Árbol de Aronszajn

En teoría de conjuntos , un árbol de Aronszajn es un árbol de altura incontable sin ramas incontables ni niveles incontables. Por ejemplo, todo árbol de Suslin es un árbol de Aronszajn. De forma más general, para un cardinal κ , un árbol de κ -Aronszajn es un árbol de altura κ en el que todos los niveles tienen un tamaño menor que κ y todas las ramas tienen una altura menor que κ (por lo que los árboles de Aronszajn son lo mismo que${\displaystyle \aleph _{1}}$-Árboles Aronszajn). Reciben su nombre de Nachman Aronszajn , quien construyó un árbol Aronszajn en 1934; su construcción fue descrita por Kurepa (1935) .

Se dice que un cardinal κ para el cual no existen árboles de κ -Aronszajn tiene la propiedad de árbol (a veces se incluye la condición de que κ sea regular e incontable).

El lema de Kőnig afirma que${\displaystyle \aleph _{0}}$-Los árboles Aronszajn no existen.

La existencia de árboles de Aronszajn (${\displaystyle =\aleph _{1}}$-Aronszajn trees) fue demostrado por Nachman Aronszajn , e implica que el análogo del lema de Kőnig no se cumple para árboles no numerables.

La existencia de${\displaystyle \aleph _{2}}$-Los árboles de Aronszajn son indecidibles en ZFC: más precisamente, la hipótesis del continuo implica la existencia de un${\displaystyle \aleph _{2}}$-Árbol de Aronszajn, y Mitchell y Silver demostraron que es consistente (en relación con la existencia de un cardinal débilmente compacto ) que no${\displaystyle \aleph _{2}}$-Existen árboles de Aronszajn.

Jensen demostró que V = L implica que hay un árbol κ -Aronszajn (de hecho, un árbol κ - Suslin ) para cada cardinal sucesor infinito κ . 

Cummings y Foreman (1998) demostraron (utilizando un gran axioma cardinal) que es consistente que no${\displaystyle \aleph _{n}}$-Los árboles de Aronszajn existen para cualquier n finito distinto de  1.

Si κ es débilmente compacto, entonces no existen árboles de κ -Aronszajn. Por el contrario, si κ es inaccesible y no existen árboles de κ -Aronszajn, entonces κ es débilmente compacto.

Un árbol de Aronszajn se llama especial si hay una función f del árbol a los racionales tal que f ( x )  < f ( y ) siempre que x < y . El axioma de Martin MA(   ${\displaystyle \aleph _{1}}$) implica que todos los árboles de Aronszajn son especiales, una proposición a veces abreviada como EATS . El axioma de forzamiento propio más fuerte implica la afirmación más fuerte de que para cualesquiera dos árboles de Aronszajn hay un conjunto de niveles club tal que las restricciones de los árboles a este conjunto de niveles son isomorfas, lo que dice que en algún sentido cualesquiera dos árboles de Aronszajn son esencialmente isomorfos ( Abraham y Shelah 1985 ) . Por otro lado, es consistente que existan árboles de Aronszajn no especiales, y esto también es consistente con la hipótesis del continuo generalizado más la hipótesis de Suslin ( Schlindwein 1994 ) .

Se puede construir un árbol Aronszajn especial de la siguiente manera.

Los elementos del árbol son ciertos conjuntos bien ordenados de números racionales con supremo racional o −∞. Si x e y son dos de estos conjuntos, definimos x ≤ y (en el orden del árbol) para indicar que x es un segmento inicial del conjunto ordenado y . Para cada ordinal numerable α, escribimos U _α para los elementos del árbol de nivel α, de modo que los elementos de U _α son ciertos conjuntos de racionales con tipo de orden α. El árbol especial de Aronszajn T es la unión de los conjuntos U _α para todos los ordinales numerables α.   

Construimos los niveles numerables U _α mediante inducción transfinita sobre α de la siguiente manera, comenzando con el conjunto vacío como U ₀ :

• Si α  +  1 es un sucesor, entonces U _{α +1} consiste en todas las extensiones de una secuencia x en U _α por un racional mayor que sup x . U _{α  +  1} es numerable ya que consiste en una cantidad numerable de extensiones de cada uno de los elementos numerables en U _α .
• Si α es un límite, sea T _α el árbol de todos los puntos de nivel menor que α . Para cada x en T _α y para cada número racional q mayor que sup x , elija una rama de nivel α de T _α que contenga x con supremo q . Entonces U _α consta de estas ramas. U _α es numerable ya que consta de una cantidad numerable de ramas para cada uno de los elementos numerables en T _α .

La función f ( x ) =  sup x es racional o −∞, y tiene la propiedad de que si x < y entonces f ( x ) < f ( y ). Cualquier rama en T es numerable ya que f mapea las ramas inyectivamente a −∞ y a los racionales. T es no numerable ya que tiene un nivel no vacío U _α para cada ordinal numerable α que conforma el primer ordinal no numerable . Esto prueba que T es un árbol de Aronszajn especial.     

Esta construcción se puede utilizar para construir árboles κ -Aronszajn siempre que κ sea un sucesor de un cardinal regular y se cumpla la hipótesis del continuo generalizado, reemplazando los números racionales por un conjunto η más general .

• Árbol Kurepa
• Línea Aronszajn

• Abraham, Uri; Shelah, Saharon (1985), "Tipos de isomorfismo de árboles de Aronszajn", Israel Journal of Mathematics , 50 : 75–113 , doi : 10.1007/BF02761119
• Cummings, James; Foreman, Matthew (1998), "La propiedad del árbol", Advances in Mathematics , 133 (1): 1–32 , doi : 10.1006/aima.1997.1680 , MR 1492784 
• Kunen, Kenneth (2011), Teoría de conjuntos , Estudios de lógica, vol.  34, Londres: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl 1262.03001 
• Kurepa, G. (1935), "Ensembles ordonnés et ramifiés" , Publ. matemáticas. Univ. Belgrado , 4 : 1– 138, JFM 61.0980.01 , Zbl 0014.39401  
• Schlindwein, Chaz (1994), "Consistencia de la hipótesis de Suslin, un árbol de Aronszajn no especial y GCH", Journal of Symbolic Logic , 59 (1), The Journal of Symbolic Logic, vol. 59, n.º 1: 1–29 , doi : 10.2307/2275246 , JSTOR 2275246 
• Schlindwein, Ch. (2001) [1994], "Árbol de Aronszajn" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Schlindwein, Chaz (1989), "Especial no especial${\displaystyle \aleph _{1}}$-árboles", Teoría de conjuntos y sus aplicaciones , 1401 : 160–166 , doi : 10.1007/BFb0097338
• Todorčević, S. (1984), "Árboles y conjuntos linealmente ordenados", Manual de topología de conjuntos , Ámsterdam: North-Holland, págs. 235–293 , MR 0776625  

• PlanetMath