Traslación (geometría)

En geometría euclidiana , una traslación es una transformación geométrica que desplaza cada punto de una figura, forma o espacio la misma distancia en una dirección determinada . Una traslación también puede interpretarse como la suma de un vector constante a cada punto, o como el desplazamiento del origen del sistema de coordenadas . En un espacio euclidiano , cualquier traslación es una isometría .

Una traslación es una isometría que desplaza la figura original según una dirección, un sentido y una longitud ( vector ). Las traslaciones conservan la dirección y la longitud de los segmentos de línea, así como las amplitudes de los ángulos.

Un deslizamiento es una traslación a lo largo de un eje helicoidal , alrededor del cual también puede producirse una rotación .

Podemos citar como ejemplos prácticos de traslación los ascensores , las escaleras mecánicas e incluso los toboganes .

En la simetría traslacional, la figura se "desliza" a lo largo de una línea, permaneciendo inalterada. En todas las traslaciones, se observa que el mismo elemento se mueve en una dirección determinada y siempre paralelo a sí mismo, es decir, sin rotar jamás. En un friso, hay un motivo que se repite periódicamente, en una dirección determinada y siempre paralelo a sí mismo.

"Sea AB un segmento orientado, en el plano π o en el espacio E. (Orientado significa que el orden en que se citan los extremos es relevante: primero A y luego B). La traslación determinada por AB es la transformación (correspondencia biyectiva) τ : π → π, o τ : E → E, definida por τ(X) = X', de modo que (AB, XX') y (AX, BX') son pares de lados opuestos de un paralelogramo". ^{[ 1 ]}

Como función

Si $\mathbf {v}$ es un vector fijo, conocido como vector de traslación , y $\mathbf {p}$ es la posición inicial de algún objeto, luego la función de traslación $T_{\mathbf {v} }$ funcionará como $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ .

Si $T$ es una traducción, luego la imagen de un subconjunto $A$ bajo la función $T$ es la traducción de $A$ por $T$ . La traducción de $A$ por $T_{\mathbf {v} }$ a menudo se escribe como $A+\mathbf {v}$ .

Aplicación en física clásica

En física clásica , el movimiento de traslación es el movimiento que cambia la posición de un objeto, a diferencia de la rotación . Por ejemplo, según Whittaker: ^{[ 2 ]}

Si un cuerpo se mueve de una posición a otra, y si las líneas que unen los puntos inicial y final de cada uno de los puntos del cuerpo son un conjunto de líneas rectas paralelas de longitud ℓ , de modo que la orientación del cuerpo en el espacio no se altera, el desplazamiento se llama traslación paralela a la dirección de las líneas, a través de una distancia ℓ .

— ET Whittaker , Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos , pág. 1

Una traslación es la operación que cambia las posiciones de todos los puntos. $(x,y,z)$ de un objeto según la fórmula

(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)

dónde $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ es el mismo vector para cada punto del objeto. El vector de traslación $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ El término "común a todos los puntos del objeto" describe un tipo particular de desplazamiento del objeto, generalmente llamado desplazamiento lineal para distinguirlo de los desplazamientos que implican rotación, llamados desplazamientos angulares .

Al considerar el espacio-tiempo , un cambio de coordenada temporal se considera una traslación.

Como operador

El operador de traslación convierte una función de la posición original, $f(\mathbf {v} )$ , en función de la posición final, $f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )$ . En otras palabras, $T_{\mathbf {\delta } }$ se define de tal manera que $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ Este operador es más abstracto que una función, ya que $T_{\mathbf {\delta } }$ Define una relación entre dos funciones, en lugar de los vectores subyacentes en sí. El operador de traslación puede actuar sobre muchos tipos de funciones, como cuando actúa sobre una función de onda , lo cual se estudia en el campo de la mecánica cuántica.

Como grupo

El conjunto de todas las traducciones forma el grupo de traducción $\mathbb {T}$ , que es isomorfo al espacio mismo, y un subgrupo normal del grupo euclidiano $E(n)$ . El grupo cociente de $E(n)$ por $\mathbb {T}$ es isomorfo al grupo de movimientos rígidos que fijan un punto de origen particular, el grupo ortogonal $O(n)$ :

E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)

Como la traslación es conmutativa , el grupo de traslaciones es abeliano . Hay un número infinito de traslaciones posibles, por lo que el grupo de traslaciones es un grupo infinito .

En la teoría de la relatividad , debido a que el espacio y el tiempo se consideran un único espaciotiempo , las traslaciones también pueden referirse a cambios en la coordenada temporal . Por ejemplo, el grupo galileano y el grupo de Poincaré incluyen traslaciones con respecto al tiempo.

Grupos reticulares

Un tipo de subgrupo del grupo de traslación tridimensional son los grupos reticulares , que son grupos infinitos , pero a diferencia de los grupos de traslación, son finitamente generados . Es decir, un conjunto generador finito genera todo el grupo.

Representación matricial

Una traslación es una transformación afín sin puntos fijos . Las multiplicaciones de matrices siempre tienen el origen como punto fijo. Sin embargo, existe una solución común que utiliza coordenadas homogéneas para representar una traslación de un espacio vectorial con multiplicación de matrices : escribir el vector tridimensional $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ utilizando 4 coordenadas homogéneas como $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ . ^{[ 3 ]}

Para trasladar un objeto mediante un vector $\mathbf {v}$ , cada vector homogéneo $\mathbf {p}$ (escrita en coordenadas homogéneas) se puede multiplicar por esta matriz de traslación :

T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}

La inversa de una matriz de traslación se puede obtener invirtiendo la dirección del vector (en otras palabras, es una matriz M ):

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!

De manera similar, el producto de matrices de traslación se obtiene sumando los vectores:

T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!

Dado que la suma de vectores es conmutativa , la multiplicación de matrices de traslación también lo es (a diferencia de la multiplicación de matrices arbitrarias).

Traslación de ejes

Si bien la traslación geométrica suele considerarse una transformación activa que cambia la posición de un objeto geométrico, se puede lograr un resultado similar mediante una transformación pasiva que mueve el sistema de coordenadas pero deja el objeto fijo. La versión pasiva de una traslación geométrica activa se conoce como traslación de ejes .

Simetría traslacional

Se dice que un objeto que se ve igual antes y después de una traslación tiene simetría traslacional . Un ejemplo común es una función periódica , que es una autofunción de un operador de traslación.

En la simetría traslacional, la figura se "desliza" a lo largo de una línea, permaneciendo inalterada. En todas las traslaciones, se observa que el mismo elemento se mueve en una dirección determinada y siempre paralelo a sí mismo, es decir, sin rotar jamás. En un friso , hay un motivo que se repite periódicamente, en una dirección determinada y siempre paralelo a sí mismo.

Traslaciones de un gráfico

La gráfica de una función real $f$ , el conjunto de puntos $(x,f(x))$ ⁠ , a menudo se representa en el plano de coordenadas reales con $x$ como coordenada horizontal y ⁠ $y=f(x)$ como la coordenada vertical.

Partiendo de la gráfica de $f$ , una traslación horizontal significa componer $f$ con una función . $x\mapsto x-a$ ⁠ , para algún número constante $a$ , lo que resulta en una gráfica que consta de puntos ⁠ $(x,f(x-a))$ Cada punto $(x,y)$ ⁠ del gráfico original corresponde al punto ⁠ $(x+a,y)$ en el nuevo gráfico, lo que visualmente resulta en un desplazamiento horizontal.

Una traslación vertical significa componer la función . $y\mapsto y+b$ con $f$ , para algunaconstante $b$ , resultando en una gráfica que consta de los puntos ${\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}$ Cada punto $(x,y)$ ⁠ del gráfico original corresponde al punto ⁠ $(x,y+b)$ en el nuevo gráfico, lo que gráficamente resulta en un desplazamiento vertical.^{[ 4 ]}

Por ejemplo, tomando la función cuadrática $y=x^{2}$ ⁠ , cuya gráfica es una parábola con vértice en ⁠ $(0,0)$ ⁠ , una traslación horizontal de 5 unidades a la derecha sería la nueva función ⁠ $y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$ cuyo vértice tiene coordenadas $(5,0)$ Una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba sería la nueva función . $y=x^{2}+3$ cuyo vértice tiene coordenadas $(0,3)$ ⁠ .

Las antiderivadas de una función difieren entre sí por una constante de integración y, por lo tanto, son traslaciones verticales unas de otras. ^{[ 5 ]}

Aplicaciones

Para describir la dinámica de vehículos (o el movimiento de cualquier cuerpo rígido ), incluyendo la dinámica de barcos y aeronaves , es común utilizar un modelo mecánico con seis grados de libertad , que incluye traslaciones a lo largo de tres ejes de referencia (así como rotaciones alrededor de esos tres ejes). Estas traslaciones se denominan a menudo cabeceo , balanceo y elevación .

Véase también

Referencias

↑ LIMA, 2001
↑ Edmund Taylor Whittaker (1988). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos (Reimpresión de la cuarta edición de 1936 con prólogo de William McCrea, ed.). Cambridge University Press. pág. 1. ISBN 0-521-35883-3.
↑ Richard Paul, 1981, Manipuladores robóticos: matemáticas, programación y control : el control informático de manipuladores robóticos , MIT Press, Cambridge, MA
↑ Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Filtros no lineales para el procesamiento de imágenes , Serie SPIE/IEEE sobre ciencia e ingeniería de imágenes, vol. 59, SPIE Press, pág. 169, ISBN 9780819430335.
↑ Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Cálculo de una variable: Primeros trascendentales , Jones & Bartlett Learning, pág. 269, ISBN 9780763749651.

Lecturas adicionales

Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Concepciones de la traducción de funciones: obstáculos, intuiciones y redireccionamiento. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437–450. Recuperado el 29 de abril de 2014 de www.elsevier.com/locate/jmathb
Transformaciones de grafos: traslaciones horizontales . (1 de enero de 2006). BioMath: Transformación de grafos. Recuperado el 29 de abril de 2014.

Enlaces externos

Traducción Transformar en cortar el nudo
Traslación geométrica (animación interactiva) en Math Is Fun
Comprensión de la traducción 2D y comprensión de la traducción 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .

[1] LIMA, 2001

[Whittaker-2] Edmund Taylor Whittaker (1988). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos (Reimpresión de la cuarta edición de 1936 con prólogo de William McCrea, ed.). Cambridge University Press. pág. 1. ISBN 0-521-35883-3.

[3] Richard Paul, 1981, Manipuladores robóticos: matemáticas, programación y control : el control informático de manipuladores robóticos , MIT Press, Cambridge, MA

[4] Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Filtros no lineales para el procesamiento de imágenes , Serie SPIE/IEEE sobre ciencia e ingeniería de imágenes, vol. 59, SPIE Press, pág. 169, ISBN 9780819430335.

[5] Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Cálculo de una variable: Primeros trascendentales , Jones & Bartlett Learning, pág. 269, ISBN 9780763749651.

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