Plano de traslación

En matemáticas , un plano de traslación es un plano proyectivo que admite un cierto grupo de simetrías (que se describen más adelante). Junto con los planos de Hughes y los planos de Figueroa , los planos de traslación se encuentran entre los planos no desarguesianos conocidos más estudiados , y la gran mayoría de los planos no desarguesianos conocidos son planos de traslación o pueden obtenerse a partir de un plano de traslación mediante iteraciones sucesivas de dualización y/o derivación . ^{[ 1 ]}

En un plano proyectivo, sea P un punto y l una recta. Una colineación central con centro P y eje l es una colineación que fija cada punto en l y cada recta que pasa por P. Se llama elación si P está en l , de lo contrario se llama homología . Las colineaciones centrales con centro P y eje l forman un grupo. ^{[ 2 ]} Una recta l en un plano proyectivo Π es una recta de traslación si el grupo de todas las elaciones con eje l actúa transitivamente sobre los puntos del plano afín obtenido al eliminar l del plano Π , Π _l (la derivada afín de Π ). Un plano proyectivo con una recta de traslación se llama plano de traslación.

El plano afín que se obtiene al eliminar la línea de traslación se denomina plano de traslación afín. Si bien suele ser más sencillo trabajar con planos proyectivos, en este contexto varios autores utilizan el término plano de traslación para referirse al plano de traslación afín. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Todo plano proyectivo puede ser coordinado por al menos un anillo ternario planar . ^{[ 5 ]} Para los planos de traslación, siempre es posible coordinarlos con un cuasicampo . ^{[ 6 ]} Sin embargo, algunos cuasicampos satisfacen propiedades algebraicas adicionales, y los anillos ternarios planares correspondientes coordinan planos de traslación que admiten simetrías adicionales. Algunas de estas clases especiales son:

• Planos de campo cercano - coordinados por campos cercanos .
• Planos de semicampos: coordinados por semicampos , los planos de semicampos tienen la propiedad de que su dual es también un plano de traslación.
• Planos de Moufang : coordinados por anillos de división alternativos , los planos de Moufang son precisamente aquellos planos de traslación que tienen al menos dos líneas de traslación. Todo plano de Moufang finito es desarguesiano y todo plano desarguesiano es un plano de Moufang, pero existen infinitos planos de Moufang que no son desarguesianos (como el plano de Cayley ).

Dado un cuasicampo con operaciones + (suma) y${\displaystyle \cdot }$(multiplicación), se puede definir un anillo ternario planar para crear coordenadas para un plano de traslación. Sin embargo, es más típico crear un plano afín directamente a partir del cuasicampo definiendo los puntos como pares.${\displaystyle (a,b)}$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son elementos del cuasicampo, y las líneas son los conjuntos de puntos${\displaystyle (x,y)}$que satisface una ecuación de la forma${\displaystyle y=m\cdot x+b}$, como${\displaystyle m}$y${\displaystyle b}$varían sobre los elementos del cuasicampo, junto con los conjuntos de puntos${\displaystyle (x,y)}$que satisface una ecuación de la forma${\displaystyle x=a}$, como${\displaystyle a}$varía sobre los elementos del cuasicampo. ^{[ 7 ]}

Los planos de traslación están relacionados con las extensiones de espacios proyectivos de dimensión impar mediante la construcción de Bruck-Bose. ^{[ 8 ]} Una extensión de PG(2 n +1, K ) , donde${\displaystyle n\geq 1}$es un número entero y K un anillo de división, es una partición del espacio en subespacios n- dimensionales disjuntos dos a dos. En el caso finito, una extensión de PG(2 n +1, q ) es un conjunto de q ^{n +1} + 1 subespacios n- dimensionales, sin que dos se intersequen.

Dada una distribución S de PG(2 n +1, K ) , la construcción de Bruck-Bose produce un plano de traslación como sigue: Incrustar PG(2 n +1, K ) como un hiperplano.${\displaystyle \Sigma }$de PG(2 n +2, K ) . Defina una estructura de incidencia A ( S ) con "puntos", los puntos de PG(2 n +2, K ) que no están en${\displaystyle \Sigma }$y "líneas" los subespacios ( n +1) -dimensionales de PG(2 n +2, K ) que se encuentran${\displaystyle \Sigma }$en un elemento de S. Entonces A ( S ) es un plano de traslación afín. En el caso finito, este procedimiento produce un plano de traslación de orden q ^{n +1} .

Lo contrario de esta afirmación es casi siempre cierto. ^{[ 9 ]} Cualquier plano de traslación coordinado por un cuasicampo de dimensión finita sobre su núcleo K ( K es necesariamente un anillo de división ) puede generarse a partir de una propagación de PG(2 n +1, K ) utilizando la construcción de Bruck-Bose, donde ( n +1) es la dimensión del cuasicampo, considerado como un módulo sobre su núcleo. Un corolario inmediato de este resultado es que todo plano de traslación finito puede obtenerse a partir de esta construcción.

André ^{[ 10 ]} dio una representación algebraica anterior de planos de traslación (afines) que es fundamentalmente la misma que la de Bruck/Bose. Sea V un espacio vectorial 2 n -dimensional sobre un cuerpo F . Una propagación de V es un conjunto S de subespacios n -dimensionales de V que particionan los vectores no nulos de V . Los miembros de S se llaman componentes de la propagación y si V _i y V _j son componentes distintas entonces V _i ⊕ V _j = V . Sea A la estructura de incidencia cuyos puntos son los vectores de V y cuyas líneas son las clases laterales de las componentes, es decir, conjuntos de la forma v + U donde v es un vector de V y U es una componente de la propagación S . Entonces: ^{[ 11 ]}

A es un plano afín y el grupo de traslaciones x → x + w para w en V es un grupo de automorfismos que actúa regularmente sobre los puntos de este plano.

Dejar${\displaystyle \Sigma }$Sea el espacio proyectivo PG(2 n +1, K ) para${\displaystyle n\geq 1}$un número entero y K un anillo de división. Un régulo ^{[ 12 ]} R en${\displaystyle \Sigma }$es una colección de subespacios n- dimensionales disjuntos dos a dos con las siguientes propiedades:

1. R contiene al menos 3 elementos
2. Cada línea que intersecta tres elementos de R , llamada transversal , intersecta todos los elementos de R.
3. Cada punto de una transversal a R se encuentra sobre algún elemento de R.

Cualquier tres subespacios n -dimensionales disjuntos por pares en${\displaystyle \Sigma }$yacen en un único regulal. ^{[ 13 ]} Una propagación S de${\displaystyle \Sigma }$Un espacio es regular si para cualesquiera tres subespacios n- dimensionales distintos de S , todos los miembros del único regulus determinado por ellos están contenidos en S. Para cualquier anillo de división K con más de 2 elementos, si una propagación S de PG(2 n +1, K ) es regular, entonces el plano de traslación creado por esa propagación mediante la construcción de André/Bruck-Bose es un plano de Moufang . Se cumple una propiedad inversa ligeramente más débil: si un plano de traslación es papiano , entonces puede generarse mediante la construcción de André/Bruck-Bose a partir de una propagación regular. ^{[ 14 ]}

En el caso finito, K debe ser un cuerpo de orden${\displaystyle q>2}$y las clases de planos de Moufang, Desarguesian y Pappian son todas idénticas, por lo que este teorema se puede refinar para afirmar que una propagación S de PG(2 n +1, q ) es regular si y solo si el plano de traslación creado por esa propagación a través de la construcción de André/Bruck-Bose es Desarguesian .

En el caso en que K sea el campo${\displaystyle GF(2)}$Todas las extensiones de PG(2 n +1, 2) son trivialmente regulares, ya que un regulus solo contiene tres elementos. Si bien el único plano de traslación de orden 8 es desarguesiano, se sabe que existen planos de traslación no desarguesianos de orden 2 ^e para cada entero${\displaystyle e\geq 4}$. ^{[ 15 ]}

• Planos de Hall - construidos por Bruck/Bose a partir de una disposición regular de${\displaystyle PG(3,q)}$donde una regla ha sido reemplazada por el conjunto de líneas transversales a esa regla (llamada regla opuesta ).
• Planos subregulares : construidos por Bruck/Bose a partir de una extensión regular de${\displaystyle PG(3,q)}$donde un conjunto de reglas disjuntas por pares han sido reemplazadas por sus reglas opuestas.
• André planea
• aviones de campo cercano
• Planos de semicampo

Es bien sabido que los únicos planos proyectivos de orden 8 o menor son los desarguesianos, y no se conocen planos no desarguesianos de orden primo. ^{[ 16 ]} Los planos de traslación finitos deben tener un orden de potencia prima . Hay cuatro planos proyectivos de orden 9, de los cuales dos son planos de traslación: el plano desarguesiano y el plano de Hall . La siguiente tabla detalla el estado actual del conocimiento:

• André, Johannes (1954), "Über nicht-Desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe" , Mathematische Zeitschrift , 60 : 156– 186, doi : 10.1007/BF01187370 , ISSN 0025-5874 , MR 0063056 , S2CID 123661471   
• Ball, Simeon; John Bamberg; Michel Lavrauw; Tim Penttila (15 de septiembre de 2003), Dispersiones simplécticas (PDF) , Universidad Politécnica de Cataluña , consultado el 8 de octubre de 2008.
• Bruck, RH (1969), RCBose y TA Dowling (eds.), "Problemas de construcción de planos proyectivos finitos", Matemáticas combinatorias y sus aplicaciones , Univ. de Carolina del Norte Press, págs. 426–514 
• Bruck, RH ; Bose, RC (1966), "Representaciones lineales de planos proyectivos en espacios proyectivos" (PDF) , Journal of Algebra , 4 : 117–172 , doi : 10.1016/0021-8693(66)90054-8
• Bruck, RH ; Bose, RC (1964), "La construcción de planos de traslación a partir de espacios proyectivos" (PDF) , Journal of Algebra , 1 : 85–102 , doi : 10.1016/0021-8693(64)90010-9
• Czerwinski, Terry; Oakden, David (1992). "Los planos de traslación de orden veinticinco". Journal of Combinatorial Theory, Series A . 59 (2): 193– 217. doi : 10.1016/0097-3165(92)90065-3 .
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275 
• Dempwolff, U. (1994). "Planos de traslación de orden 27" . Diseños, códigos y criptografía . 4 (2): 105– 121. doi : 10.1007/BF01578865 . ISSN 0925-1022 . S2CID 12524473 .  
• Dover, Jeremy M. (27 de febrero de 2019). "Una genealogía de los planos de traslación de orden 25". arXiv : 1902.07838 [ math.CO ].
• Hall, Marshall (1943), "Planos proyectivos" (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (2): 229–277 , doi : 10.2307/1990331 , JSTOR 1990331 
• Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Planos proyectivos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Johnson, Norman L.; Jha, Vikram; Biliotti, Mauro (2007), Handbook of Finite Translation Planes , Chapman&Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-605-1
• Knuth, Donald E. (1965), "Una clase de planos proyectivos" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 115 : 541–549 , doi : 10.2307/1994285 , JSTOR 1994285 
• Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
• Mathon, Rudolf; Royle, Gordon F. (1995). "Los planos de traducción de orden 49" . Diseños, códigos y criptografía . 5 (1): 57– 72. doi : 10.1007/BF01388504 . ISSN 0925-1022 . S2CID 1925628 .  
• McKay, Brendan D.; Royle, Gordon F. (2014). "Hay 2834 dispersiones de líneas en PG(3,8)". arXiv : 1404.1643 [ math.CO ].
• Moorhouse, Eric (2007), Geometría de incidencia (PDF) , archivado del original (PDF) el 29/10/2013.
• Reifart, Arturo (1984). «La clasificación de los planos de traslación de orden 16, II» . Geometriae Dedicata . 17 (1). doi : 10.1007/BF00181513 . ISSN 0046-5755 . S2CID 121935740 .  
• Sherk, FA; Pabst, Günther (1977), "Conjuntos indicadores, reguli y una nueva clase de dispersiones" (PDF) , Canadian Journal of Mathematics , 29 (1): 132–54 , doi : 10.4153/CJM-1977-013-6 , S2CID 124215765 

• Mauro Biliotti, Vikram Jha, Norman L. Johnson (2001) Fundamentos de los planos de traducción , Marcel Dekker ISBN 0-8247-0609-9.

• Apuntes de clase sobre geometría proyectiva
• Publicaciones de Keith Mellinger