la brecha entre el valor propio más pequeño${\displaystyle \lambda _{0}=0}$y el segundo valor propio más pequeño${\displaystyle \lambda _{1}>0}$; por lo tanto, su valor es igual a${\displaystyle \lambda _{1}}$y lo denotaremos por${\displaystyle \lambda _{1}(S).}$En general, puede hacerse arbitrariamente pequeño (véase Randol) (sin embargo, tiene una cota inferior positiva para una superficie con volumen fijo). La conjetura de Selberg es la siguiente afirmación que proporciona una cota inferior uniforme conjetural en el caso aritmético:

Si${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$es una red que se deriva de un álgebra de cuaterniones y${\displaystyle \Gamma '}$es un subgrupo de congruencia sin torsión de${\displaystyle \Gamma ,}$entonces para${\displaystyle S=\Gamma '\setminus \mathbb {H} ^{2}}$tenemos${\displaystyle \lambda _{1}(S)\geqslant {\tfrac {1}{4}}.}$

La afirmación solo es válida para una subclase de superficies aritméticas y puede verse que es falsa para subgrupos generales de índice finito en retículos derivados de álgebras de cuaterniones. La afirmación original de Selberg ^{[ 10 ]} se hizo solo para recubrimientos de congruencia de la superficie modular, y se ha verificado para algunos grupos pequeños. ^{[ 11 ]} El propio Selberg demostró la cota inferior${\displaystyle \lambda _{1}\geqslant {\tfrac {1}{16}},}$un resultado conocido como el teorema 1/16 de Selberg. El resultado más conocido en generalidad completa se debe a Luo–Rudnick–Sarnak. ^{[ 12 ]}

La uniformidad de la brecha espectral tiene implicaciones para la construcción de grafos expansores como grafos de Schreier de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$^{[ 13 ]}

La fórmula de traza de Selberg muestra que, para una superficie hiperbólica de volumen finito, es equivalente a conocer el espectro de longitudes (el conjunto de longitudes de todas las geodésicas cerradas en${\displaystyle S}$, con multiplicidades) y el espectro de${\displaystyle \Delta }$Sin embargo, la relación precisa no es explícita.

Otra relación entre espectro y geometría viene dada por la desigualdad de Cheeger , que en el caso de una superficie${\displaystyle S}$afirma aproximadamente que un límite inferior positivo en la brecha espectral de${\displaystyle S}$se traduce en un límite inferior positivo para la longitud total de una colección de curvas cerradas suaves que separan${\displaystyle S}$en dos componentes conectados.

El teorema de ergodicidad cuántica de Alexander Shnirelmann, Yves Colin de Verdière y Steven Zelditch establece que, en promedio, las funciones propias se distribuyen equitativamente en${\displaystyle S}$La conjetura de ergodicidad cuántica única de Zeev Rudnick y Peter Sarnak pregunta si es cierta la afirmación más fuerte de que las funciones propias individuales se distribuyen equitativamente. Formalmente, la afirmación es la siguiente.

Dejar ${\displaystyle S}$ser una superficie aritmética y${\displaystyle \phi _{j}}$ser una secuencia de funciones en${\displaystyle S}$de tal manera que

${\displaystyle \Delta \phi _{j}=\lambda _{j}\phi _{j},\qquad \int _{S}\phi _{j}(x)^{2}\,dx=1.}$

Entonces, para cualquier función suave y compactamente soportada${\displaystyle \psi }$en${\displaystyle S}$tenemos

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\left(\int _{S}\psi (x)\phi _{j}(x)^{2}\,dx\right)=\int _{S}\psi (x)\,dx.}$

Esta conjetura fue probada por Elon Lindenstrauss ^{[ 14 ]} en el caso donde${\displaystyle S}$es compacto y el${\displaystyle \phi _{j}}$son además autofunciones para los operadores de Hecke en${\displaystyle S}$. En el caso de las cubiertas de congruencia del modular, surgen algunas dificultades adicionales, que fueron tratadas por Kannan Soundararajan . ^{[ 15 ]}

El hecho de que para superficies aritméticas los datos aritméticos determinen el espectro del operador de Laplace${\displaystyle \Delta }$Marie-France Vignéras ^{[ 16 ]} lo señaló y lo utilizó para construir ejemplos de superficies hiperbólicas compactas isoespectrales. La formulación precisa es la siguiente:

Si${\displaystyle A}$es un álgebra de cuaterniones,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}}$son órdenes máximas en${\displaystyle A}$y los grupos fuchsianos asociados${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}}$Si no hay torsión, entonces las superficies hiperbólicas${\displaystyle S_{i}=\Gamma _{i}\setminus \mathbb {H} ^{2}}$tienen el mismo espectro de Laplace.

Vignéras luego construyó instancias explícitas para${\displaystyle A,{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}}$que cumpla las condiciones anteriores y que además${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}}$no está conjugado por un elemento de${\displaystyle A}$a${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}}$Las superficies hiperbólicas isoespectrales resultantes no son, por lo tanto, isométricas.