mecánica lagrangiana

En física , la mecánica lagrangiana es una formulación alternativa de la mecánica clásica basada en el principio de trabajo virtual de d'Alembert . Fue introducida por el matemático y astrónomo ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange en su presentación ante la Academia de Ciencias de Turín en 1760 ^{[ 1 ]} , culminando en su gran obra de 1788, Mécanique analytique ^{[ 2 ]} . El enfoque de Lagrange simplifica enormemente el análisis de muchos problemas de mecánica y tuvo una influencia crucial en otras ramas de la física, incluyendo la relatividad y la teoría cuántica de campos.

La mecánica lagrangiana describe un sistema mecánico como un par ( M , L ) que consta de un espacio de configuración M y una función suave. ${\textstyle L}$ dentro de ese espacio llamado lagrangiano . Para muchos sistemas, L = T − V , donde T y V son la energía cinética y potencial del sistema, respectivamente. ^{[ 3 ]}

El principio de acción estacionaria exige que la función de acción del sistema derivada de L permanezca en un punto estacionario (específicamente, un máximo , un mínimo o un punto de silla ) durante toda la evolución temporal del sistema. Esta restricción permite calcular las ecuaciones de movimiento del sistema utilizando las ecuaciones de Lagrange. ^{[ 4 ]}

Introducción

Las leyes de Newton y el concepto de fuerzas son el punto de partida habitual para la enseñanza de sistemas mecánicos. ^{[ 5 ]} Este método funciona bien para muchos problemas, pero para otros el enfoque es terriblemente complicado. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, en el cálculo del movimiento de un toroide que rueda sobre una superficie horizontal con una perla deslizándose en su interior, las fuerzas de restricción variables en el tiempo, como la velocidad angular del toroide y el movimiento de la perla en relación con el toroide, dificultaron la determinación del movimiento del toroide con las ecuaciones de Newton. ^{[ 7 ]} La mecánica lagrangiana adopta la energía en lugar de la fuerza como su ingrediente básico, ^{[ 5 ]} lo que lleva a ecuaciones más abstractas capaces de abordar problemas más complejos. ^{[ 6 ]}

En particular, el enfoque de Lagrange consistió en establecer coordenadas generalizadas independientes para la posición y la velocidad de cada objeto, lo que permite escribir una forma general del lagrangiano (energía cinética total menos energía potencial del sistema). La suma de esta expresión sobre todas las trayectorias posibles de las partículas dio como resultado una fórmula para la "acción", la cual minimizó para obtener un conjunto generalizado de ecuaciones. Esta cantidad total se minimiza a lo largo de la trayectoria que realmente sigue la partícula. Esta elección elimina la necesidad de que la fuerza de restricción aparezca en el sistema generalizado de ecuaciones resultante . Hay menos ecuaciones, ya que no se calcula directamente la influencia de la restricción sobre la partícula en un momento dado. ^{[ 7 ]}

Para una amplia variedad de sistemas físicos, si el tamaño y la forma de un objeto masivo son despreciables, es una simplificación útil tratarlo como una partícula puntual . Para un sistema de N partículas puntuales con masas m ₁ , m ₂ , ..., m _N , cada partícula tiene un vector de posición , denotado r ₁ , r ₂ , ..., r _N . Las coordenadas cartesianas suelen ser suficientes, por lo que r ₁ = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) , r ₂ = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) y así sucesivamente. En el espacio tridimensional , cada vector de posición requiere tres coordenadas para definir de forma única la ubicación de un punto, por lo que hay 3 N coordenadas para definir de forma única la configuración del sistema. Todos estos son puntos específicos en el espacio para ubicar las partículas; un punto general en el espacio se escribe r = ( x , y , z ) . La velocidad de cada partícula es la rapidez con la que la partícula se mueve a lo largo de su trayectoria, y es la derivada temporal de su posición, por lo tanto $\mathbf {v} _{1}={\frac {d\mathbf {r} _{1}}{dt}},\mathbf {v} _{2}={\frac {d\mathbf {r} _{2}}{dt}},\ldots ,\mathbf {v} _{N}={\frac {d\mathbf {r} {N}}{dt}}.$ En mecánica newtoniana, las ecuaciones de movimiento vienen dadas por las leyes de Newton . La segunda ley dice: " la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración ". $\sum \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},$ Se aplica a cada partícula. Para un sistema de N partículas en 3 dimensiones, hay 3N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo grado en las posiciones de las partículas que deben resolverse.

Lagrangiano

En lugar de fuerzas, la mecánica lagrangiana utiliza las energías del sistema. La magnitud central de la mecánica lagrangiana es el lagrangiano , una función que resume la dinámica de todo el sistema. En general, el lagrangiano tiene unidades de energía, pero no existe una única expresión para todos los sistemas físicos. Cualquier función que genere las ecuaciones de movimiento correctas, de acuerdo con las leyes físicas, puede considerarse un lagrangiano. No obstante, es posible construir expresiones generales para amplias clases de aplicaciones. El lagrangiano no relativista para un sistema de partículas en ausencia de un campo electromagnético viene dado por ^{[ 8 ].} $L=TV,$ dónde $T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}$ es la energía cinética total del sistema, igual a la suma Σ de las energías cinéticas de los $N$ partículas. Cada partícula etiquetada $k$ tiene masa $m_{k},$ y v _k² = v _k · v _k es el cuadrado de la magnitud de su velocidad, equivalente al producto escalar de la velocidad consigo misma. ^{[ 9 ]}

La energía cinética T es la energía del movimiento del sistema y es una función solo de las velocidades v _k , no de las posiciones r _k , ni del tiempo t , por lo que T = T ( v ₁ , v ₂ , ...).

V , la energía potencial del sistema, refleja la energía de interacción entre las partículas, es decir, cuánta energía tiene cada partícula debido a todas las demás, junto con cualquier influencia externa. Para fuerzas conservativas (por ejemplo, la gravedad newtoniana ), es una función solo de los vectores de posición de las partículas, por lo que V = V ( r ₁ , r ₂ , ...). Para aquellas fuerzas no conservativas que pueden derivarse de un potencial apropiado (por ejemplo, el potencial electromagnético ), las velocidades también aparecerán, V = V ( r ₁ , r ₂ , ..., v ₁ , v ₂ , ...). Si hay algún campo externo o fuerza impulsora externa que cambia con el tiempo, el potencial cambia con el tiempo, por lo que, en general, V = V ( r ₁ , r ₂ , ..., v ₁ , v ₂ , ..., t ).

Formulación matemática (para sistemas de partículas finitas)

Una definición equivalente, pero más formal desde el punto de vista matemático, del lagrangiano es la siguiente. ^{[ 10 ]} Para un sistema de N partículas en un espacio tridimensional, el espacio de configuración del sistema es una variedad diferenciable. $Q\subseteq \mathbb {R} ^{3N}$ donde cada configuración $q\in Q$ especifica las posiciones espaciales de cada una de las partículas en un instante de tiempo dado, y la variedad está compuesta por todas las configuraciones permitidas por las restricciones del sistema.

El lagrangiano es una función suave: $L:TQ\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ dónde $TQ\subseteq \mathbb {R} ^{6N}$ es el haz tangente del espacio de configuración. Es decir, cada elemento en $TQ$ representa tanto las posiciones como las velocidades de las partículas, y puede escribirse como una tupla. $(q_{1},\ldots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\ldots {\dot {q}}_{N})$ con $q_{i}$ y ${\dot {q}}_{i}$ especificando una posición y una velocidad de la i-ésima partícula respectivamente. La dependencia del tiempo $t\in \mathbb {R}$ permite que el lagrangiano describa fuerzas o potenciales dependientes del tiempo.

La trayectoria del sistema es una función suave. $q:[t_{0},t_{1}]\to Q,$ Describe la evolución de la configuración a lo largo del tiempo. Su velocidad es la derivada temporal. ${\dot {q}}(t)\in T_{q(t)}Q$ de $q(t)$ y la pareja $(q(t),{\dot {q}}(t))\in TQ$ es, por lo tanto, un elemento del paquete para cualquier $t$ Por lo tanto , la función de acción de la trayectoria puede definirse como la integral del lagrangiano a lo largo del camino: $S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt.$

Las leyes del movimiento en la mecánica lagrangiana se derivan del postulado de que, entre todas las trayectorias posibles entre dos configuraciones dadas, la que seguirá el sistema debe ser un punto crítico (a menudo, aunque no necesariamente, un mínimo local) del funcional de acción. Esto conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange (véase también más adelante).

Ecuaciones de movimiento

Para un sistema de partículas con masas $m_{1},\ldots ,m_{N}$ , la energía cinética es: $T(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\|{\dot {q}}_{i}\|^{2},$ dónde ${\dot {q}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}$ es la velocidad de la partícula i .

La energía potencial $V(q,t)$ Depende únicamente de la configuración (y posiblemente del tiempo), y suele surgir de fuerzas conservativas.

El lagrangiano estándar viene dado por la diferencia: $L(q,{\dot {q}},t)=T(q,{\dot {q}})-V(q,t).$

Esta formulación abarca tanto sistemas conservativos como dependientes del tiempo y constituye la base para generalizaciones a sistemas continuos (campos), sistemas restringidos y sistemas con espacios de configuración curvos.

Si T o V , o ambos, dependen explícitamente del tiempo debido a restricciones variables en el tiempo o influencias externas, el lagrangiano L ( r ₁ , r ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ... t ) depende explícitamente del tiempo . Si ni la energía potencial ni la cinética dependen del tiempo, entonces el lagrangiano L ( r ₁ , r ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ...) es explícitamente independiente del tiempo . En ambos casos, el lagrangiano siempre tiene una dependencia temporal implícita a través de las coordenadas generalizadas.

Con estas definiciones, las ecuaciones de Lagrange son ^{[ 11 ]}

Ecuaciones de Lagrange

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,$

donde k = 1, 2, ..., N etiqueta las partículas, hay un multiplicador de Lagrange λ _i para cada ecuación de restricción f _i , y ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)$ son cada uno de los símbolos abreviados para un vector de derivadas parciales $\partial/\partial$ con respecto a las variables indicadas (no una derivada con respecto al vector completo). ^{[ nb 1 ]} Cada punto sobre es un símbolo abreviado para una derivada temporal . Este procedimiento aumenta el número de ecuaciones a resolver en comparación con las leyes de Newton, de 3 N a 3 N + C , porque hay 3 N ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas en las coordenadas de posición y los multiplicadores, más C ecuaciones de restricción. Sin embargo, cuando se resuelven junto con las coordenadas de posición de las partículas, los multiplicadores pueden proporcionar información sobre las fuerzas de restricción. Las coordenadas no necesitan ser eliminadas al resolver las ecuaciones de restricción.

En el lagrangiano, las coordenadas de posición y las componentes de velocidad son todas variables independientes , y las derivadas del lagrangiano se toman con respecto a estas por separado de acuerdo con las reglas de diferenciación habituales (por ejemplo, la derivada parcial de L con respecto a la componente de velocidad z de la partícula 2, definida por v _{z ,2} = dz ₂ / dt , es simplemente ∂ L /∂ v _{z ,2} ; no es necesario utilizar reglas de cadena complicadas ni derivadas totales para relacionar la componente de velocidad con la coordenada z ₂ correspondiente ).

En cada ecuación de restricción, una coordenada es redundante porque se determina a partir de las otras coordenadas. Por lo tanto, el número de coordenadas independientes es n = 3 N − C. Podemos transformar cada vector de posición en un conjunto común de n coordenadas generalizadas , convenientemente escrito como una n -tupla q = ( q ₁ , q ₂ , ... q _n ) , expresando cada vector de posición, y por ende las coordenadas de posición, como funciones de las coordenadas generalizadas y del tiempo: $\mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)={\big (}x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k}(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t{\big )}.$

El vector q es un punto en el espacio de configuración del sistema. Las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas se denominan velocidades generalizadas, y para cada partícula la transformación de su vector de velocidad, la derivada total de su posición con respecto al tiempo, es ${\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}},\quad \mathbf {v} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}.$

Dado este v _k , la energía cinética en coordenadas generalizadas depende de las velocidades generalizadas, las coordenadas generalizadas y el tiempo si los vectores de posición dependen explícitamente del tiempo debido a restricciones que varían con el tiempo, por lo que $T=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t).$

Con estas definiciones, las ecuaciones de Euler-Lagrange , ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Ecuaciones de Lagrange

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}$

son resultados matemáticos del cálculo de variaciones , que también se pueden usar en mecánica. Sustituyendo en el lagrangiano L ( q , d q /d t , t ) se obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema. El número de ecuaciones ha disminuido en comparación con la mecánica newtoniana, de 3 N a n = 3 N − C ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden en las coordenadas generalizadas. Estas ecuaciones no incluyen fuerzas de restricción en absoluto, solo es necesario tener en cuenta las fuerzas no restrictivas.

Aunque las ecuaciones de movimiento incluyen derivadas parciales , los resultados de estas siguen siendo ecuaciones diferenciales ordinarias en las coordenadas de posición de las partículas. La derivada total con respecto al tiempo, denotada d/dt , suele implicar una diferenciación implícita . Ambas ecuaciones son lineales en el lagrangiano, pero generalmente son ecuaciones acopladas no lineales en las coordenadas.

Extensiones

Como ya se ha señalado, esta forma de L es aplicable a muchas clases importantes de sistemas, pero no en todas. Para la mecánica lagrangiana relativista, debe reemplazarse por completo por una función consistente con la relatividad especial (escalar bajo transformaciones de Lorentz) o la relatividad general (4-escalar). ^{[ 14 ]} Cuando hay un campo magnético presente, la expresión para la energía potencial necesita reformularse. Y para fuerzas disipativas (por ejemplo, fricción ), debe introducirse otra función junto con la lagrangiana, a menudo denominada " función de disipación de Rayleigh ", para tener en cuenta la pérdida de energía. ^[¹⁵^]

Una o más partículas pueden estar sujetas a una o más restricciones holonómicas ; dicha restricción se describe mediante una ecuación de la forma f ( r , t ) = 0. Si el número de restricciones en el sistema es C , entonces cada restricción tiene una ecuación f ₁ ( r , t ) = 0, f ₂ ( r , t ) = 0, ..., f _C ( r , t ) = 0, cada una de las cuales podría aplicarse a cualquiera de las partículas. Si la partícula k está sujeta a la restricción i , entonces f _i ( r _k , t ) = 0. En cualquier instante de tiempo, las coordenadas de una partícula restringida están vinculadas entre sí y no son independientes. Las ecuaciones de restricción determinan las trayectorias permitidas por las que pueden moverse las partículas, pero no dónde están ni a qué velocidad se mueven en cada instante de tiempo. Las restricciones no holonómicas dependen de las velocidades, aceleraciones o derivadas de orden superior de la posición de las partículas. La mecánica lagrangiana solo puede aplicarse a sistemas cuyas restricciones, si las hay, son todas holonómicas . Tres ejemplos de restricciones no holonómicas son: ^{[ 16 ]} cuando las ecuaciones de restricción no son integrables, cuando las restricciones tienen desigualdades o cuando las restricciones involucran fuerzas no conservativas complejas como la fricción. Las restricciones no holonómicas requieren un tratamiento especial, y puede ser necesario recurrir a la mecánica newtoniana o utilizar otros métodos. ^{[ 17 ]}

De la mecánica newtoniana a la lagrangiana

Leyes de Newton

Para simplificar, las leyes de Newton pueden ilustrarse para una partícula sin mucha pérdida de generalidad (para un sistema de N partículas, todas estas ecuaciones se aplican a cada partícula del sistema). La ecuación de movimiento para una partícula de masa constante m es la segunda ley de Newton de 1687, en notación vectorial moderna. $\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$ donde a es su aceleración y F la fuerza resultante que actúa sobre ella. Cuando la masa varía, la ecuación debe generalizarse para calcular la derivada temporal del momento. En tres dimensiones espaciales, esto constituye un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas , dado que esta ecuación vectorial tiene tres componentes. La solución es el vector de posición r de la partícula en el instante t , sujeto a las condiciones iniciales de r y v cuando t = 0.

Las leyes de Newton son fáciles de usar en coordenadas cartesianas, pero estas no siempre son convenientes, y para otros sistemas de coordenadas las ecuaciones de movimiento pueden volverse complicadas. En un conjunto de coordenadas curvilíneas ξ = ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ), la ley en notación de índice tensorial es la "forma lagrangiana" ^{[ 18 ]}^{[ 19 ].} $F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right),\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}},$ donde F ^a es la a -ésima componente contravariante de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, Γ ^a_bc son los símbolos de Christoffel de segunda especie, $T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}$ es la energía cinética de la partícula, y g _bc son las componentes covariantes del tensor métrico del sistema de coordenadas curvilíneas. Todos los índices a , b , c toman los valores 1, 2 y 3, respectivamente. Las coordenadas curvilíneas no son lo mismo que las coordenadas generalizadas.

Puede parecer una complicación excesiva expresar la ley de Newton de esta forma, pero tiene ventajas. Los componentes de aceleración en términos de los símbolos de Christoffel se pueden evitar evaluando las derivadas de la energía cinética. Si no hay ninguna fuerza resultante actuando sobre la partícula, F = 0 , esta no acelera, sino que se mueve con velocidad constante en línea recta. Matemáticamente, las soluciones de la ecuación diferencial son geodésicas , las curvas de longitud extrema entre dos puntos en el espacio (estas pueden ser mínimas, es decir, los caminos más cortos, pero no necesariamente). En el espacio real plano 3D, las geodésicas son simplemente líneas rectas. Así, para una partícula libre, la segunda ley de Newton coincide con la ecuación geodésica y establece que las partículas libres siguen geodésicas, las trayectorias extremas a lo largo de las cuales pueden moverse. Si la partícula está sujeta a fuerzas F ≠ 0 , acelera debido a las fuerzas que actúan sobre ella y se desvía de las geodésicas que seguiría si fuera libre. Con extensiones apropiadas de las cantidades dadas aquí en el espacio plano 3D al espaciotiempo curvo 4D , la forma anterior de la ley de Newton también se extiende a la relatividad general de Einstein , en cuyo caso las partículas libres siguen geodésicas en el espaciotiempo curvo que ya no son "líneas rectas" en el sentido ordinario. ^[²⁰^]

Sin embargo, todavía necesitamos conocer la fuerza resultante total F que actúa sobre la partícula, lo que a su vez requiere la fuerza resultante no restrictiva N más la fuerza resultante restrictiva C , $\mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} .$

Las fuerzas de restricción pueden ser complejas, ya que generalmente dependen del tiempo. Además, si existen restricciones, las coordenadas curvilíneas no son independientes, sino que están relacionadas por una o más ecuaciones de restricción.

Las fuerzas de restricción pueden eliminarse de las ecuaciones de movimiento, de modo que solo queden las fuerzas que no son de restricción, o bien incluirse incorporando las ecuaciones de restricción en las ecuaciones de movimiento.

Principio de D'Alembert

Un grado de libertad.

Dos grados de libertad.

Fuerza de restricción C y desplazamiento virtual δ r para una partícula de masa m confinada a una curva. La fuerza resultante sin restricción es N.

Un resultado fundamental en mecánica analítica es el principio de D'Alembert , introducido en 1708 por Jacques Bernoulli para comprender el equilibrio estático y desarrollado por D'Alembert en 1743 para resolver problemas dinámicos. ^{[ 21 ]} El principio afirma que para N partículas el trabajo virtual, es decir, el trabajo a lo largo de un desplazamiento virtual, $\delta \mathbf {r} _{k}$ , es cero: ^{[ 9 ]} $\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.$

Los desplazamientos virtuales , $\delta \mathbf {r} _{k}$ , son por definición cambios infinitesimales en la configuración del sistema consistentes con las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema en un instante de tiempo , ^{[ 22 ]} es decir de tal manera que las fuerzas de restricción mantienen el movimiento restringido. No son lo mismo que los desplazamientos reales en el sistema, que son causados por las fuerzas resultantes de restricción y no restricción que actúan sobre la partícula para acelerarla y moverla. ^{[ nb 2 ]} El trabajo virtual es el trabajo realizado a lo largo de un desplazamiento virtual para cualquier fuerza (de restricción o no restricción).

Dado que las fuerzas de restricción actúan perpendicularmente al movimiento de cada partícula en el sistema para mantener las restricciones, el trabajo virtual total realizado por las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema es cero: ^{[ 23 ]}^{[ nb 3 ]} $\sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0,$ de modo que $\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.$

Así, el principio de D'Alembert nos permite concentrarnos únicamente en las fuerzas no restrictivas aplicadas y excluir las fuerzas restrictivas en las ecuaciones de movimiento. ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} La forma mostrada también es independiente de la elección de coordenadas. Sin embargo, no se puede utilizar fácilmente para establecer las ecuaciones de movimiento en un sistema de coordenadas arbitrario, ya que los desplazamientos $\delta \mathbf {r} _{k}$ Podríamos estar conectados por una ecuación de restricción, lo que nos impide establecer los N sumandos individuales a cero. Por lo tanto, buscaremos un sistema de coordenadas mutuamente independientes para el cual la suma total sea cero si y solo si los sumandos individuales son cero. Establecer cada uno de los sumandos a cero nos dará finalmente nuestras ecuaciones de movimiento separadas.

Ecuaciones de movimiento a partir del principio de D'Alembert

Si existen restricciones sobre la partícula k , entonces, dado que las coordenadas de la posición r _k = ( x _k , y _k , z _k ) están vinculadas entre sí por una ecuación de restricción, también lo están las de los desplazamientos virtuales δ r _k = ( δx _k , δy _k , δz _k ) . Dado que las coordenadas generalizadas son independientes, podemos evitar las complicaciones con δ r _k convirtiéndolas a desplazamientos virtuales en las coordenadas generalizadas. Estas están relacionadas de la misma forma que una diferencial total , ^{[ 9 ]} $\delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.$

No existe una derivada parcial con respecto al tiempo multiplicada por un incremento de tiempo, ya que se trata de un desplazamiento virtual, uno a lo largo de las restricciones en un instante de tiempo.

El primer término del principio de D'Alembert mencionado anteriormente es el trabajo virtual realizado por las fuerzas no restrictivas N _k a lo largo de los desplazamientos virtuales δ r _k , y puede convertirse sin pérdida de generalidad en los análogos generalizados mediante la definición de fuerzas generalizadas. $Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}},$ de modo que $\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}.$

Esto representa la mitad de la conversión a coordenadas generalizadas. Resta convertir el término de aceleración a coordenadas generalizadas, lo cual no es inmediatamente obvio. Recordando la forma lagrangiana de la segunda ley de Newton, se pueden encontrar las derivadas parciales de la energía cinética con respecto a las coordenadas y velocidades generalizadas para obtener el resultado deseado: ^{[ 9 ]} $\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}.$

Ahora el principio de D'Alembert está en las coordenadas generalizadas como se requiere, $\sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}=0,$ y dado que estos desplazamientos virtuales δq _j son independientes y distintos de cero, los coeficientes pueden igualarse a cero, lo que da como resultado las ecuaciones de Lagrange ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]} o las ecuaciones generalizadas de movimiento , ^{[ 27 ]} $Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$

Estas ecuaciones son equivalentes a las leyes de Newton para las fuerzas no restrictivas . Las fuerzas generalizadas en esta ecuación se derivan únicamente de las fuerzas no restrictivas; las fuerzas restrictivas se han excluido del principio de D'Alembert y no es necesario calcularlas. Las fuerzas generalizadas pueden ser no conservativas, siempre que satisfagan el principio de D'Alembert. ^{[ 28 ]}

Ecuaciones de Euler-Lagrange y principio de Hamilton

Para una fuerza no conservativa que depende de la velocidad, puede ser posible encontrar una función de energía potencial V que dependa de las posiciones y velocidades. Si las fuerzas generalizadas Q _i se pueden derivar de un potencial V tal que ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]} $Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},$ Igualando las ecuaciones de Lagrange y definiendo el lagrangiano como L = T − V, se obtienen las ecuaciones de Lagrange de segundo tipo o las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange. ${\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.$

Sin embargo, las ecuaciones de Euler-Lagrange solo pueden describir fuerzas no conservativas si se puede encontrar un potencial, como se muestra. Esto no siempre es posible para fuerzas no conservativas, y las ecuaciones de Lagrange no involucran ningún potencial, solo fuerzas generalizadas; por lo tanto, son más generales que las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange también se derivan del cálculo de variaciones . La variación del lagrangiano es $\delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right),\quad \delta {\dot {q}}_{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j})}{\mathrm {d} t}},$ que tiene una forma similar al diferencial total de L , pero los desplazamientos virtuales y sus derivadas temporales reemplazan a los diferenciales, y no hay incremento de tiempo de acuerdo con la definición de los desplazamientos virtuales. Una integración por partes con respecto al tiempo puede transferir la derivada temporal de δq _j a ∂ L /∂(d q _j /d t ), en el proceso intercambiando d( δq _j )/d t por δq _j , lo que permite factorizar los desplazamientos virtuales independientes a partir de las derivadas del lagrangiano, ${\begin{aligned}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Ahora bien, si se cumple la condición δq _j ( t ₁ ) = δq _j ( t ₂ ) = 0 para todo j , los términos no integrados son cero. Si además la integral de tiempo completa de δL es cero, entonces, dado que los δq _j son independientes y la única forma de que una integral definida sea cero es que el integrando sea igual a cero, cada uno de los coeficientes de δq _j también debe ser cero. Entonces obtenemos las ecuaciones de movimiento. Esto se puede resumir mediante el principio de Hamilton : $\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0.$

La integral temporal del lagrangiano es otra cantidad llamada acción , definida como ^{[ 32 ].} $S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t,$ que es un funcional ; toma la función lagrangiana para todos los tiempos entre t ₁ y t ₂ y devuelve un valor escalar. Sus dimensiones son las mismas que [ momento angular ] , [ energía ] · [ tiempo ] o [ longitud ] · [ momento ] . Con esta definición, el principio de Hamilton es $\delta S=0.$

En lugar de pensar en partículas que se aceleran en respuesta a fuerzas aplicadas, se podría pensar en ellas eligiendo la trayectoria con una acción estacionaria, manteniendo fijos los puntos finales de la trayectoria en el espacio de configuración en los instantes inicial y final. El principio de Hamilton es uno de varios principios de acción . ^{[ 33 ]}

Históricamente, la idea de encontrar el camino más corto que una partícula puede seguir sometida a una fuerza motivó las primeras aplicaciones del cálculo de variaciones a problemas mecánicos, como el problema de la braquistócrona resuelto por Jean Bernoulli en 1696, así como por Leibniz , Daniel Bernoulli , L'Hôpital casi al mismo tiempo, y Newton al año siguiente. ^{[ 34 ]} El propio Newton pensaba en términos del cálculo variacional, pero no publicó. ^{[ 34 ]} Estas ideas, a su vez, dieron lugar a los principios variacionales de la mecánica, de Fermat , Maupertuis , Euler , Hamilton y otros.

El principio de Hamilton puede aplicarse a restricciones no holonómicas si las ecuaciones de restricción pueden expresarse en una forma determinada: una combinación lineal de diferenciales de primer orden en las coordenadas. La ecuación de restricción resultante puede reordenarse como una ecuación diferencial de primer orden. ^{[ 35 ]} Esto no se presentará aquí.

Multiplicadores de Lagrange y restricciones

El lagrangiano L puede variar en las coordenadas cartesianas r _k , para N partículas, $\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.$

El principio de Hamilton sigue siendo válido incluso si las coordenadas en las que se expresa L no son independientes, aquí r _k , pero se sigue asumiendo que las restricciones son holonómicas. ^{[ 36 ]} Como siempre, los puntos extremos son fijos δ r _k ( t ₁ ) = δ r _k ( t ₂ ) = 0 para todo k . Lo que no se puede hacer es simplemente igualar a cero los coeficientes de δ r _k porque los δ r _k no son independientes. En cambio, se puede utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para incluir las restricciones. Multiplicando cada ecuación de restricción f _i ( r _k , t ) = 0 por un multiplicador de Lagrange λ _i para i = 1, 2, ..., C , y sumando los resultados al lagrangiano original, se obtiene el nuevo lagrangiano $L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t).$

Los multiplicadores de Lagrange son funciones arbitrarias del tiempo t , pero no funciones de las coordenadas r _k , por lo que los multiplicadores están en igualdad de condiciones con las coordenadas de posición. Variando este nuevo lagrangiano e integrando con respecto al tiempo se obtiene $\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.$

Los multiplicadores introducidos se pueden encontrar de manera que los coeficientes de δ r _k sean cero, aunque los r _k no sean independientes. Las ecuaciones de movimiento se obtienen a partir de esto. Del análisis anterior, obtener la solución de esta integral es equivalente a la afirmación ${\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,$ que son las ecuaciones de Lagrange de primer tipo . Además, las ecuaciones de Euler-Lagrange λ _i para el nuevo lagrangiano devuelven las ecuaciones de restricción. ${\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0.$

Para el caso de una fuerza conservativa dada por el gradiente de alguna energía potencial V , una función de las coordenadas r _k solamente, sustituyendo el lagrangiano L = T − V se obtiene $\underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,$ y al identificar las derivadas de la energía cinética como el (negativo de la) fuerza resultante, y las derivadas del potencial igualando la fuerza no restrictiva, se deduce que las fuerzas de restricción son $\mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}},$ De esta forma, se expresan explícitamente las fuerzas de restricción en términos de las ecuaciones de restricción y los multiplicadores de Lagrange.

Propiedades del lagrangiano

No singularidad

El lagrangiano de un sistema dado no es único. Un lagrangiano L puede multiplicarse por una constante no nula a y desplazarse por una constante arbitraria b , y el nuevo lagrangiano L ′ = aL + b describirá el mismo movimiento que L. Si se restringe como arriba a trayectorias q sobre un intervalo de tiempo dado [ t _st , t _fin] y puntos finales fijos P _st = q ( t _st ) y P _fin = q ( t _fin ) , entonces dos lagrangianos que describen el mismo sistema pueden diferir por la "derivada temporal total" de una función f ( q , t ) : ^{[ 37 ]} $L'(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)+{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}},$ dónde ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}}$ medio ${\textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.}$

Ambos lagrangianos L y L ′ producen las mismas ecuaciones de movimiento ^{[ 38 ]}^{[ 39 ]} ya que las acciones correspondientes S y S ′ están relacionadas mediante ${\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt\\&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\&=S[\mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end{aligned}}$ con los dos últimos componentes f ( P _fin , t _fin ) y f ( P _st , t _st ) independientes de q .

Invariancia bajo transformaciones puntuales

Dado un conjunto de coordenadas generalizadas q , si cambiamos estas variables a un nuevo conjunto de coordenadas generalizadas Q de acuerdo con una transformación de punto Q = Q ( q , t ) que es invertible como q = q ( Q , t ) , el nuevo lagrangiano L ′ es una función de las nuevas coordenadas y de manera similar para las restricciones. ${\begin{aligned}L'(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&=L(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t),t),\\\phi _{j}'(\mathbf {Q} ,t)&=\phi _{j}(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),t)\end{aligned}}$ y por la regla de la cadena para la diferenciación parcial, las ecuaciones de Lagrange son invariantes bajo esta transformación; ^{[ 40 ]}

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial Q_{i}}}+\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi '_{j}}{\partial Q_{i}}}.$

Prueba

Para una transformación de coordenadas $Q_{i}=Q_{i}(\mathbf {q} ,t)$ , tenemos $d{Q_{i}}=\sum _{k}{\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}d{q_{k}}+{\frac {\partial Q_{k}}{\partial t}}dt,$ lo cual implica que ${\dot {Q_{i}}}=\sum _{k}{\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial Q_{k}}{\partial t}}(\mathbf {q} ,t)$ lo cual implica que ${\frac {\partial {\dot {Q_{i}}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}$ .

De ello se deduce también que: ${\frac {\partial {\dot {Q_{i}}}}{\partial q_{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}Q_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial ^{2}Q_{k}}{\partial q_{j}\partial t}}(\mathbf {q} ,t)$ y de manera similar: ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {Q_{i}}}{\partial q_{j}}}\right)=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}Q_{i}}{\partial q_{k}\partial q_{j}}}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial ^{2}Q_{k}}{\partial t\partial q_{j}}}(\mathbf {q} ,t)$ lo cual implica que ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}\right)={\frac {\partial {\dot {Q}}_{i}}{\partial q_{k}}}$ Las dos relaciones derivadas pueden emplearse en la demostración.

Partiendo de las ecuaciones de Euler-Lagrange en un conjunto inicial de coordenadas generalizadas, tenemos: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial q_{i}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial q_{i}}}=0\\\sum _{k}\left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {{\partial }L}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial {q}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {q}_{i}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}\right)=0\\\sum _{k}\left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}\right){\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {{\partial }L}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}\right)-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}\right)=0\\\sum _{k}\left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial Q_{k}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{k}}}\right){\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}=0\\\end{aligned}}$

Desde la transformación de $q\rightarrow Q$ es invertible, por lo tanto, la forma de la ecuación de Euler-Lagrange es invariante, es decir, ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial Q_{i}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{i}}}=0.$

Coordenadas cíclicas y momentos conservados

Una propiedad importante del lagrangiano es que las cantidades conservadas se pueden leer fácilmente a partir de él. El momento generalizado "canónicamente conjugado a" la coordenada q _i se define por $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Si el lagrangiano L no depende de alguna coordenada q _i , se deduce inmediatamente de las ecuaciones de Euler-Lagrange que ${\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$ Al integrar, se observa que el momento generalizado correspondiente es igual a una constante, una cantidad conservada. Este es un caso especial del teorema de Noether . Dichas coordenadas se denominan "cíclicas" o "ignorables".

Por ejemplo, un sistema puede tener un Lagrangiano $L(r,\theta ,{\dot {s}},{\dot {z}},{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},t),$ donde r y z son longitudes a lo largo de líneas rectas, s es una longitud de arco a lo largo de alguna curva, y θ y φ son ángulos. Nótese que z , s y φ están ausentes en el lagrangiano aunque sus velocidades no lo estén. Entonces, los momentos $p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}},\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}},\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}},$ Todas son cantidades conservadas. Las unidades y la naturaleza de cada momento generalizado dependerán de la coordenada correspondiente; en este caso, p _z es un momento de traslación en la dirección z , p _s es también un momento de traslación a lo largo de la curva s medida, y p _φ es un momento angular en el plano donde se mide el ángulo φ . Por muy complejo que sea el movimiento del sistema, todas las coordenadas y velocidades variarán de tal manera que estos momentos se conserven.

Energía

Dado un lagrangiano $L,$ El hamiltoniano del sistema mecánico correspondiente es, por definición, $H={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}-L.$ Esta cantidad será equivalente a la energía si las coordenadas generalizadas son coordenadas naturales, es decir, no tienen una dependencia temporal explícita al expresar el vector de posición: $\mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\cdots ,q_{n})$ . De: $T={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$ $\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {m}{2}}\left(2\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)=2T$ $H=\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-L=2T-(T-V)=T+V=E$ dónde $a_{ij}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}$ es una matriz simétrica que se define para la derivación.

Invariancia bajo transformaciones de coordenadas

En cada instante de tiempo t , la energía es invariante bajo cambios de coordenadas del espacio de configuración q → Q , es decir (usando coordenadas naturales) $E(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t).$ Además de este resultado, la demostración que sigue muestra que, bajo tal cambio de coordenadas, las derivadas $\partial L/\partial {\dot {q}}_{i}$ cambian como coeficientes de una forma lineal.

Prueba

Para una transformación de coordenadas Q = F ( q ) , tenemos $d\mathbf {Q} =F_{*}(\mathbf {q} )d\mathbf {q} ,$ dónde $F_{*}(\mathbf {q} )$ es el mapa tangente del espacio vectorial $\left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\cdot \left(\left.{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\right|_{\mathbf {q} }\right)\ {\biggl |}\ {\dot {q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\}$ al espacio vectorial $\left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {Q}}_{i}\cdot \left(\left.{\frac {\partial }{\partial Q_{i}}}\right|_{F(\mathbf {q} )}\right)\ {\biggl |}\ {\dot {Q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\},$ y $\textstyle F_{*}(\mathbf {q} )=\left(\left.{\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}}}\right|_{\mathbf {q} }\right)_{i,j=1}^{n}$ es el jacobiano. En las coordenadas ${\dot {q}}_{i}$ y ${\dot {Q}}_{i},$ la fórmula anterior para $d\mathbf {Q}$ tiene la forma ${\dot {\mathbf {Q} }}=F_{*}(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }}.$ Después de la diferenciación que involucra la regla del producto, $d{\dot {\mathbf {Q} }}=G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} +F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }},$ dónde ${\begin{aligned}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} &\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,d(F_{*}(\mathbf {q} )){\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i,j=1}^{n}{\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{j}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}dq_{k}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i,k=1}^{n}d\mathbf {q} .\end{aligned}}$

En notación vectorial, ${\begin{aligned}dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}d\mathbf {Q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}d{\dot {\mathbf {Q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}F_{*}(\mathbf {q} )+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right)d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}.\end{aligned}}$

Por otro lado, $dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt.$

Se mencionó anteriormente que los lagrangianos no dependen de la elección de las coordenadas del espacio de configuración, es decir $L(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t).$ Una de las implicaciones de esto es que $dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t),$ y ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.$ Esto demuestra que, para cada $\mathbf {q} ,$ ${\dot {\mathbf {q} }},$ y $t,$ $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}$ es una forma lineal bien definida cuyos coeficientes $\textstyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ son 1-tensores contravariantes. Aplicando ambos lados de la ecuación a ${\dot {\mathbf {q} }}$ y utilizando la fórmula anterior para ${\dot {\mathbf {Q} }}$ rendimientos ${\dot {\mathbf {Q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}={\dot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.$ La invariancia de la energía $E$ sigue.

Conservación

En mecánica lagrangiana, el sistema está cerrado si y solo si su Lagrangiano $L$ no depende explícitamente del tiempo. La ley de conservación de la energía establece que la energía $E$ de un sistema cerrado es una integral de movimiento .

Más precisamente, sea q = q ( t ) un extremo . (En otras palabras, q satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange). Tomando la derivada temporal total de L a lo largo de este extremo y utilizando las ecuaciones de EL se obtiene ${\begin{aligned}{\frac {dL}{dt}}&={\dot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\ddot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}\\-{\frac {\partial L}{\partial t}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}+{\ddot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}-{\dot {L}}\\-{\frac {\partial L}{\partial t}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\mathbf {\dot {q}} -L\right)={\frac {dH}{dt}}\end{aligned}}$

Si el lagrangiano L no depende explícitamente del tiempo, entonces ∂ L /∂ t = 0 , entonces H no varía con la evolución temporal de la partícula, de hecho, es una integral del movimiento, lo que significa que $H(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{constant of time}}.$ Por lo tanto, si las coordenadas elegidas fueran coordenadas naturales, la energía se conserva.

Energías cinéticas y potenciales

En todas estas circunstancias, ^{[ 41 ]} la constante $E=T+V$ es la energía total del sistema. Las energías cinética y potencial cambian a medida que el sistema evoluciona, pero su movimiento será tal que su suma, la energía total, sea constante. Esta es una simplificación valiosa, ya que la energía E es una constante de integración que se considera una constante arbitraria para el problema, y puede ser posible integrar las velocidades a partir de esta relación energética para calcular las coordenadas.

similitud mecánica

Si la energía potencial es una función homogénea de las coordenadas e independiente del tiempo, ^{[ 42 ]} y todos los vectores de posición están escalados por la misma constante no nula α , r _k ′ = α r _k , de modo que $V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})$ y el tiempo se escala por un factor β , t ′ = βt , entonces las velocidades v _k se escalan por un factor de α / β y la energía cinética T por ( α / β ) ² . Todo el lagrangiano se ha escalado por el mismo factor si ${\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N}{2}}}.$

Dado que las longitudes y los tiempos se han escalado, las trayectorias de las partículas en el sistema siguen caminos geométricamente similares que difieren en tamaño. La longitud l recorrida en el tiempo t en la trayectoria original corresponde a una nueva longitud l ′ recorrida en el tiempo t ′ en la nueva trayectoria, dada por las razones ${\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}.$

Partículas que interactúan

Para un sistema dado, si dos subsistemas A y B no interactúan, el lagrangiano L del sistema global es la suma de los lagrangianos L _A y L _B para los subsistemas: ^{[ 37 ]} $L=L_{A}+L_{B}.$

Si interactúan, esto no es posible. En algunas situaciones, puede ser posible separar el lagrangiano del sistema L en la suma de lagrangianos que no interactúan, más otro lagrangiano L _AB que contiene información sobre la interacción, $L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}.$

Esto puede justificarse físicamente al considerar que los lagrangianos sin interacción representan únicamente energías cinéticas, mientras que el lagrangiano de interacción representa la energía potencial total del sistema. Además, en el caso límite de interacción despreciable, L _AB tiende a cero, reduciéndose al caso sin interacción mencionado anteriormente.

La extensión a más de dos subsistemas no interactuantes es sencilla: el lagrangiano global es la suma de los lagrangianos individuales de cada subsistema. Si existen interacciones, se pueden añadir los lagrangianos de interacción.

Consecuencias de los lagrangianos singulares

De las ecuaciones de Euler-Lagrange se deduce que: ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\\&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial q_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {dq_{j}}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {d{\dot {q}}_{j}}{dt}}+{\frac {\partial L}{\partial t}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\\&\sum _{j}W_{ij}(q,{\dot {q}},t){\ddot {q}}_{j}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}-\sum _{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j},\\\end{aligned}}$

donde la matriz se define como $W_{ij}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial {\dot {q}}_{j}}}$ . Si la matriz $W$ es no singular, las ecuaciones anteriores se pueden resolver para representar ${\ddot {q}}$ como función de $({\dot {q}},q,t)$ Si la matriz no es invertible, no sería posible representar todo ${\ddot {q}}$ de como función de $({\dot {q}},q,t)$ pero además, las ecuaciones de movimiento hamiltonianas no adoptarán la forma estándar. ^{[ 43 ]}

Ejemplos

Los siguientes ejemplos aplican las ecuaciones de Lagrange de segundo tipo a problemas mecánicos.

Fuerza conservadora

Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de una fuerza conservativa derivada del gradiente ∇ de un potencial escalar , $\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r} ).$

Si hay más partículas, de acuerdo con los resultados anteriores, la energía cinética total es una suma de las energías cinéticas de todas las partículas, y el potencial es una función de todas las coordenadas.

Coordenadas cartesianas

El lagrangiano de la partícula se puede escribir $L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z).$

Las ecuaciones de movimiento para la partícula se obtienen aplicando la ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial x}},$ con derivados ${\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}},\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}},$ por eso $m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},$ y de forma similar para las coordenadas y y z . Agrupando las ecuaciones en forma vectorial encontramos $m{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\boldsymbol {\nabla }}V$ que es la segunda ley del movimiento de Newton para una partícula sujeta a una fuerza conservativa.

Coordenadas polares en 2D y 3D

Utilizando las coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) comúnmente empleadas en física ( convención ISO 80000-2:2019), donde r es la distancia radial al origen, θ es el ángulo polar (también conocido como colatitud, ángulo cenital, ángulo normal o ángulo de inclinación) y φ es el ángulo azimutal, el lagrangiano para un potencial central es $L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r).$ Así pues, en coordenadas esféricas, las ecuaciones de Euler-Lagrange son: $m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {\partial V}{\partial r}}=0,$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.$ La coordenada φ es cíclica ya que no aparece en el lagrangiano, por lo que el momento conservado en el sistema es el momento angular. $p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }},$ en el que r , θ y dφ / dt pueden variar con _el tiempo, pero solo de tal manera que pφ sea constante.

El lagrangiano en coordenadas polares bidimensionales se recupera fijando θ al valor constante π /2.

Péndulo sobre un soporte móvil

Esquema de la situación con definición de las coordenadas (haga clic para ampliar)

Consideremos un péndulo de masa m y longitud ℓ , que está unido a un soporte de masa M , que puede moverse a lo largo de una línea en el $x$ -dirección. Deje $x$ Sea la coordenada a lo largo de la línea de soporte, y denotemos la posición del péndulo por el ángulo $\theta$ desde la vertical. Las coordenadas y componentes de velocidad de la masa del péndulo son ${\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} }={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta .\end{array}}$

Las coordenadas generalizadas pueden tomarse como $x$ y $\theta$ La energía cinética del sistema es entonces $T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)$ y la energía potencial es $V=mgy_{\mathrm {pend} }$ dando el lagrangiano ${\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta .\end{array}}$

Dado que x está ausente del lagrangiano, es una coordenada cíclica. El momento conservado es $p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\theta }}\cos \theta ,$ y la ecuación de Lagrange para la coordenada de soporte $x$ es $(M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0.$

La ecuación de Lagrange para el ángulo θ es ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[m({\dot {x}}\ell \cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }})\right]+m\ell ({\dot {x}}{\dot {\theta }}+g)\sin \theta =0;$ y simplificando ${\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.$

Estas ecuaciones pueden parecer bastante complicadas, pero encontrarlas con las leyes de Newton habría requerido identificar cuidadosamente todas las fuerzas, lo que habría sido mucho más laborioso y propenso a errores. Al considerar casos límite, se puede verificar la corrección de este sistema: por ejemplo, ${\ddot {x}}\to 0$ debería dar las ecuaciones de movimiento para un péndulo simple que está en reposo en algún sistema de referencia inercial , mientras que ${\ddot {\theta }}\to 0$ debería dar las ecuaciones para un péndulo en un sistema de aceleración constante, etc. Además, es trivial obtener los resultados numéricamente, dadas las condiciones iniciales adecuadas y un paso de tiempo elegido, recorriendo los resultados iterativamente .

Problema de fuerza central de dos cuerpos

Dos cuerpos de masas $m 1$ y $m 2$ con vectores de posición $r 1$ y $r 2$ están en órbita uno alrededor del otro debido a un potencial central atractivo $V$ . Podemos escribir el lagrangiano en términos de las coordenadas de posición tal como están, pero es un procedimiento establecido convertir el problema de dos cuerpos en un problema de un cuerpo de la siguiente manera. Introducimos las coordenadas de Jacobi ; la separación de los cuerpos $r = r 2 - r 1$ y la ubicación del centro de masa $R = (m 1 r 1 + m 2 r 2)/(m 1 + m 2)$ . El lagrangiano es entonces ^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}^{[ nb 4 ]} $L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}$ donde $M = m 1 + m 2$ es la masa total, $μ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2)$ es la masa reducida , y $V$ el potencial de la fuerza radial, que depende solo de la magnitud de la separación $| r | = | r 2 - r 1 |$ . El lagrangiano se divide en un término de centro de masa $L cm$ y un término de movimiento relativo $L rel$ .

La ecuación de Euler-Lagrange para $R$ es simplemente $M{\ddot {\mathbf {R} }}=0,$ que establece que el centro de masa se mueve en línea recta a velocidad constante.

Dado que el movimiento relativo solo depende de la magnitud de la separación, es ideal usar coordenadas polares $(r, θ)$ y tomar $r = | r |$ , $L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu \left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r),$ Por lo tanto, $θ$ es una coordenada cíclica con el momento (angular) conservado correspondiente. $p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\theta }}=\ell .$

La coordenada radial $r$ y la velocidad angular $d θ /d t$ pueden variar con el tiempo, pero solo de tal manera que $ℓ$ sea constante. La ecuación de Lagrange para $r$ es $\mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}.$

Esta ecuación es idéntica a la ecuación radial obtenida utilizando las leyes de Newton en un sistema de referencia corrotante , es decir, un sistema que gira con la masa reducida de modo que parece estacionario. Eliminando la velocidad angular $d θ /d t$ de esta ecuación radial, ^{[ 46 ]} $\mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}.$ que es la ecuación de movimiento para un problema unidimensional en el que una partícula de masa $μ$ está sometida a la fuerza central hacia adentro $-d V /d r$ y a una segunda fuerza hacia afuera, llamada en este contexto fuerza centrífuga (lagrangiana) (ver fuerza centrífuga#Otros usos del término ): $F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}.$

Por supuesto, si uno se mantiene completamente dentro de la formulación unidimensional, $ℓ$ entra solo como un parámetro impuesto de la fuerza externa hacia afuera, y su interpretación como momento angular depende del problema bidimensional más general del que se originó el problema unidimensional.

Si se llega a esta ecuación utilizando la mecánica newtoniana en un sistema de referencia corrotante, la interpretación es evidente como la fuerza centrífuga en ese sistema de referencia debido a la rotación del propio sistema. Si se llega a esta ecuación directamente utilizando las coordenadas generalizadas $(r, θ)$ y simplemente siguiendo la formulación lagrangiana sin pensar en sistemas de referencia en absoluto, la interpretación es que la fuerza centrífuga es una consecuencia del uso de coordenadas polares . Como dice Hildebrand: ^{[ 47 ]}

Dado que tales magnitudes no son fuerzas físicas propiamente dichas, a menudo se las denomina fuerzas de inercia . Su presencia o ausencia depende, no del problema en cuestión, sino del sistema de coordenadas elegido . En particular, si se eligen coordenadas cartesianas, la fuerza centrífuga desaparece y la formulación solo involucra la fuerza central, que proporciona la fuerza centrípeta para un movimiento curvo.

Esta perspectiva, según la cual las fuerzas ficticias se originan en la elección de coordenadas, suele ser expresada por quienes utilizan el método lagrangiano. Esta visión surge de forma natural en el enfoque lagrangiano, ya que el sistema de referencia se selecciona (posiblemente de forma inconsciente) mediante la elección de coordenadas. Por ejemplo, véase ^{[ 48 ]} para una comparación de lagrangianos en un sistema de referencia inercial y en uno no inercial. Véase también la discusión sobre las formulaciones lagrangianas "totales" y "actualizadas" en ^{[ 49 ]} . Desafortunadamente, este uso de "fuerza inercial" entra en conflicto con la idea newtoniana de fuerza inercial. En la visión newtoniana, una fuerza inercial se origina en la aceleración del sistema de observación (el hecho de que no sea un sistema de referencia inercial ), no en la elección del sistema de coordenadas. Para mayor claridad, lo más seguro es referirse a las fuerzas inerciales lagrangianas como fuerzas inerciales generalizadas , para distinguirlas de las fuerzas inerciales vectoriales newtonianas. Es decir, conviene evitar seguir a Hildebrand cuando dice (p. 155): « Siempre tratamos con fuerzas, velocidades, aceleraciones y momentos generalizados . Por brevedad, se omitirá con frecuencia el adjetivo “generalizado”».

Se sabe que el lagrangiano de un sistema no es único. Dentro del formalismo lagrangiano, las fuerzas ficticias newtonianas pueden identificarse mediante la existencia de lagrangianos alternativos en los que las fuerzas ficticias desaparecen, a veces hallados aprovechando la simetría del sistema. ^{[ 50 ]}

Ampliaciones para incluir fuerzas no conservadoras

Fuerzas disipativas

La disipación (es decir, los sistemas no conservativos) también se puede tratar con un lagrangiano efectivo formulado mediante una cierta duplicación de los grados de libertad. ^{[ 51 ]}^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}^{[ 54 ]}

En una formulación más general, las fuerzas podrían ser tanto conservativas como viscosas . Si se puede encontrar una transformación apropiada a partir de F _i , Rayleigh sugiere usar una función de disipación , D , de la siguiente forma: ^{[ 55 ]} $D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},$ donde C _jk son constantes que están relacionadas con los coeficientes de amortiguación en el sistema físico, aunque no necesariamente iguales a ellos. Si D se define de esta manera, entonces ^{[ 55 ]} $Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$ y ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.$

Electromagnetismo

Una partícula de prueba es aquella cuya masa y carga se consideran tan pequeñas que su efecto sobre el sistema externo es insignificante. Suele ser una partícula puntual hipotética y simplificada, sin más propiedades que su masa y carga. Las partículas reales, como los electrones y los quarks up, son más complejas y presentan términos adicionales en sus lagrangianos. Los campos no solo pueden formar potenciales no conservativos, sino que estos potenciales también pueden depender de la velocidad.

El lagrangiano para una partícula cargada con carga eléctrica $q$ , que interactúa con un campo electromagnético , es el ejemplo prototípico de un potencial dependiente de la velocidad. El potencial escalar eléctrico $ϕ = ϕ (r, t)$ y el potencial vectorial magnético $A = A (r, t)$ se definen a partir del campo eléctrico $E = E (r, t)$ y el campo magnético $B = B (r, t)$ de la siguiente manera: $\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\quad \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .$

El lagrangiano de una partícula de prueba cargada masiva en un campo electromagnético. $L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi ,$ Se denomina acoplamiento mínimo . Este es un buen ejemplo de cuándo la regla general de que el lagrangiano es la energía cinética menos la energía potencial es incorrecta. Combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz. $m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B}$

Bajo transformación de calibre : $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}f,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}},$ donde $f (r, t)$ es cualquier función escalar del espacio y el tiempo, el lagrangiano mencionado anteriormente se transforma como: $L\rightarrow L+q\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)f=L+q{\frac {df}{dt}},$ lo cual sigue produciendo la misma ley de fuerza de Lorentz.

Nótese que el momento canónico (conjugado a la posición $r$ ) es el momento cinético más una contribución del campo $A$ (conocido como momento potencial): $\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} .$

Esta relación también se utiliza en la prescripción de acoplamiento mínimo en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos . A partir de esta expresión, podemos ver que el momento canónico $p$ no es invariante de gauge y, por lo tanto, no es una magnitud física medible; sin embargo, si $r$ es cíclico (es decir, el lagrangiano es independiente de la posición $r$ ), lo que ocurre si los campos $ϕ$ y $A$ son uniformes, entonces este momento canónico $p$ dado aquí es el momento conservado, mientras que el momento cinético físico medible $m v$ no lo es.

Otros contextos y formulaciones

Las ideas de la mecánica lagrangiana tienen numerosas aplicaciones en otras áreas de la física y pueden adoptar resultados generalizados del cálculo de variaciones.

Formulaciones alternativas de la mecánica clásica

Una formulación estrechamente relacionada con la mecánica clásica es la mecánica hamiltoniana . El hamiltoniano se define por $H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L$ y se puede obtener realizando una transformación de Legendre sobre el lagrangiano, que introduce nuevas variables canónicamente conjugadas a las variables originales. Por ejemplo, dado un conjunto de coordenadas generalizadas, las variables canónicamente conjugadas son los momentos generalizados. Esto duplica el número de variables, pero convierte las ecuaciones diferenciales en de primer orden. El hamiltoniano es una magnitud particularmente omnipresente en mecánica cuántica (véase Hamiltoniano (mecánica cuántica) ).

La mecánica de Routh es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, que no se usa con frecuencia en la práctica, pero es una formulación eficiente para coordenadas cíclicas.

Formulación en el espacio de momentos

Las ecuaciones de Euler-Lagrange también pueden formularse en términos de momentos generalizados en lugar de coordenadas generalizadas. Al aplicar una transformación de Legendre al lagrangiano de coordenadas generalizadas L ( q , d q /d t , t ) se obtiene el lagrangiano de momentos generalizados L ′ ( p , d p /d t , t ) en términos del lagrangiano original, así como las ecuaciones de Euler-Lagrange en términos de los momentos generalizados. Ambos lagrangianos contienen la misma información y cualquiera de ellos puede utilizarse para resolver el movimiento del sistema. En la práctica, las coordenadas generalizadas son más convenientes de usar e interpretar que los momentos generalizados.

Derivadas de orden superior de coordenadas generalizadas

No existe ninguna razón matemática para restringir las derivadas de coordenadas generalizadas únicamente al primer orden. Es posible derivar ecuaciones EL modificadas para un lagrangiano que contenga derivadas de orden superior; véase la ecuación de Euler-Lagrange para más detalles. Sin embargo, desde el punto de vista físico, existe un obstáculo para incluir derivadas temporales de orden superior al primero, lo cual se deduce de la construcción de Ostrogradsky de un formalismo canónico para lagrangianos con derivadas superiores no degeneradas; véase la inestabilidad de Ostrogradsky.

Óptica

La mecánica lagrangiana se puede aplicar a la óptica geométrica , aplicando principios variacionales a los rayos de luz en un medio, y resolviendo las ecuaciones EL se obtienen las ecuaciones de las trayectorias que siguen los rayos de luz.

Formulación relativista

La mecánica lagrangiana puede formularse tanto en la relatividad especial como en la general . Algunas características de la mecánica lagrangiana se conservan en las teorías relativistas, pero surgen rápidamente dificultades en otros aspectos. En particular, las ecuaciones EL adoptan la misma forma, y la relación entre coordenadas cíclicas y momentos conservados sigue vigente; sin embargo, el lagrangiano debe modificarse y no es simplemente la energía cinética menos la energía potencial de una partícula. Además, no es sencillo tratar sistemas de múltiples partículas de forma manifiestamente covariante , aunque podría ser posible si se selecciona un sistema de referencia específico.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la acción y la fase cuántico-mecánica están relacionadas a través de la constante de Planck , y el principio de acción estacionaria puede entenderse en términos de interferencia constructiva de funciones de onda .

En 1948, Feynman descubrió la formulación de la integral de trayectoria, que extiende el principio de mínima acción a la mecánica cuántica para electrones y fotones . En esta formulación, las partículas recorren todas las trayectorias posibles entre los estados inicial y final; la probabilidad de un estado final específico se obtiene sumando sobre todas las trayectorias posibles que conducen a él. En el régimen clásico, la formulación de la integral de trayectoria reproduce fielmente el principio de Hamilton y el principio de Fermat en óptica .

Teoría clásica de campos

En mecánica lagrangiana, las coordenadas generalizadas forman un conjunto discreto de variables que definen la configuración de un sistema. En teoría clásica de campos , el sistema físico no es un conjunto de partículas discretas, sino un campo continuo ϕ ( r , t ) definido sobre una región del espacio tridimensional. Asociada a este campo se encuentra una densidad lagrangiana. ${\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,{\dot {\phi }},\mathbf {r} ,t)$ Definida en términos del campo y sus derivadas espaciales y temporales en una ubicación r y un tiempo t . Análogamente al caso de partículas, para aplicaciones no relativistas la densidad lagrangiana es también la densidad de energía cinética del campo, menos su densidad de energía potencial (esto no es cierto en general, y la densidad lagrangiana debe ser "ingeniería inversa"). El lagrangiano es entonces la integral de volumen de la densidad lagrangiana sobre el espacio 3D. $L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$ donde d ³r es un elemento de volumen diferencial 3D . El lagrangiano es una función del tiempo ya que la densidad lagrangiana tiene una dependencia espacial implícita a través de los campos, y puede tener una dependencia espacial explícita, pero estas se eliminan en la integral, dejando solo el tiempo como la variable para el lagrangiano.

Teorema de Noether

El principio de acción y el formalismo lagrangiano están estrechamente ligados al teorema de Noether , que relaciona las cantidades físicas conservadas con las simetrías continuas de un sistema físico.

Si el lagrangiano es invariante bajo una simetría, entonces las ecuaciones de movimiento resultantes también lo son bajo esa simetría. Esta característica es muy útil para demostrar que las teorías son consistentes con la relatividad especial o la relatividad general .

Véase también

Coordenadas canónicas
Lema fundamental del cálculo de variaciones
Derivado funcional
Coordenadas generalizadas
mecánica hamiltoniana
Óptica hamiltoniana
Problema inverso para la mecánica lagrangiana , el tema general de encontrar un lagrangiano para un sistema dadas las ecuaciones de movimiento.
Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo
punto lagrangiano
sistema lagrangiano
Mecánica no autónoma
El problema de Plateau
Problema restringido de tres cuerpos

Notas a pie de página

↑ A veces en este contexto la derivada variacional denotada y definida como ${\frac {\delta }{\delta \mathbf {r} _{k}}}\equiv {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}$ Se utiliza. A lo largo de este artículo solo se utilizan derivadas parciales y totales.
↑ Aquí se supone que los desplazamientos virtuales son reversibles; es posible que algunos sistemas tengan desplazamientos virtuales no reversibles que violen este principio; véase la ecuación de Udwadia-Kalaba .
↑ En otras palabras $\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0$ Sin embargo, para la partícula k sujeta a una fuerza de restricción $C_{k\,x}\delta x_{k}\neq 0,\quad C_{k\,y}\delta y_{k}\neq 0,\quad C_{k\,z}\delta z_{k}\neq 0$ debido a las ecuaciones de restricción en las coordenadas r _{k .}
↑ El lagrangiano también puede escribirse explícitamente para un sistema de referencia giratorio. Véase Padmanabhan, 2000.

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

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Principio de mínima acción interactivo Excelente explicación/página web interactiva
Joseph Louis de Lagrange - Obras completas (Gallica-Math)
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[12] A veces en este contexto la derivada variacional denotada y definida como ${\frac {\delta }{\delta \mathbf {r} _{k}}}\equiv {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}$ Se utiliza. A lo largo de este artículo solo se utilizan derivadas parciales y totales.

[24] Aquí se supone que los desplazamientos virtuales son reversibles; es posible que algunos sistemas tengan desplazamientos virtuales no reversibles que violen este principio; véase la ecuación de Udwadia-Kalaba .

[26] En otras palabras $\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0$ Sin embargo, para la partícula k sujeta a una fuerza de restricción $C_{k\,x}\delta x_{k}\neq 0,\quad C_{k\,y}\delta y_{k}\neq 0,\quad C_{k\,z}\delta z_{k}\neq 0$ debido a las ecuaciones de restricción en las coordenadas r _{k .}

[49] El lagrangiano también puede escribirse explícitamente para un sistema de referencia giratorio. Véase Padmanabhan, 2000.

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