Método de matriz de línea de transmisión

El método de la matriz de líneas de transmisión ( TLM ) es un método de discretización espacio-temporal para el cálculo de campos electromagnéticos . Se basa en la analogía entre el campo electromagnético y una malla de líneas de transmisión . El método TLM permite el cálculo de estructuras electromagnéticas tridimensionales complejas y ha demostrado ser uno de los métodos en el dominio del tiempo más potentes, junto con el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD). El TLM fue explorado por primera vez por el ingeniero eléctrico británico Raymond Beurle mientras trabajaba en English Electric Valve Company en Chelmsford . Tras ser nombrado profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad de Nottingham en 1963, fue coautor, junto con Peter B. Johns, del artículo «Solución numérica de problemas de dispersión bidimensionales mediante una matriz de líneas de transmisión» en 1971. ^[¹^]

Principio básico

Ejemplo de TLM 2D: un pulso de voltaje incidente en dos eventos de dispersión consecutivos.

El método TLM se basa en el modelo de Huygens de propagación y dispersión de ondas y en la analogía entre la propagación de campos y las líneas de transmisión. Por lo tanto, considera el dominio computacional como una malla de líneas de transmisión, interconectadas en nodos. En la figura de la derecha se considera un ejemplo simple de una malla TLM 2D con un pulso de voltaje de amplitud 1 V incidente en el nodo central. Este pulso se reflejará y transmitirá parcialmente de acuerdo con la teoría de líneas de transmisión. Si asumimos que cada línea tiene una impedancia característica $Z$ , entonces el pulso incidente ve efectivamente tres líneas de transmisión en paralelo con una impedancia total de $Z/3$ El coeficiente de reflexión y el coeficiente de transmisión vienen dados por

R={\frac {Z/3-Z}{Z/3+Z}}=-0,5

T={\frac {2(Z/3)}{Z/3+Z}}=0,5

La energía inyectada en el nodo por el pulso incidente y la energía total de los pulsos dispersos son, respectivamente,

E_{I}=vi\,\Delta t=1\left(1/Z\right)\Delta t=\Delta t/Z

E_{S}=\left[0.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+(-0.5)^{2}\right](\Delta t/Z)=\Delta t/Z

Por lo tanto, el modelo cumple con la ley de conservación de la energía .

El siguiente evento de dispersión excita los nodos vecinos según el principio descrito anteriormente. Se observa que cada nodo se convierte en una fuente secundaria de onda esférica. Estas ondas se combinan para formar la onda global. Esto concuerda con el principio de propagación de la luz de Huygens.

Para mostrar el esquema TLM utilizaremos la discretización temporal y espacial. El paso de tiempo se denotará con $\Delta t$ y los intervalos de discretización espacial con $\Delta x$ , $\Delta y$ y $\Delta z$ Por lo tanto, el tiempo y el espacio absolutos serán $t=k\,\Delta t$ , $x=l\,\Delta x$ , $y=m\,\Delta y$ , $z=n\,\Delta z$ , dónde $k=0,1,2,\ldots$ es el instante de tiempo y $m,n,l$ son las coordenadas de la celda. En caso $\Delta x=\Delta y=\Delta z$ el valor $\Delta l$ Se utilizará, que es la constante de red . En este caso se cumple lo siguiente:

\Delta t={\frac {\Delta l}{c_{0}}},

dónde $c_{0}$ es la velocidad de la luz en el espacio libre .

El nodo TLM 2D

La matriz de dispersión de un nodo TLM 2D

Si consideramos una distribución de campo electromagnético en la que los únicos componentes no nulos son $E_{x}$ , $E_{y}$ y $H_{z}$ (es decir, una distribución en modo TE), entonces las ecuaciones de Maxwell en coordenadas cartesianas se reducen a

{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {y}}}=\varepsilon {\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}

-{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {x}}}=\varepsilon {\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}

{\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {y}}}=-\mu {\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {t}}}

Podemos combinar estas ecuaciones para obtener

{\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {y}^{2}}}=\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {t}^{2}}}

La figura de la derecha presenta una estructura denominada nodo de serie . Describe un bloque de dimensiones espaciales. $\Delta x$ , $\Delta y$ y $\Delta z$ que consta de cuatro puertos. $L'$ y $C'$ son la inductancia y capacitancia distribuidas de las líneas de transmisión. Es posible demostrar que un nodo en serie es equivalente a una onda TE, más precisamente la corriente de malla I , las tensiones en la dirección x (puertos 1 y 3) y las tensiones en la dirección y (puertos 2 y 4) pueden relacionarse con los componentes del campo. $H_{z}$ , $E_{x}$ y $E_{y}$ . Si se consideran los voltajes en los puertos, $L_{x}=L_{y}$ y se cumple la polaridad de la figura anterior, entonces lo siguiente es válido.

-V_{1}+V_{2}+V_{3}-V_{4}=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}

dónde $\Delta x=\Delta y=\Delta l$ .

\left(V_{3}-V_{1}\right)-\left(V_{4}-V_{2}\right)=2L'\,\Delta l{\frac {\partial I}{\partial t}}

\left[E_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)\right]\,\Delta x-[E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)]\Delta y=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}

y dividiendo ambos lados por $\Delta x\Delta y$

{\frac {E_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)}{\Delta y}}-{\frac {E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)}{\Delta x}}=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}{\frac {1}{\Delta x\,\Delta y}}

Desde $\Delta x=\Delta y=\Delta z=\Delta l$ y sustituyendo $I=H_{z}\,\Delta z$ da

{\frac {\Delta E_{x}}{\Delta y}}-{\frac {\Delta E_{y}}{\Delta x}}=2L'{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}

Esto se reduce a las ecuaciones de Maxwell cuando $\Delta l\rightarrow 0$ .

De manera similar, utilizando las condiciones a través de los capacitores en los puertos 1 y 4, se puede demostrar que las otras dos ecuaciones de Maxwell correspondientes son las siguientes:

{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {y}}}=C'{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}

-{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {x}}}=C'{\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}

Con estos resultados, es posible calcular la matriz de dispersión de un nodo en derivación. El pulso de voltaje incidente en el puerto 1 en el paso de tiempo k se denota como $_{k}V_{1}^{i}$ Sustituyendo los cuatro segmentos de línea de la figura anterior por su equivalente de Thévenin, es posible demostrar que se cumple la siguiente ecuación para el pulso de voltaje reflejado:

_{k}V_{1}^{r}=0.5\left(_{k}V_{1}^{i}+_{k}V_{2}^{i}+_{k}V_{3}^{i}-_{k}V_{4}^{i}\right)

Si todas las ondas incidentes y todas las ondas reflejadas se recogen en un solo vector, entonces esta ecuación se puede escribir para todos los puertos en forma matricial:

_{k}\mathbf {V} ^{r}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {V} ^{i}

dónde $_{k}\mathbf {V} ^{i}$ y $_{k}\mathbf {V} ^{r}$ son los vectores de amplitud del pulso incidente y reflejado.

Para un nodo de serie, la matriz de dispersión S tiene la siguiente forma:

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{cccc}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{array}}\right]

Conexión entre nodos TLM

Para describir la conexión entre nodos adyacentes mediante una malla de nodos en serie, observe la figura de la derecha. Dado que el pulso incidente en el paso de tiempo k+1 en un nodo es el pulso disperso de un nodo adyacente en el paso de tiempo k , se derivan las siguientes ecuaciones de conexión:

_{k+1}V_{1}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{3}^{r}(x,y-1)

_{k+1}V_{2}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{4}^{r}(x-1,y)

_{k+1}V_{3}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{1}^{r}(x,y+1)

_{k+1}V_{4}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{2}^{r}(x+1,y)

Al modificar la matriz de dispersión ${\textbf {S}}$ Es posible modelar materiales heterogéneos y con pérdidas. Ajustando las ecuaciones de conexión, se pueden simular diferentes límites.

El nodo TLM de derivación

Además del nodo en serie, descrito anteriormente, también existe el nodo TLM en derivación , que representa una distribución de campo en modo TM. Los únicos componentes no nulos de dicha onda son $H_{x}$ , $H_{y}$ , y $E_{z}$ . Con consideraciones similares a las del nodo en serie, se puede derivar la matriz de dispersión del nodo en derivación.

Modelos TLM 3D

La mayoría de los problemas en electromagnetismo requieren una malla tridimensional. Dado que ahora contamos con estructuras que describen las distribuciones de campo TE y TM, intuitivamente parece posible definir una combinación de nodos en derivación y en serie que proporcione una descripción completa del campo electromagnético. Se han realizado intentos en este sentido, pero debido a la complejidad de las estructuras resultantes, han demostrado ser poco útiles. El uso de la analogía presentada anteriormente conduce al cálculo de las diferentes componentes del campo en puntos físicamente separados. Esto dificulta la definición de límites simples y eficientes. Johns proporcionó una solución a estos problemas en 1987, cuando propuso la estructura conocida como nodo condensado simétrico (SCN), que se muestra en la figura de la derecha. Consta de 12 puertos, ya que se deben asignar dos polarizaciones de campo a cada uno de los 6 lados de una celda de la malla.

La topología del SCN no puede analizarse utilizando circuitos equivalentes de Thévenin. Deben emplearse principios más generales de conservación de la energía y la carga .

Los campos eléctricos y magnéticos en los lados del nodo SCN número (l,m,n) en el instante de tiempo k pueden resumirse en vectores de 12 dimensiones.

_{k}\mathbf {E} _{l,m,n}=_{k}\left[E_{1},E_{2},\ldots ,E_{11},E_{12}\right]_{l,m,n}^{T}

_{k}\mathbf {H} _{l,m,n}=_{k}\left[H_{1},H_{2},\ldots ,H_{11},H_{12}\right]_{l,m,n}^{T}

Se pueden vincular con los vectores de amplitud incidente y dispersado mediante

_{k}\mathbf {a} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}}}{_{k}\mathbf {E} }_{l,m,n}+{\frac {\sqrt {Z_{F}}}{2}}{_{k}\mathbf {H} }_{l,m,n}

_{k}\mathbf {b} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}}}{_{k}\mathbf {E} }_{l,m,n}-{\frac {\sqrt {Z_{F}}}{2}}{_{k}\mathbf {H} }_{l,m,n}

dónde $Z_{F}={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$ es la impedancia del campo, $_{k}\mathbf {a} _{l,m,n}$ es el vector de las amplitudes de las ondas incidentes al nodo, y $_{k}\mathbf {b} _{l,m,n}$ es el vector de las amplitudes dispersas. La relación entre las ondas incidentes y dispersas viene dada por la ecuación matricial.

_{k}\mathbf {b} _{l,m,n}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}

Se puede calcular la matriz de dispersión S. Para el nodo condensado simétrico con puertos definidos como en la figura, se obtiene el siguiente resultado.

\mathbf {S} =\left[{\begin{array}{ccc}0&\mathbf {S} _{0}&\mathbf {S} _{0}^{T}\\\mathbf {S} _{0}^{T}&0&\mathbf {S} _{0}\\\mathbf {S} _{0}&\mathbf {S} _{0}^{T}&0\end{array}}\right]

donde se utilizó la siguiente matriz

\mathbf {S} _{0}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{cccc}0&0&1&-1\\0&0&-1&1\\1&1&0&0\\1&1&0&0\end{array}}\right]

La conexión entre diferentes SCN se realiza de la misma manera que para los nodos 2D.

Implementación de código abierto de 3D-TLM

El Instituto George Green para la Investigación Electromagnética (GGIEMR) ha publicado como código abierto una implementación eficiente de 3D-TLM, capaz de realizar cálculos paralelos mediante MPI , denominada GGITLM y disponible en línea. ^{[ 2 ]}

Referencias

↑ de Cogan, Donard (12 de diciembre de 2018). Técnicas de matriz de línea de transmisión (TLM) para aplicaciones de difusión . Routledge. ISBN 978-1-351-40712-0.
↑ "Instituto George Green para la Investigación Electromagnética - Código de simulación en el dominio del tiempo TLM" . Universidad de Nottingham - Instituto George Green para la Investigación Electromagnética . Universidad de Nottingham . Consultado el 23 de marzo de 2017 .

C. Christopoulos, Método de modelado de líneas de transmisión: TLM , Piscataway, NY, IEEE Press, 1995. ISBN 978-0-19-856533-8
Russer, P., Electromagnetismo, diseño de circuitos de microondas y antenas para ingeniería de comunicaciones, Segunda edición, Artec House, Boston, 2006, ISBN 978-1-58053-907-4
PB Johns y MO'Brien. "Uso del método de modelado de líneas de transmisión (tlm) para resolver redes concentradas no lineales", The Radio Electron and Engineer. 1980.
JL Herring, Avances en el método de modelado de líneas de transmisión para estudios de compatibilidad electromagnética, tesis doctoral , Universidad de Nottingham, 1993.
Mansour Ahmadian, Modelado de ultrasonido médico mediante matriz de líneas de transmisión (TLM) , tesis doctoral , Universidad de Edimburgo, 2001.