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Articulo de referencia

Copo de nieve de Koch

El copo de nieve de Koch en su séptima iteración Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch Las primeras siete iteraciones en animación Acercamiento a un vértice ...

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El copo de nieve de Koch en su séptima iteración
Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch
Las primeras siete iteraciones en animación
Acercamiento a un vértice de la curva de Koch
Al acercar la imagen a un punto que no es un vértice, la curva puede girar.
Koch anti-copo de nieve
Primeras cuatro iteraciones
Sexta iteración

El copo de nieve de Koch (también conocido como curva de Koch , estrella de Koch o isla de Koch [ 1 ] [ 2 ] es una curva fractal y uno de los primeros fractales que se han descrito. Se basa en la curva de Koch, que apareció en un artículo de 1904 titulado "Sobre una curva continua sin tangentes, construible a partir de geometría elemental" [ 3 ] del matemático sueco Helge von Koch .

El copo de nieve de Koch se puede construir iterativamente, en una secuencia de etapas. La primera etapa es un triángulo equilátero, y cada etapa sucesiva se forma añadiendo curvas hacia afuera a cada lado de la etapa anterior, creando triángulos equiláteros más pequeños. Las áreas encerradas por las etapas sucesivas en la construcción del copo de nieve convergen a85{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}veces el área del triángulo original, mientras que los perímetros de las etapas sucesivas aumentan sin límite. En consecuencia, el copo de nieve encierra un área finita, pero tiene un perímetro infinito .

El copo de nieve de Koch se construyó como ejemplo de una curva continua en la que es imposible trazar una línea tangente a cualquier punto. A diferencia de la función de Weierstrass anterior , cuya demostración era puramente analítica, el copo de nieve de Koch se creó para que pudiera representarse geométricamente en su momento, de modo que esta propiedad también pudiera apreciarse mediante la "intuición ingenua". [ 3 ]

Origen e historia

En su artículo de 1904, von Koch aplica esta construcción recursiva a un segmento de línea , obteniendo la curva que forma13{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}del límite del copo de nieve de Koch. Sin embargo, el copo de nieve completo no aparece en el artículo original publicado en 1904, [ 3 ] ni en la memoria extendida de 1906. [ 4 ] El copo de nieve de Koch como curva cerrada podría deberse al matemático estadounidense Edward Kasner . [ 5 ] [ 6 ]

Construcción

El copo de nieve de Koch se puede construir comenzando con un triángulo equilátero y luego alterando recursivamente cada segmento de línea de la siguiente manera:

  1. divide el segmento de línea en tres segmentos de igual longitud.
  2. Dibuja un triángulo equilátero que tenga como base el segmento central del paso 1 y apunte hacia afuera.
  3. elimina el segmento de línea que es la base del triángulo del paso 2.

La primera iteración de este proceso produce el contorno de un hexagrama .

El copo de nieve de Koch es el límite al que se llega al seguir indefinidamente los pasos anteriores. La curva de Koch, descrita originalmente por Helge von Koch, se construye utilizando solo uno de los tres lados del triángulo original. En otras palabras, tres curvas de Koch forman un copo de nieve de Koch.

De manera similar, se puede crear una representación de una superficie nominalmente plana basada en la curva de Koch segmentando repetidamente cada línea en un patrón de dientes de sierra de segmentos con un ángulo dado. [ 7 ]

Propiedades

Perímetro del copo de nieve de Koch

La longitud de arco del copo de nieve de Koch es infinita. Para demostrarlo, observamos que cada iteración de la construcción es una aproximación poligonal de la curva. Por lo tanto, basta con demostrar que el perímetro de las iteraciones es ilimitado.

El perímetro del copo de nieve despuésnorte{\displaystyle n}iteraciones, en términos de la longitud del lados{\displaystyle s}del triángulo original, es

3s⋅(43)norte,{\displaystyle 3s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,,}

que diverge hasta el infinito.

Área del copo de nieve de Koch

El área total del copo de nieve despuésnorte{\displaystyle n}iteraciones es, en términos del área originalA{\displaystyle A}del triángulo original, es la serie geométrica

A(1+34∑k=1norte(49)k)=A15(8−3(49)norte).{\displaystyle A\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=A\,{\frac {1}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}

Tomando el límite comonorte{\displaystyle n}a medida que se acerca al infinito, el área del copo de nieve de Koch es85{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}del área del triángulo original. Expresado en términos de la longitud del lado.s{\displaystyle s}del triángulo original, esto es: [ 8 ]2s235.{\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}

Sólido de revolución

El volumen del sólido de revolución del copo de nieve de Koch alrededor de un eje de simetría del triángulo equilátero inicial de lado unitario es113135π.{\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .}[ 9 ]

Otras propiedades

El copo de nieve de Koch se autorreplica con seis copias más pequeñas que rodean una copia más grande en el centro. Por lo tanto, es un irrep-tile irrep-7 (véase Rep-tile para más información).

La dimensión de Hausdorff de la curva de Koch esd=ln⁡4ln⁡3≈1.26186{\displaystyle d={\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186}. Esto es mayor que el de una línea (=1{\displaystyle =1}) pero menor que la de la curva de llenado espacial de Peano (=2{\displaystyle =2}).

La medida de Hausdorff de la curva de KochS{\displaystyle S}Satisface0,032<Hd(S)<0,6{\displaystyle 0.032<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.6}, pero se desconoce su valor exacto. Se conjetura que0,528<Hd(S)<0,590{\displaystyle 0.528<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.590}. [ 10 ]

Es imposible trazar una línea tangente a cualquier punto de la curva.

Representación como una curva de De Rham

La curva de Koch surge como un caso especial de una curva de De Rham . Las curvas de De Rham son transformaciones del espacio de Cantor en el plano, generalmente dispuestas de manera que forman una curva continua. Cada punto de una curva de De Rham continua corresponde a un número real en el intervalo unitario. En la curva de Koch, las puntas del copo de nieve corresponden a los racionales diádicos : cada punta puede etiquetarse de forma única con un racional diádico distinto.

Teselación del plano

Teselación por dos tamaños de copo de nieve de Koch

Es posible teselar el plano con copias de copos de nieve de Koch de dos tamaños diferentes. Sin embargo, no es posible realizar tal teselación utilizando únicamente copos de nieve de un solo tamaño. Dado que cada copo de nieve de Koch en la teselación puede subdividirse en siete copos de nieve más pequeños de dos tamaños diferentes, también es posible encontrar teselaciones que utilicen más de dos tamaños a la vez. [ 11 ] Los copos de nieve de Koch y los anticopos de nieve de Koch del mismo tamaño pueden utilizarse para cubrir el plano.

Secuencia Thue-Morse y gráficos de tortuga

Un gráfico de tortuga es la curva que se genera si un autómata se programa con una secuencia. Si se utilizan los miembros de la secuencia Thue-Morse para seleccionar los estados del programa:

  • Sit(norte)=0{\displaystyle t(n)=0}, avanzar una unidad,
  • Sit(norte)=1{\displaystyle t(n)=1}, girar en sentido contrario a las agujas del reloj un ángulo deπ3{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}radianes o 60 grados,

La curva resultante converge al copo de nieve de Koch.

Representación como sistema de Lindenmayer

La curva de Koch se puede expresar mediante el siguiente sistema de reescritura ( sistema de Lindenmayer ):

Alfabeto  : F
Constantes  : +, −
Axioma  : F
Reglas de producción  : F → F+F--F+F

Aquí, F significa "avanzar", - significa "girar a la derecha 60°" y + significa "girar a la izquierda 60°".

Para crear el copo de nieve de Koch, se usaría F--F--F (un triángulo equilátero) como axioma.

Variantes de la curva de Koch

Siguiendo el concepto de von Koch, se diseñaron varias variantes de la curva de Koch, considerando ángulos rectos ( cuadrática ), otros ángulos ( Cesàro ), círculos y poliedros y sus extensiones a dimensiones superiores (Sphereflake y Kochcube, respectivamente).

Los cuadrados pueden utilizarse para generar curvas fractales similares. Partiendo de un cuadrado unitario y añadiendo a cada lado en cada iteración un cuadrado con una dimensión equivalente a un tercio de los cuadrados de la iteración anterior, se puede demostrar que tanto la longitud del perímetro como el área total están determinadas por progresiones geométricas. La progresión para el área converge a2{\displaystyle 2}mientras que la progresión para el perímetro diverge al infinito, de modo que como en el caso del copo de nieve de Koch, tenemos un área finita delimitada por una curva fractal infinita. [ 18 ] [ 19 ] El área resultante llena un cuadrado con el mismo centro que el original, pero el doble de área, y rotado porπ4{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}radianes, el perímetro tocándose a sí mismo pero sin superponerse nunca.

El área total cubierta en elnorte{\displaystyle n}La iteración es: Anorte=15+45∑k=0norte(59)kdonaciónlímitenorte→∞Anorte=2,{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}

mientras que la longitud total del perímetro es: PAGnorte=4(53)nortea,{\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,} que se aproxima al infinito comonorte{\displaystyle n}aumenta.

Funcionalización

Gráfica de la función de Koch

Además de la curva, el artículo de Helge von Koch que estableció la curva de Koch muestra una variación de la misma como ejemplo de una función continua pero no diferenciable en ningún punto , que en aquel entonces era posible representar geométricamente. A partir de la línea recta base, representada como AB, la gráfica se puede dibujar aplicando recursivamente lo siguiente a cada segmento de línea:

  • Divide el segmento de línea ( XY ) en tres partes de igual longitud, separadas por los puntos C y E.
  • Dibuja una línea DM , donde M es el punto medio de CE , y DM es perpendicular a la base inicial de AB , con una longitud dedomi32{\displaystyle {\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}}.
  • Dibuja las líneas CD y DE y borra las líneas CE y DM .

Se puede demostrar que cada punto de AB converge a una sola altura.y=ϕ(incógnita){\displaystyle y=\phi (x)}se define como la distancia de ese punto a la base inicial, entoncesϕ(incógnita){\displaystyle \phi (x)}como función es continua en todas partes y diferenciable en ninguna parte. [ 3 ]

Aplicaciones

Debido a que el copo de nieve de Koch tiene un área finita pero un límite infinitamente largo, sirve como modelo para diseños que requieren maximizar el perímetro o la longitud de la superficie dentro de un espacio limitado. En ingeniería de antenas , la incorporación de un diseño fractal de tipo Koch aumenta el perímetro del material que transmite o recibe radiación electromagnética , lo que permite la construcción de antenas compactas adecuadas para configuraciones de circuitos confinadas o complejas . [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] En ingeniería acústica , se ha probado una metasuperficie acústica inspirada en el copo de nieve de Koch para la difusión de sonido de banda ancha en cabinas de automóviles. [ 23 ] La geometría del copo de nieve de Koch también se ha aplicado para mejorar el rendimiento de la transferencia de calor en intercambiadores de calor de doble tubo . [ 24 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Addison, Paul S. (1997). Fractales y caos: Un curso ilustrado . Instituto de Física. pág.  19. ISBN 0-7503-0400-6.
  2. ↑ Lauwerier, Hans (1991). Fractales: Figuras geométricas repetidas infinitamente . Traducido por Gill-Hoffstädt, Sophia. Princeton University Press. pág. 36. ISBN  0-691-02445-6Mandelbrot la denominó isla de Koch.
  3. ^ von Koch, Helge (24 de noviembre de 1904 ) . "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une building géométrique élémentaire" . Arkiv för matematik, astronomi och fysik (en francés). 1 : 681– 702. JFM 35.0387.02 . Consultado el 29 de abril de 2026 , a través de la Biblioteca de la Universidad Central de Iași. 
  4. ↑ Von Koch, Helge (1906). "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de surees questions de la théorie des courbes planes" . Acta Mathematica (en francés). 30 : 145–174.doi : 10.1007 / BF02418570 . ISSN 0001-5962 . 
  5. ↑ Demichel, Yann (13 de septiembre de 2024). "¿Quién inventó la curva de copo de nieve de von Koch?" . The American Mathematical Monthly . 131 (8): 662– 668. arXiv : 2308.15093 . doi : 10.1080/00029890.2024.2363737 . ISSN 0002-9890 . 
  6. ↑ Kasner, Edward; Newman, James R. (2001). Matemáticas y la imaginación . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-41703-5.
  7. ↑ Alonso-Marroquín, F.; Huang, P.; Hanaor, D.; Flores-Johnson, E.; Proust, G.; Gan, Y.; Shen, L. (2015). "Fricción estática entre superficies fractales rígidas" (PDF) . Revisión física E. 92 (3) 032405. Código bibliográfico : 2015PhRvE..92c2405A . doi : 10.1103/PhysRevE.92.032405 . hdl : 2123/13835 . PMID 26465480 . — Estudio de superficies fractales mediante curvas de Koch.
  8. ↑ "Copo de nieve de Koch" . ecademy.agnesscott.edu .
  9. ↑ McCartney, Mark (16 de abril de 2020). "El área, el centroide y el volumen de revolución de la curva de Koch" . Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 52 (5): 782–786 . doi : 10.1080/0020739X.2020.1747649 . ISSN 0020-739X . S2CID 218810213 .  
  10. ↑ Jia, Baoguo (1 de junio de 2007). "Límites de la medida de Hausdorff de la curva de Koch". Matemáticas Aplicadas y Computación . 190 (1): 559– 565. doi : 10.1016/j.amc.2007.01.046 .
  11. ↑ Burns, Aidan (1994). "Teselaciones fractales". Mathematical Gazette . 78 (482): 193– 6. doi : 10.2307/3618577 . JSTOR 3618577. S2CID 126185324 .  .
  12. ↑ Paul S. Addison, Fractales y caos: Un curso ilustrado , pág. 19, CRC Press, 1997 ISBN 0849384435.
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  17. ↑ Appignanesi, Richard; ed. (2006). Introducción a la geometría fractal . Icono. ISBN 978-1840467-13-0.
  18. ↑ Marotta, P. (2026). "Un marco de parámetros de escala para el perímetro y el área en fractales planares autosimilares". Journal of High School Science : 281–283 . arXiv : 2605.19128 . doi : 10.64336/001c.162173 . S2CID 288239512 . 
  19. ↑ Demostrado por James McDonald en una conferencia pública en la Universidad KAUST el 27 de enero de 2013. "KAUST | Académicos | Programa de Enriquecimiento de Invierno" . Archivado del original el 12 de enero de 2013. Consultado el 29 de enero de 2013 .Consultado el 29 de enero de 2013.
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  • (2000) "Curva de von Koch", Laboratorio de computación de efg en Wayback Machine (archivado el 20 de julio de 2017)
  • Copo de nieve de Koch por Edward Bole (Lazarus src)
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  • Weisstein, Eric W. "Copo de nieve de Koch" . MathWorld . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
  • Una animación WebGL que muestra la construcción de la superficie de Koch. Archivada el 16 de septiembre de 2020 en Wayback Machine , tchaumeny.github.io . Recuperada el 23 de septiembre de 2019.
  • "Análisis matemático de la curva de Koch y la curva de Koch cuadrática" (PDF) . Archivado del original (pdf) el 26 de abril de 2012. Consultado el 22 de noviembre de 2011 .