Clase de traza

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , un operador de clase traza es un operador lineal para el cual se puede definir una traza , de manera que dicha traza sea un número finito independiente de la base utilizada para calcularla. Esta traza de operadores de clase traza generaliza la traza de matrices estudiada en álgebra lineal . Todos los operadores de clase traza son operadores compactos .

En mecánica cuántica , los estados cuánticos se describen mediante matrices de densidad , que son ciertos operadores de clase traza. ^{[ 1 ]}

Los operadores de clase traza son esencialmente lo mismo que los operadores nucleares , aunque muchos autores reservan el término "operador de clase traza" para el caso especial de operadores nucleares en espacios de Hilbert y utilizan el término "operador nuclear" en espacios vectoriales topológicos más generales (como los espacios de Banach ).

Definición

Dejar $H$ sea un espacio de Hilbert separable , $\left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ una base ortonormal y $A:H\to H$ un operador lineal acotado positivo en $H$ . El rastro de $A$ se denota por $\operatorname {Tr} (A)$ y definido como ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

\operatorname {Tr} (A)=\sum _ {k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle,

independiente de la elección de la base ortonormal. Un operador lineal acotado (no necesariamente positivo) $T:H\rightarrow H$ se denomina clase de rastreo si y solo si

\operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,

dónde $|T|:={\sqrt {T^{*}T}}$ denota la raíz cuadrada hermitiana semidefinida positiva . ^[⁴^]

La norma de traza de un operador de clase de traza $T$ se define como $\|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).$ Se puede demostrar que la norma de traza es una norma en el espacio de todos los operadores de clase de traza. $B_{1}(H)$ y eso $B_{1}(H)$ , con la norma de traza, se convierte en un espacio de Banach .

Cuando $H$ es de dimensión finita, cada operador (positivo) es de clase traza. Para $A$ Esta definición coincide con la de la traza de una matriz . Si $H$ es complejo, entonces $A$ es siempre autoadjunto (es decir $A=A^{*}=|A|$ ) aunque lo contrario no es necesariamente cierto. ^{[ 5 ]}

Formulaciones equivalentes

Dado un operador lineal acotado $T:H\to H$ Cada una de las siguientes afirmaciones es equivalente a $T$ estar en la clase de traza:

${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ es finito para toda base ortonormal $\left(e_{k}\right)_{k}$ de $H.$ ^[²^]
$T$ es un operador nuclear . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}
Existen dos secuencias ortogonales $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ y $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ en $H$ y números reales positivos $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ en $\ell ^{1}$ de tal manera que ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$ y
$x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,$
dónde $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ son los valores singulares de $T$ (o, equivalentemente, los valores propios de $|T|$ ), con cada valor repetido tantas veces como su multiplicidad. ^{[ 8 ]}
$T$ es un operador compacto con $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty .$
Si $T$ es una clase de traza, entonces ^{[ 9 ]}
$\|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ y }}C:H\to H{\text{ es un operador compacto }}\right\}.$
$T$ es un operador integral . ^{[ 10 ]}
$T$ es igual a la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt . ^{[ 11 ]}
${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$ es un operador de Hilbert-Schmidt. ^{[ 11 ]}

Ejemplos

Teorema espectral

Dejar $T$ Sea un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert. Entonces $T^{2}$ es una clase de rastreo si y solo si $T$ tiene un espectro de puntos puros con valores propios $\left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }$ de tal manera que ^{[ 12 ]}

\operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .

Teorema de Mercer

El teorema de Mercer proporciona otro ejemplo de un operador de clase traza. Es decir, supongamos que $K$ es un núcleo continuo simétrico definido positivo en $L^{2}([a,b])$ , definido como

K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)

luego el operador integral de Hilbert-Schmidt asociado $T_{K}$ es una clase de traza, es decir,

\operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.

Operadores de rango finito

Todo operador de rango finito es un operador de clase traza. Además, el espacio de todos los operadores de rango finito es un subespacio denso de $B_{1}(H)$ (cuando se le dota de la norma de traza). ^{[ 9 ]}

Dado cualquier $x,y\in H,$ definir el operador $x\otimes y:H\to H$ por $(x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.$ Entonces $x\otimes y$ es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, es de clase traza; además, para cualquier operador lineal acotado A en H (y en H ), $\operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .$ ^{[ 9 ]}

Propiedades

Si $A:H\to H$ es un operador autoadjunto no negativo , entonces $A$ es de clase traza si y solo si $\operatorname {Tr} A<\infty .$ Por lo tanto, un operador autoadjunto $A$ es de clase traza si y solo si su parte positiva $A^{+}$ y parte negativa $A^{-}$ Ambos pertenecen a la clase traza. (Las partes positiva y negativa de un operador autoadjunto se obtienen mediante el cálculo funcional continuo ).
La traza es un funcional lineal sobre el espacio de operadores de clase traza, es decir, $\operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).$ El mapa bilineal $\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)$ es un producto interno en la clase traza; la norma correspondiente se llama norma de Hilbert-Schmidt . La completación de los operadores de la clase traza en la norma de Hilbert-Schmidt se denomina operador de Hilbert-Schmidt.
$\operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C}$ es un funcional lineal positivo tal que si $T$ es un operador de clase de traza que satisface $T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,$ entonces $T=0.$ ^{[ 11 ]}
Si $T:H\to H$ es trace-class entonces también lo es $T^{*}$ y $\|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.$ ^{[ 11 ]}
Si $A:H\to H$ está delimitado y $T:H\to H$ es una clase de traza, entonces $AT$ y $TA$ también son de clase traza (es decir, el espacio de operadores de clase traza en H es un ideal de dos lados en el álgebra de operadores lineales acotados en H ), y ^{[ 11 ]}^{[ 13 ]} $\|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.$ Además, bajo la misma hipótesis, ^{[ 11 ]} $\operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)$ y $|\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.$ La última afirmación también se mantiene bajo la hipótesis más débil de que A y T son Hilbert-Schmidt.
Si $\left(e_{k}\right)_{k}$ y $\left(f_{k}\right)_{k}$ son dos bases ortonormales de H y si T es de clase traza entonces ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$ ^{[ 9 ]}
Si A es de clase traza, entonces se puede definir el determinante de Fredholm de $I+A$ : $\det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],$ dónde $\{\lambda _{n}(A)\}_{n}$ es el espectro de $A.$ La condición de clase de traza en $A$ garantiza que el producto infinito es finito: de hecho, $\det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.$ También implica que $\det(I+A)\neq 0$ si y solo si $(I+A)$ es invertible.
Si $A:H\to H$ es clase traza entonces para cualquier base ortonormal $\left(e_{k}\right)_{k}$ de $H,$ la suma de términos positivos ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$ es finito. ^{[ 11 ]}
Si $A=B^{*}C$ para algunos operadores de Hilbert-Schmidt $B$ y $C$ entonces para cualquier vector normal $e\in H,$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |\leq {\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$ sostiene. ^{[ 11 ]}

Teorema de Lidskii

Dejar $A$ ser un operador de clase traza en un espacio de Hilbert separable $H,$ y dejar $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }$ sean los valores propios de $A.$ Supongamos que $\lambda _{n}(A)$ se enumeran teniendo en cuenta las multiplicidades algebraicas (es decir, si la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es $k,$ entonces $\lambda$ se repite $k$ veces en la lista $\lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots$ El teorema de Lidskii (llamado así en honor a Victor Borisovich Lidskii ) establece que $\operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)$

Nótese que la serie de la derecha converge absolutamente debido a la desigualdad de Weyl. $\sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)$ entre los valores propios $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}$ y los valores singulares $\{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}$ del operador compacto $A.$ ^{[ 14 ]} Véase tambiénel teorema de la traza de Grothendieck.

Relación entre clases comunes de operadores

Se pueden considerar ciertas clases de operadores acotados como análogos no conmutativos de los espacios de sucesiones clásicos , con los operadores de clase traza como el análogo no conmutativo del espacio de sucesiones. $\ell ^{1}(\mathbb {N} ).$

De hecho, es posible aplicar el teorema espectral para demostrar que todo operador de clase traza normal en un espacio de Hilbert separable puede realizarse de cierta manera como un $\ell ^{1}$ secuencia con respecto a alguna elección de un par de bases de Hilbert. En la misma línea, los operadores acotados son versiones no conmutativas de $\ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),$ los operadores compactos que de $c_{0}$ (las secuencias convergentes a 0), los operadores de Hilbert-Schmidt corresponden a $\ell ^{2}(\mathbb {N} ),$ y operadores de rango finito para $c_{00}$ (las secuencias que tienen un número finito de términos distintos de cero). Hasta cierto punto, las relaciones entre estas clases de operadores son similares a las relaciones entre sus contrapartes conmutativas.

Recuerde que cada operador compacto $T$ en un espacio de Hilbert toma la siguiente forma canónica: existen bases ortonormales $(u_{i})_{i}$ y $(v_{i})_{i}$ y una secuencia $\left(\alpha _{i}\right)_{i}$ de números no negativos con $\alpha _{i}\to 0$ de tal manera que $Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.$ Haciendo más precisos los comentarios heurísticos anteriores, tenemos que $T$ es de clase traza si y solo si la serie ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ es convergente, $T$ es Hilbert-Schmidt si y solo si ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ es convergente y $T$ es de rango finito si y solo si la secuencia $\left(\alpha _{i}\right)_{i}$ tiene solo un número finito de términos distintos de cero. Esto permite relacionar estas clases de operadores. Las siguientes inclusiones se cumplen y son todas propias cuando $H$ es de dimensión infinita: $\{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.$

A los operadores de clase traza se les da la norma de traza. ${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$ La norma correspondiente al producto interno de Hilbert-Schmidt es $\|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.$ Además, la norma del operador usual es ${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$ Por desigualdades clásicas respecto a secuencias, $\|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}$ para lo apropiado $T.$

También es evidente que los operadores de rango finito son densos tanto en la clase de traza como en la norma de Hilbert-Schmidt en sus respectivas normas.

Clase Trace como el doble de operadores compactos

El espacio dual de $c_{0}$ es $\ell ^{1}(\mathbb {N} ).$ De manera similar, tenemos que el dual de operadores compactos, denotado por $K(H)^{*},$ son los operadores de clase traza, denotados por $B_{1}.$ El argumento, que ahora esbozamos, recuerda al de los espacios de sucesiones correspondientes. Sea $f\in K(H)^{*},$ identificamos $f$ con el operador $T_{f}$ definido por $\langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),$ dónde $S_{x,y}$ es el operador de rango uno dado por $S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.$

Esta identificación funciona porque los operadores de rango finito son densos en norma en $K(H).$ En caso de que $T_{f}$ es un operador positivo, para cualquier base ortonormal $u_{i},$ uno tiene $\sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,$ dónde $I$ es el operador de identidad: $I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.$

Pero esto significa que $T_{f}$ es de clase traza. Una apelación a la descomposición polar extiende esto al caso general, donde $T_{f}$ No tiene por qué ser positivo.

Un argumento límite que utiliza operadores de rango finito muestra que $\|T_{f}\|_{1}=\|f\|.$ De este modo $K(H)^{*}$ es isométricamente isomorfo a $B_{1}.$

Como el predual de los operadores acotados

Recuerde que el dual de $\ell ^{1}(\mathbb {N} )$ es $\ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).$ En el contexto actual, el dual de operadores de clase traza $B_{1}$ son los operadores acotados $B(H).$ Más precisamente, el conjunto $B_{1}$ es un ideal de dos caras en $B(H).$ Así que dado cualquier operador $T\in B(H),$ podemos definir una función lineal continua $\varphi _{T}$ en $B_{1}$ por $\varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).$ Esta correspondencia entre operadores lineales acotados y elementos $\varphi _{T}$ del espacio dual de $B_{1}$ es un isomorfismo isométrico . De ello se deduce que $B(H)$ es el espacio dual de $B_{1}.$ Esto se puede utilizar para definir la topología débil-* en $B(H).$

Véase también

Operadores nucleares entre espacios de Banach

Referencias

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Bibliografía

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[FOOTNOTEMittelstaedt2009389–390-1] Mittelstaedt 2009 , págs. 389–390.

[FOOTNOTEConway200086-2] 1 2 Conway 2000 , pág. 86.

[FOOTNOTEReedSimon1980206-3] Reed y Simon 1980 , pág. 206.

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[FOOTNOTEConway200089-7] Conway 2000 , pág. 89.

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[FOOTNOTETrèves2006502–508-10] Trèves 2006 , págs. 502–508.

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[FOOTNOTESimon201021-12] Simon 2010 , pág. 21.

[FOOTNOTEReedSimon1980218-13] Reed y Simon 1980 , pág. 218.

[14] Simon, B. (2005) Ideales de traza y sus aplicaciones , Segunda edición, Sociedad Matemática Americana.

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