Grupo de automorfismos

En matemáticas , el grupo de automorfismos de un objeto X es el grupo formado por los automorfismos de X bajo la composición de morfismos . Por ejemplo, si X es un espacio vectorial de dimensión finita , entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo de transformaciones lineales invertibles de X en sí mismo (el grupo lineal general de X ). Si en cambio X es un grupo, entonces su grupo de automorfismos es${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$es el grupo que consta de todos los automorfismos de grupo de X.

Especialmente en contextos geométricos, un grupo de automorfismos también se denomina grupo de simetría . Un subgrupo de un grupo de automorfismos a veces se denomina grupo de transformación .

Los grupos de automorfismos se estudian de forma general en el campo de la teoría de categorías .

Si X es un conjunto sin estructura adicional, entonces cualquier biyección de X a sí mismo es un automorfismo, y por lo tanto el grupo de automorfismos de X en este caso es precisamente el grupo simétrico de X. Si el conjunto X tiene estructura adicional, entonces puede darse el caso de que no todas las biyecciones sobre el conjunto preserven esta estructura, en cuyo caso el grupo de automorfismos será un subgrupo del grupo simétrico sobre X. Algunos ejemplos de esto incluyen los siguientes:

• El grupo de automorfismos de una extensión de campo${\displaystyle L/K}$es el grupo formado por automorfismos de cuerpo de L que fijan K. Si la extensión de cuerpo es de Galois , el grupo de automorfismos se llama grupo de Galois de la extensión de cuerpo.
• El grupo de automorfismos del espacio proyectivo n -dimensional sobre un cuerpo k es el grupo lineal proyectivo.${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$^{[ 1 ]}
• El grupo de automorfismos${\displaystyle G}$de un grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$, el grupo multiplicativo de enteros módulo n , con el isomorfismo dado por${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$. ^{[ 2 ]} En particular,${\displaystyle G}$es un grupo abeliano .
• El grupo de automorfismos de un álgebra de Lie real de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene la estructura de un grupo de Lie (real) (de hecho, es incluso un grupo algebraico lineal : véase más abajo ). Si G es un grupo de Lie con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, entonces el grupo de automorfismos de G tiene una estructura de un grupo de Lie inducido a partir de la del grupo de automorfismos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ a ]}

Si G es un grupo que actúa sobre un conjunto X , la acción equivale a un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismos de X y viceversa. De hecho, cada acción izquierda de G sobre un conjunto X determina${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$y, a la inversa, cada homomorfismo${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$define una acción por${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$Esto se extiende al caso en que el conjunto X tiene más estructura que un simple conjunto. Por ejemplo, si X es un espacio vectorial, entonces una acción de grupo de G sobre X es una representación de grupo del grupo G , que representa a G como un grupo de transformaciones lineales (automorfismos) de X ; estas representaciones son el principal objeto de estudio en el campo de la teoría de la representación .

Aquí hay otros datos sobre los grupos de automorfismos:

• Dejar${\displaystyle A,B}$sean dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad y${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$el conjunto de todas las biyecciones${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$. Entonces${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, que es un grupo simétrico (véase más arriba), actúa sobre${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$desde la izquierda libre y transitivamente ; es decir,${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$es un torsor para${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$(cf. #En teoría de categorías ).
• Sea P un módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo R. Entonces existe una incrustación${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$, único salvo automorfismos internos . ^{[ 5 ]}

Los grupos de automorfismos aparecen de forma muy natural en la teoría de categorías .

Si X es un objeto de una categoría, entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo formado por todos los morfismos invertibles de X en sí mismo. Es el grupo unitario del monoide de endomorfismos de X. (Para algunos ejemplos, véase PROP .)

Si${\displaystyle A,B}$son objetos en alguna categoría, entonces el conjunto${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$de todos${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$es una izquierda${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$- torsor . En términos prácticos, esto significa que una elección diferente de un punto base de${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$difiere inequívocamente por un elemento de${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, o que cada elección de un punto base es precisamente una elección de una trivialización del torsor.

Si${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$son objetos en categorías${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$y si${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$es una aplicación de functor${\displaystyle X_{1}}$a${\displaystyle X_{2}}$, entonces${\displaystyle F}$induce un homomorfismo de grupo${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$, ya que mapea morfismos invertibles a morfismos invertibles.

En particular, si G es un grupo visto como una categoría con un solo objeto * o, más generalmente, si G es un grupoide , entonces cada functor${\displaystyle F:G\to C}$C , una categoría, se denomina acción o representación de G sobre el objeto.${\displaystyle F(*)}$o los objetos${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$Se dice entonces que esos objetos son${\displaystyle G}$-objetos (tal como son actuados por${\displaystyle G}$); cf.${\displaystyle \mathbb {S} }$-objeto . Si${\displaystyle C}$es una categoría de módulo como la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces${\displaystyle G}$Los objetos también se llaman${\displaystyle G}$-módulos.

Dejar${\displaystyle M}$M es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k que está dotado de alguna estructura algebraica (es decir, M es un álgebra de dimensión finita sobre k ). Puede ser, por ejemplo, un álgebra asociativa o un álgebra de Lie .

Ahora, consideremos k - mapas lineales${\displaystyle M\to M}$que preservan la estructura algebraica: forman un subespacio vectorial${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$de${\displaystyle \operatorname {Fin} (M)}$. El grupo de unidades de${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$es el grupo de automorfismos${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$. Cuando se elige una base en M ,${\displaystyle \operatorname {Fin} (M)}$es el espacio de matrices cuadradas y${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$es el conjunto cero de algunas ecuaciones polinómicas , y la invertibilidad se describe nuevamente mediante polinomios. Por lo tanto,${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$es un grupo algebraico lineal sobre k .

Ahora bien, las extensiones de base aplicadas a la discusión anterior determinan un functor: ^{[ 6 ]} es decir, para cada anillo conmutativo R sobre k , consideremos las aplicaciones R -lineales.${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$preservando la estructura algebraica: denotemos por${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$. Entonces el grupo unitario del anillo matricial${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$sobre R es el grupo de automorfismos${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$y${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$es un functor de grupo : un functor de la categoría de anillos conmutativos sobre k a la categoría de grupos . Mejor aún, se representa mediante un esquema (ya que los grupos de automorfismos se definen mediante polinomios): este esquema se llama esquema de grupo de automorfismos y se denota por${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$.

En general, sin embargo, un functor de grupo de automorfismos puede no estar representado por un esquema.

• Grupo de automorfismos externos
• Estructura de niveles , una técnica para eliminar un grupo de automorfismos.
• Grupo de holonomía

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme