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Articulo de referencia

Plano de Hall

En matemáticas, un plano de Hall es un plano proyectivo no desarguesiano construido por Marshall Hall Jr. (1943). [ 1 ] Hay ejemplos de orden p 2 n para cada primo p y cada ente...

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En matemáticas, un plano de Hall es un plano proyectivo no desarguesiano construido por Marshall Hall Jr. (1943). [ 1 ] Hay ejemplos de orden p 2 n para cada primo p y cada entero positivo n siempre que p 2 n > 4 . [ 2 ]

Construcción algebraica mediante sistemas de Hall

La construcción original de los planos de Hall se basó en el cuasicampo de Hall (también llamado sistema de Hall ), H de orden p²n para p un número primo. La creación del plano a partir del cuasicampo sigue la construcción estándar (véase cuasicampo para más detalles).

Para construir un cuasicampo de Hall, comience con un campo de Galois , F = GF( p n ) para p un primo y un polinomio cuadrático irreducible f ( x ) = x 2 − rx − s sobre F . Extienda H = F × F , un espacio vectorial bidimensional sobre F , a un cuasicampo definiendo una multiplicación en los vectores por ( a , b ) ∘ ( c , d ) = ( ac − bd −1 f ( c ), ad − bc + br ) cuando d ≠ 0 y ( a , b ) ∘ ( c , 0) = ( ac , bc ) en caso contrario.

Al escribir los elementos de H en términos de una base ⟨ 1, λ ⟩ , es decir, identificando ( x , y ) con x + λy a medida que x e y varían sobre F , podemos identificar los elementos de F como los pares ordenados ( x , 0) , es decir x + λ 0 . Las propiedades de la multiplicación definida que transforma el espacio vectorial derecho H en un cuasi-campo son:

  1. todo elemento α de H que no está en F satisface la ecuación cuadrática f ( α ) = 0 ;
  2. F está en el núcleo de H (lo que significa que ( α + β ) c = αc + βc , y ( αβ ) c = α ( βc ) para todo α , β en H y todo c en F ); y
  3. Cada elemento de F conmuta ( multiplicativamente) con todos los elementos de H. [ 3 ]

Derivación

Otra construcción que produce planos de Hall se obtiene aplicando la derivación a los planos de Desarguesian .

Un proceso, debido a TG Ostrom, que reemplaza ciertos conjuntos de líneas en un plano proyectivo por conjuntos alternativos de tal manera que la nueva estructura sigue siendo un plano proyectivo se llama derivación . Damos los detalles de este proceso. [ 4 ] Partimos de un plano proyectivo π de orden n 2 y designamos una línea ℓ como su línea en el infinito . Sea A el plano afín π ∖ ℓ . Un conjunto D de n + 1 puntos de ℓ se llama conjunto de derivación si para cada par de puntos distintos X e Y de A que determinan una línea que interseca a ℓ en un punto de D , hay un subplano de Baer que contiene a X , Y y D (decimos que tales subplanos de Baer pertenecen a D. ) Definimos un nuevo plano afín D( A ) de la siguiente manera: Los puntos de D( A ) son los puntos de A . Las líneas de D( A ) son las líneas de π que no intersecan a ℓ en un punto de D (restringido a A ) y los subplanos de Baer que pertenecen a D (restringido a A ). El conjunto D( A ) es un plano afín de orden n² y se denomina plano derivado , o bien su completación proyectiva . [ 5 ]

Propiedades

  1. Los planos de Hall son planos de traslación .
  2. Todos los planos de Hall finitos del mismo orden son isomorfos.
  3. Los planos de Hall no son autoduales .
  4. Todos los planos de Hall finitos contienen subplanos de orden 2 ( subplanos de Fano ).
  5. Todos los planos de Hall finitos contienen subplanos de orden distinto de 2.
  6. Los planos de Hall son planos de André .

Plano de Hall de orden 9

El plano de Hall de orden 9 es el plano de Hall más pequeño y uno de los tres ejemplos más pequeños de un plano proyectivo finito no desarguesiano , junto con su dual y el plano de Hughes de orden 9. [ 6 ]

Construcción

Aunque generalmente se construye de la misma manera que otros planos de Hall, el plano de Hall de orden 9 fue descubierto antes por Oswald Veblen y Joseph Wedderburn en 1907. [ 7 ] Hay cuatro cuasicampos de orden nueve que se pueden usar para construir el plano de Hall de orden nueve. Tres de ellos son sistemas de Hall generados por los polinomios irreducibles f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x 2 − x − 1 o h ( x ) = x 2 + x − 1 . [ 8 ] El primero de ellos produce un cuasicampo asociativo, [ 9 ] es decir, un campo cercano , y fue en este contexto que Veblen y Wedderburn descubrieron el plano. Este plano se conoce a menudo como el plano de campo cercano de orden nueve.

Propiedades

Grupo de automorfismos

El plano de Hall de orden 9 es el único plano proyectivo, finito o infinito, que tiene clase de Lenz-Barlotti IVa.3. [ 10 ] Su grupo de automorfismos actúa sobre su línea de traslación (necesariamente única) de manera imprimitiva , teniendo 5 pares de puntos que el grupo preserva en términos de conjuntos; el grupo de automorfismos actúa como S 5 sobre estos 5 pares. [ 11 ]

Unidades

El plano de Hall de orden 9 admite cuatro unitales incrustados no equivalentes . [ 12 ] Dos de estos unitales surgen de las construcciones de Buekenhout [ 13 ] : uno es parabólico , intersectando la línea de traslación en un solo punto, mientras que el otro es hiperbólico , intersectando la línea de traslación en 4 puntos. Grüning [ 14 ] demostró que este último de los dos unitales también es incrustable en el plano de Hall dual. Otro de los unitales surge de la construcción de Barlotti y Lunardon. [ 15 ] El cuarto tiene un grupo de automorfismos de orden 8 isomorfo a los cuaterniones , y no forma parte de ninguna familia infinita conocida.

Notas

  1. ↑ Hall (1943)
  2. ↑ Si bien las construcciones proporcionarán un plano proyectivo de orden 4, el único plano de este tipo es desarguesiano y generalmente no se considera un plano de Hall.
  3. ↑ Hughes y Piper (1973 , pág. 183) 
  4. ↑ Hughes y Piper (1973 , págs. 202-218, Capítulo X. Derivación) 
  5. ↑ Hughes y Piper (1973 , pág. 203, Teorema 10.2) 
  6. ↑ Moorhouse, G. Eric (2017), Planos proyectivos de pequeño ordenEnumera explícitamente la estructura de incidencia de estos planos.
  7. ↑ Veblen, Oswald ; Wedderburn, Joseph HM (1907), "Geometrías no desarguesianas y no pascalianas" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 8 (3): 379–388 , doi : 10.2307/1988781 , JSTOR 1988781 
  8. ↑ Stevenson, Frederick W. (1972), Planos proyectivos , San Francisco: WH Freeman and Company, págs. 333–334 , ISBN  0-7167-0443-9
  9. ↑ D. Hughes y F. Piper (1973). Planos proyectivos . Springer-Verlag. pág. 186. ISBN  0-387-90044-6.
  10. ↑ Dembowski, Peter (1968). Geometrías finitas : Reimpresión de la edición de 1968. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pág. 126. ISBN   978-3-642-62012-6OCLC 851794158​​ 
  11. ^ André, Johannes (1 de diciembre de 1955). "Projektive Ebenen über Fastkörpern" . Mathematische Zeitschrift (en alemán). 62 (1): 137– 160. doi : 10.1007/BF01180628 . ISSN 1432-1823 . S2CID 122641224 .  
  12. ↑ Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1995-11-01). "Conjuntos de tipo ( m , n ) en los planos afín y proyectivo de orden nueve" . Designs, Codes and Cryptography . 6 (3): 229– 245. doi : 10.1007/BF01388477 . ISSN 1573-7586 . S2CID 43638589 .  
  13. ↑ Buekenhout, F. (julio de 1976). "Existencia de unitarios en planos de traslación finitos de orden q 2 con un núcleo de orden q " . Geometriae Dedicata . 5 (2). doi : 10.1007/BF00145956 . ISSN 0046-5755 . S2CID 123037502 .  
  14. ↑ Grüning, Klaus (1987-06-01). "Una clase de unidades de orden q que pueden incrustarse en dos planos diferentes de orden q 2 " . Journal of Geometry . 29 (1): 61– 77. doi : 10.1007/BF01234988 . ISSN 1420-8997 . S2CID 117872040 .  
  15. ^ Barlotti, A.; Lunardon, G. (1979). "Una clase de unidades en Δ-piani". Rivisita di Matematica della Università di Parma . 4 : 781–785 .

Referencias