funciones trigonométricas

En matemáticas , las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares , funciones angulares o funciones goniométricas ) ^{[ 1 ]} son ​​funciones reales que relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con la razón entre las longitudes de dos de sus lados. Se utilizan ampliamente en todas las ciencias relacionadas con la geometría , como la navegación , la mecánica de sólidos , la mecánica celeste , la geodesia y muchas otras. Son algunas de las funciones periódicas más simples y se utilizan con frecuencia para estudiar fenómenos periódicos mediante el análisis de Fourier .

Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son el seno , el coseno y la tangente .Sus recíprocas son, respectivamente, la cosecante , la secante y la cotangente , funciones que se utilizan con menos frecuencia. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene una función inversa correspondiente y un análogo entre las funciones hiperbólicas .

Las definiciones más antiguas de funciones trigonométricas, relacionadas con triángulos rectángulos, las definen únicamente para ángulos agudos . Para extender las funciones seno y coseno a funciones cuyo dominio es toda la recta real , se suelen utilizar definiciones geométricas que emplean el círculo unitario estándar (es decir, un círculo con radio de 1 unidad); entonces, el dominio de las demás funciones es la recta real con algunos puntos aislados excluidos. Las definiciones modernas expresan las funciones trigonométricas como series infinitas o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Esto permite extender el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo , y el dominio de las demás funciones trigonométricas al plano complejo con algunos puntos aislados excluidos.

Convencionalmente, en las fórmulas se utiliza una abreviatura del nombre de cada función trigonométrica como su símbolo. Hoy en día, las versiones más comunes de estas abreviaturas son " sin " para seno, " cos " para coseno, " tan " o " tg " para tangente, " sec " para secante, " csc " o " cosec " para cosecante y " cot " o " ctg " para cotangente. Históricamente, estas abreviaturas se utilizaron por primera vez en oraciones en prosa para indicar segmentos de línea particulares o sus longitudes relacionadas con un arco de un círculo arbitrario, y más tarde para indicar razones de longitudes, pero a medida que el concepto de función se desarrolló en los siglos XVII y XVIII, comenzaron a considerarse como funciones de medidas de ángulos con valores de números reales y se escribieron con notación funcional , por ejemplo, sin( x ) . Los paréntesis todavía se omiten a menudo para reducir la complejidad, pero a veces son necesarios; por ejemplo, la expresión${\displaystyle \sin x+y}$normalmente se interpretaría como significa${\displaystyle (\sin x)+y,}$por lo que se requieren paréntesis para expresar${\displaystyle \sin(x+y).}$

Un número entero positivo que aparece como superíndice después del símbolo de la función denota exponenciación , no composición de funciones . Por ejemplo${\displaystyle \sin ^{2}x}$y${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$denotar${\displaystyle (\sin x)^{2},}$no${\displaystyle \sin(\sin x).}$Esto difiere de la notación funcional general (históricamente posterior) en la que${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

Por el contrario, el superíndice${\displaystyle -1}$Se usa comúnmente para denotar la función inversa , no la recíproca . Por ejemplo${\displaystyle \sin ^{-1}x}$y${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$denota la función trigonométrica inversa escrita alternativamente${\displaystyle \arcsin x\,.}$La ecuación${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$implica${\displaystyle \sin \theta =x,}$no${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$En este caso, el superíndice podría considerarse como denotando una función compuesta o iterada , pero los superíndices negativos distintos de${\displaystyle {-1}}$no son de uso común.

Si se conoce el ángulo agudo θ , entonces cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo θ es semejante entre sí. Esto significa que la razón entre las longitudes de dos lados cualesquiera depende únicamente de θ . Por lo tanto, estas seis razones definen seis funciones de θ , que son las funciones trigonométricas. En las siguientes definiciones, la hipotenusa es la longitud del lado opuesto al ángulo recto, el cateto opuesto representa el lado opuesto al ángulo θ dado , y el cateto adyacente representa el lado entre el ángulo θ y el ángulo recto. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Se pueden utilizar diversas técnicas mnemotécnicas para recordar estas definiciones.

En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es un ángulo recto, es decir, 90 ° o π / 2 radianes . Por lo tanto ,${\displaystyle \sin(\theta )}$y${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$representan la misma razón y, por lo tanto, son iguales. Esta identidad y las relaciones análogas entre las demás funciones trigonométricas se resumen en la siguiente tabla.

En aplicaciones geométricas, el argumento de una función trigonométrica suele ser la medida de un ángulo . Para ello, cualquier unidad angular resulta conveniente. Una unidad común son los grados , en los que un ángulo recto es de 90° y un giro completo es de 360° (especialmente en matemáticas elementales ).

Sin embargo, en cálculo y análisis matemático , las funciones trigonométricas se consideran generalmente de forma más abstracta como funciones de números reales o complejos , en lugar de ángulos. De hecho, las funciones seno y coseno pueden definirse para todos los números complejos en términos de la función exponencial , mediante series de potencias ^{[ 5 ]} , o como soluciones de ecuaciones diferenciales dados valores iniciales particulares ^{[ 6 ]} ( véase más adelante ), sin referencia a ninguna noción geométrica. Las otras cuatro funciones trigonométricas ( tangente , cotangente , secante , cosecante ) pueden definirse como cocientes y recíprocos de seno y coseno , excepto cuando el denominador es cero. Se puede demostrar, para argumentos reales, que estas definiciones coinciden con definiciones geométricas elementales si el argumento se considera un ángulo en radianes ^{[ 5 ]} . Además, estas definiciones dan como resultado expresiones simples para las derivadas e integrales indefinidas de las funciones trigonométricas ^{[ 7 ]} . Por lo tanto, en contextos que van más allá de la geometría elemental, los radianes se consideran la unidad matemáticamente natural para describir medidas de ángulos.

Cuando se emplean radianes (rad), el ángulo se da como la longitud del arco del círculo unitario subtendido por él: el ángulo que subtiende un arco de longitud 1 en el círculo unitario es 1 rad (≈ 57,3°), ^{[ 8 ]} y un giro completo (360°) es un ángulo de 2 π (≈ 6,28) rad. ^{[ 9 ]} Dado que el radián es adimensional, es decir, 1 rad = 1, el símbolo de grado también puede considerarse como un factor constante matemático tal que 1° = π /180 ≈ 0,0175.

Todas las funciones trigonométricas del ángulo θ (theta) se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O.

Las funciones trigonométricas se aplican sobre un círculo unitario.

Función seno en el círculo unitario (arriba) y su gráfica (abajo).

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir como valores de coordenadas de puntos en el plano euclidiano que están relacionados con el círculo unitario , que es el círculo de radio uno centrado en el origen O de este sistema de coordenadas. Mientras que las definiciones de triángulos rectángulos permiten la definición de las funciones trigonométricas para ángulos entre 0 y${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$En radianes (90°), las definiciones del círculo unitario permiten extender el dominio de las funciones trigonométricas a todos los números reales positivos y negativos.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {L}}}$sea ​​el rayo obtenido al girar un ángulo θ la mitad positiva del eje x ( rotación en sentido antihorario para${\displaystyle \theta >0,}$y rotación en sentido horario para${\displaystyle \theta <0}$). Este rayo interseca el círculo unitario en el punto${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$El rayo${\displaystyle {\mathcal {L}},}$extendido a una línea si es necesario, interseca la línea de ecuación${\displaystyle x=1}$en el punto${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$y la línea de ecuación${\displaystyle y=1}$en el punto${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$La línea tangente al círculo unitario en el punto A es perpendicular a${\displaystyle {\mathcal {L}},}$y se cruza con los ejes y y x en puntos${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$y${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$Las coordenadas de estos puntos dan los valores de todas las funciones trigonométricas para cualquier valor real arbitrario de θ de la siguiente manera.

Las funciones trigonométricas coseno y seno se definen, respectivamente, como los valores de las coordenadas x e y del punto A. Es decir, ${\textstyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }}$y${\textstyle \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$^{[ 10 ]}

En el rango${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$, esta definición coincide con la definición de triángulo rectángulo, al tomar que el triángulo rectángulo tiene radio unitario OA como hipotenusa . Y dado que la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$Se mantiene para todos los puntos${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$En el círculo unitario, esta definición de coseno y seno también satisface la identidad pitagórica . $${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$$

Las demás funciones trigonométricas también se pueden encontrar a lo largo del círculo unitario; en conjunto, son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &=x_{\mathrm {A} }\\\sin \theta &=y_{\mathrm {A} }\\\tan \theta &=y_{\mathrm {B} },\ x_{\mathrm {B} }=1\\\cot \theta &=x_{\mathrm {C} },\ y_{\mathrm {C} }=1\\\csc \theta &=y_{\mathrm {D} },\ x_{\mathrm {D} }=0\\\quad \sec \theta &=x_{\mathrm {E} },\ y_{\mathrm {E} }=0\\\end{aligned}}}$$

Aplicando la identidad pitagórica y los métodos de demostración geométrica, se puede demostrar fácilmente que estas definiciones coinciden con las definiciones de tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno, es decir $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta &={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\\\cot \theta &={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\\\sec \theta &={\frac {1}{\cos \theta }}\\\csc \theta &={\frac {1}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$$

Dado que una rotación de un ángulo de${\displaystyle \pm 2\pi }$no cambia la posición o el tamaño de una figura, los puntos A , B , C , D y E son los mismos para dos ángulos cuya diferencia es un múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi }$Por lo tanto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas con período${\displaystyle 2\pi }$. Es decir, las igualdades ${\textstyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)}$y${\textstyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$ se cumple para cualquier ángulo θ y cualquier entero k . Lo mismo ocurre con las otras cuatro funciones trigonométricas. Al observar el signo y la monotonicidad de las funciones seno, coseno, cosecante y secante en los cuatro cuadrantes, se puede demostrar que${\displaystyle 2\pi }$es el valor más pequeño para el cual son periódicos (es decir,${\displaystyle 2\pi }$es el período fundamental de estas funciones). Sin embargo, después de una rotación de un ángulo${\displaystyle \pi }$, los puntos B y C ya regresan a su posición original, de modo que la función tangente y la función cotangente tienen un período fundamental de${\displaystyle \pi }$. Es decir, las igualdades ${\textstyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )}$y${\textstyle \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$ se cumple para cualquier ángulo θ y cualquier entero k .

Las expresiones algebraicas para algunos ángulos notables son las siguientes, comenzando con el ángulo cero y terminando con el ángulo recto :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0&=\sin 0^{\circ }&&={\frac {\sqrt {0}}{2}}&&=0\\\sin {\frac {\pi }{6}}&=\sin 30^{\circ }&&={\frac {\sqrt {1}}{2}}&&={\frac {1}{2}}\\\sin {\frac {\pi }{4}}&=\sin 45^{\circ }&&={\frac {\sqrt {2}}{2}}&&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\sin {\frac {\pi }{3}}&=\sin 60^{\circ }&&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\sin {\frac {\pi }{2}}&=\sin 90^{\circ }&&={\frac {\sqrt {4}}{2}}&&=1\end{aligned}}}$$

Escribir los numeradores como raíces cuadradas de enteros no negativos consecutivos, con un denominador de 2, proporciona una manera fácil de recordar los valores. ^{[ 12 ]}

Por lo general, no existen expresiones tan sencillas para otros ángulos que sean múltiplos racionales de un ángulo recto.

• Para un ángulo que, medido en grados, es múltiplo de tres, los valores trigonométricos exactos del seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas. Estos valores del seno y el coseno pueden, por lo tanto, calcularse con regla y compás .
• Para un ángulo de grado entero, el seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas y cúbicas de un número complejo no real . La teoría de Galois permite demostrar que, si el ángulo no es múltiplo de 3°, aparecen raíces cúbicas no reales en la definición de su seno y coseno.
• Para un ángulo que, expresado en grados, es un número racional , el seno y el coseno son números algebraicos , que pueden expresarse en términos de raíces enésimas . Esto se debe a que los grupos de Galois de los polinomios ciclotómicos son cíclicos .
• Para un ángulo que, expresado en grados, no es un número racional, entonces o bien el ángulo, o bien el seno y el coseno, son números trascendentales . Este es un corolario del teorema de Baker , demostrado en 1966.
• Si el seno de un ángulo es un número racional, entonces el coseno no necesariamente lo es, y viceversa. Sin embargo, si la tangente de un ángulo es racional, entonces tanto el seno como el coseno del ángulo doble serán racionales.

G. H. Hardy noted in his 1908 work A Course of Pure Mathematics that the definition of the trigonometric functions in terms of the unit circle is not satisfactory, because it depends implicitly on a notion of angle that can be measured by a real number.^[13] Thus in modern analysis, trigonometric functions are usually constructed without reference to geometry.

Various ways exist in the literature for defining the trigonometric functions in a manner suitable for analysis; they include:

• Using the "geometry" of the unit circle, which requires formulating the arc length of a circle (or area of a sector) analytically.^[13]
• By a power series, which is particularly well-suited to complex variables.^[13][14]
• By using an infinite product expansion.^[13]
• By inverting the inverse trigonometric functions, which can be defined as integrals of algebraic or rational functions.^[13]
• As solutions of a differential equation.^[15]

Euler's formula and the exponential function

Euler's formula relates sine and cosine to the exponential function: $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$$ This formula is commonly considered for real values of x, but it remains true for all complex values.

Proof: Let ${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$ and ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$ One has ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$ for j = 1, 2. The quotient rule implies thus that ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$. Therefore, ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$ is a constant function, which equals 1, as ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$ This proves the formula.

One has $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$$

Solving this linear system in sine and cosine, one can express them in terms of the exponential function: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$$

When x is real, this may be rewritten as $${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$$

Most trigonometric identities can be proved by expressing trigonometric functions in terms of the complex exponential function by using above formulas, and then using the identity ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$ for simplifying the result.

Euler's formula can also be used to define the basic trigonometric function directly, as follows, using the language of topological groups.^[27] The set ${\displaystyle U}$ of complex numbers of unit modulus is a compact and connected topological group, which has a neighborhood of the identity that is homeomorphic to the real line. Therefore, it is isomorphic as a topological group to the one-dimensional torus group ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$, via an isomorphism $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$ In simple terms, ${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$, and this isomorphism is unique up to taking complex conjugates.

For a nonzero real number ${\displaystyle a}$ (the base), the function ${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$ defines an isomorphism of the group ${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$. The real and imaginary parts of ${\displaystyle e(t/a)}$ are the cosine and sine, where ${\displaystyle a}$ is used as the base for measuring angles. For example, when ${\displaystyle a=2\pi }$, we get the measure in radians, and the usual trigonometric functions. When ${\displaystyle a=360}$, we get the sine and cosine of angles measured in degrees.

Note that ${\displaystyle a=2\pi }$ is the unique value at which the derivative $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$ becomes a unit vector with positive imaginary part at ${\displaystyle t=0}$. This fact can, in turn, be used to define the constant ${\displaystyle 2\pi }$.

The sine and cosine functions are periodic, with period ${\displaystyle 2\pi }$, which is the smallest positive period: $${\displaystyle \sin(z+2\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+2\pi )=\cos(z).}$$ Consequently, the cosecant and secant also have ${\displaystyle 2\pi }$ as their period.

The functions sine and cosine also have semiperiods ${\displaystyle \pi }$, and $${\displaystyle \sin(z+\pi )=-\sin(z),\quad \cos(z+\pi )=-\cos(z)}$$ and consequently $${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z).}$$ Also, $${\displaystyle \sin(x+\pi /2)=\cos(x),\quad \cos(x+\pi /2)=-\sin(x)}$$ (see Complementary angles).

The function ${\displaystyle \sin(z)}$ has a unique zero (at ${\displaystyle z=0}$) in the strip ${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$. The function ${\displaystyle \cos(z)}$ has the pair of zeros ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ in the same strip. Because of the periodicity, the zeros of sine are $${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ There zeros of cosine are $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ All of the zeros are simple zeros, and both functions have derivative ${\displaystyle \pm 1}$ at each of the zeros.

The tangent function ${\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)}$ has a simple zero at ${\displaystyle z=0}$ and vertical asymptotes at ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$, where it has a simple pole of residue ${\displaystyle -1}$. Again, owing to the periodicity, the zeros are all the integer multiples of ${\displaystyle \pi }$ and the poles are odd multiples of ${\displaystyle \pi /2}$, all having the same residue. The poles correspond to vertical asymptotes $${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\tan(x)=-\infty .}$$

The cotangent function ${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)}$ has a simple pole of residue 1 at the integer multiples of ${\displaystyle \pi }$ and simple zeros at odd multiples of ${\displaystyle \pi /2}$. The poles correspond to vertical asymptotes $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}$$

Many identities interrelate the trigonometric functions. This section contains the most basic ones; for more identities, see List of trigonometric identities. These identities may be proved geometrically from the unit-circle definitions or the right-angled-triangle definitions (although, for the latter definitions, care must be taken for angles that are not in the interval [0, π/2], see Proofs of trigonometric identities). For non-geometrical proofs using only tools of calculus, one may use directly the differential equations, in a way that is similar to that of the above proof of Euler's formula. One can also use Euler's formula for expressing all trigonometric functions in terms of complex exponentials and using properties of the exponential function.

The trigonometric functions are periodic, and hence not injective, so strictly speaking, they do not have an inverse function. However, on each interval on which a trigonometric function is monotonic, one can define an inverse function, and this defines inverse trigonometric functions as multivalued functions. To define a true inverse function, one must restrict the domain to an interval where the function is monotonic, and is thus bijective from this interval to its image by the function. The common choice for this interval, called the set of principal values, is given in the following table. As usual, the inverse trigonometric functions are denoted with the prefix "arc" before the name or its abbreviation of the function.

The notations sin⁻¹, cos⁻¹, etc. are often used for arcsin and arccos, etc. When this notation is used, inverse functions could be confused with multiplicative inverses. The notation with the "arc" prefix avoids such a confusion, though "arcsec" for arcsecant can be confused with "arcsecond".

Just like the sine and cosine, the inverse trigonometric functions can also be expressed in terms of infinite series. They can also be expressed in terms of complex logarithms.

Si bien el estudio temprano de la trigonometría se remonta a la antigüedad, las funciones trigonométricas tal como se usan hoy en día se desarrollaron en la Edad Media. La función de cuerda fue definida por Hiparco de Nicea (180-125  a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165  d. C.). Las funciones de seno y versino (1 − coseno) están estrechamente relacionadas con las funciones jyā y koti-jyā utilizadas en la astronomía india del período Gupta ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), a través de la traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^{[ 34 ]} (Véase la tabla de senos de Aryabhata ).

Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^{[ 35 ]} Al-Khwārizmī (c. 780–850) elaboró ​​tablas de senos y cosenos. Alrededor del año 860, Habash al-Hasib al-Marwazi definió la tangente y la cotangente, y elaboró ​​sus tablas. ^{[ 36 ] [ 37 ]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) definió las funciones recíprocas de la secante y la cosecante, y elaboró ​​la primera tabla de cosecantes para cada grado desde 1° hasta 90°. ^{[ 37 ]} Las funciones trigonométricas fueron estudiadas más tarde por matemáticos como Omar Khayyám , Bhāskara II , Nasir al-Din al-Tusi , Jamshīd al-Kāshī (siglo XIV), Ulugh Beg (siglo XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus y el alumno de Rheticus, Valentinus Otho .

Madhava de Sangamagrama (c. 1400) realizó importantes avances en el análisis de funciones trigonométricas en términos de series infinitas . ^{[ 38 ]} (Véase la serie de Madhava y la tabla de senos de Madhava ).

La función tangente fue introducida en Europa por Giovanni Bianchini en 1467 en tablas trigonométricas que creó para apoyar el cálculo de coordenadas estelares. ^{[ 39 ]}

Los términos tangente y secante fueron introducidos por primera vez por el matemático danés Thomas Fincke en su libro Geometria rotundi (1583). ^{[ 40 ]}

El matemático francés del siglo XVII Albert Girard hizo el primer uso publicado de las abreviaturas seno , coseno y tangente en su libro Trigonometría . ^{[ 41 ]}

En un artículo publicado en 1682, Gottfried Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^{[ 42 ]} Aunque se definen como razones de los lados de un triángulo rectángulo , y por lo tanto parecen ser funciones racionales , el resultado de Leibniz estableció que en realidad son funciones trascendentales de su argumento. La tarea de asimilar funciones circulares en expresiones algebraicas fue realizada por Euler en su Introducción al análisis del infinito (1748). Su método consistió en demostrar que las funciones seno y coseno son series alternas formadas a partir de los términos pares e impares respectivamente de la serie exponencial . Presentó la " fórmula de Euler ", así como abreviaturas casi modernas ( sin. , cos. , tan. , cot. , sec. y cosec. ). ^{[ 34 ]}

Algunas funciones eran comunes históricamente, pero ahora se usan con poca frecuencia, como la cuerda , la versina (que aparece en las tablas más antiguas ^{[ 34 ]} ), la haversina , la coversina , ^{[ 43 ]} la semitangente (tangente de medio ángulo) y la exsecante . La lista de identidades trigonométricas muestra más relaciones entre estas funciones.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {crd} \theta &=2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {vers} \theta &=1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {hav} \theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {vers} \theta =\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {covers} \theta &=1-\sin \theta =\operatorname {vers} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -\theta {\bigr )},\\[5mu]\operatorname {exsec} \theta &=\sec \theta -1.\end{aligned}}}$$

Históricamente, las funciones trigonométricas se combinaban a menudo con logaritmos en funciones compuestas como el seno logarítmico, el coseno logarítmico, la secante logarítmica, la cosecante logarítmica, la tangente logarítmica y la cotangente logarítmica. ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

La palabra sine deriva ^{[ 48 ]} del latín sinus , que significa "curva; bahía", y más específicamente "el pliegue colgante de la parte superior de una toga ", "el pecho de una prenda", que fue elegida como traducción de lo que se interpretó como la palabra árabe jaib , que significa "bolsillo" o "pliegue" en las traducciones del siglo XII de obras de Al-Battani y al-Khwārizmī al latín medieval . ^{[ 49 ]} La elección se basó en una lectura errónea de la forma escrita árabe jyb ( جيب ), que a su vez se originó como una transliteración del sánscrito jīvā , que junto con su sinónimo jyā (el término sánscrito estándar para sine) se traduce como "cuerda de arco", siendo a su vez adoptada del griego antiguo χορδή "cuerda". ^{[ 50 ]}

La palabra tangente proviene del latín tangens , que significa "que toca", ^{[ 51 ]} ya que la línea toca el círculo de radio unitario, mientras que secante proviene del latín secans —"que corta"— ya que la línea corta el círculo. ^{[ 52 ]}

El prefijo " co- " (en "coseno", "cotangente", "cosecante") se encuentra en el Canon triangulorum de Edmund Gunter (1620), que define el coseno como una abreviatura del seno del complemento (seno del ángulo complementario ) y procede a definir las cotangentes de manera similar. ^{[ 53 ] [ 54 ]}