División (matemáticas)

Un disco que contiene 20 manzanas está dividido en cuatro sectores, cada uno de los cuales contiene 5 manzanas. — 20 / 4 = 5, ilustrado aquí con manzanas. Esto se dice verbalmente: "Veinte dividido entre cuatro es igual a cinco".

La división es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética . Las otras operaciones son la suma , la resta y la multiplicación . Lo que se divide se llama dividendo , que se divide entre el divisor , y el resultado se llama cociente .

En un nivel elemental, la división de dos números naturales es, entre otras posibles interpretaciones , el proceso de calcular la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro. ^{[ 1 ]}^{: 7} Por ejemplo, si 20 manzanas se dividen equitativamente entre 4 personas, cada una recibe 5 manzanas (ver imagen).

La división con resto o división euclidiana de dos números naturales proporciona un cociente entero , que es la cantidad de veces que el segundo número está completamente contenido en el primero, y un resto , que es la parte del primer número que queda cuando, al calcular el cociente, no se puede asignar ninguna otra porción completa del tamaño del segundo número. Por ejemplo, si se dividen 21 manzanas entre 4 personas, cada una recibe 5 manzanas y queda 1 manzana.

Para que la división siempre produzca un número en lugar de un cociente y un resto, los números naturales deben extenderse a números racionales o reales . En estos sistemas de números ampliados , la división es la operación inversa de la multiplicación, es decir, $a = c / b$ significa $a \times b = c$ , siempre que $b$ no sea cero; la división por cero no está definida. ^{[ a ]}^{[ 4 ]}^{: 246} En el ejemplo de las 21 manzanas, cada persona recibiría 5 manzanas y un cuarto de manzana, sin que sobrara ninguna.

Ambas formas de división aparecen en diversas estructuras algebraicas , distintas maneras de definir la estructura matemática. Aquellas en las que se define una división euclidiana (con resto) se denominan dominios euclidianos e incluyen anillos de polinomios en una indeterminada (que definen la multiplicación y la suma sobre fórmulas de una sola variable). Aquellas en las que se define una división (con un único resultado) por todos los elementos distintos de cero se denominan cuerpos y anillos de división . En un anillo, los elementos por los que siempre es posible la división se denominan unidades (por ejemplo, 1 y -1 en el anillo de los enteros). Otra generalización de la división a estructuras algebraicas es el grupo cociente , en el que el resultado de la "división" es un grupo en lugar de un número.

Introducción

La forma más sencilla de ver la división es en términos de cociente y partición : desde la perspectiva del cociente, $20 / 5$ significa la cantidad de 5 que se deben sumar para obtener 20. En términos de partición, $20 / 5$ significa el tamaño de cada una de las 5 partes en las que se divide un conjunto de tamaño 20. Por ejemplo, 20 manzanas se dividen en cinco grupos de cuatro manzanas, lo que significa que "veinte dividido entre cinco es igual a cuatro". Esto se denota como $20 / 5 = 4$ , o $⁠ 20 / 5 ⁠ = 4.$ [ ^{2 ] En} el ejemplo, 20 es el dividendo, 5 es el divisor y 4 es el cociente.

A diferencia de las demás operaciones básicas, al dividir números naturales a veces hay un resto que no se divide exactamente en dividendos. Por ejemplo, $10 / 3$ deja un resto de 1, ya que 10 no es múltiplo de 3. A veces este resto se añade al cociente como parte fraccionaria , de modo que $10 / 3$ es igual a $3$ $+$ $1$ $/$ $3$ $o$ $3,33...$ , pero en el contexto de $la$ división entera , donde los números no tienen parte fraccionaria, el resto se mantiene por separado (o excepcionalmente, se descarta o se redondea ). ^[⁵^] Cuando el resto se mantiene como fracción, da como resultado un número racional . El conjunto de todos los números racionales se crea extendiendo los enteros con todos los resultados posibles de las divisiones de enteros.

A diferencia de la multiplicación y la suma, la división no es conmutativa , lo que significa que $a / b$ no siempre es igual a $b / a$ . ^{[ 6 ]} La división tampoco es, en general, asociativa , lo que significa que al dividir varias veces, el orden de la división puede cambiar el resultado. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, $(24 / 6) / 2 = 2$ , pero $24 / (6 / 2) = 8$ (donde el uso de paréntesis indica que las operaciones dentro de los paréntesis se realizan antes que las operaciones fuera de los paréntesis).

La división se considera tradicionalmente asociativa por la izquierda . Es decir, si hay varias divisiones seguidas, el orden de cálculo va de izquierda a derecha: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\;\neq \;a/(b/c)=(a\times c)/b.

La división es distributiva por la derecha sobre la suma y la resta, en el sentido de que

{\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.

Esto es igual para la multiplicación , ya que $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ Sin embargo, la división no es distributiva por la izquierda , ya que

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

Por ejemplo

{\frac {12}{2+4}}={\frac {12}{6}}=2,

pero

{\frac {12}{2}}+{\frac {12}{4}}=6+3=9.

Esto es diferente al caso de la multiplicación, que es distributiva por la izquierda y por la derecha, y por lo tanto distributiva .

Notación

La división se suele representar en álgebra y ciencias colocando el dividendo sobre el divisor con una línea horizontal, también llamada barra de fracción , entre ellos. Por ejemplo, " a dividido entre b " se puede escribir como:

{\frac {a}{b}}

que también se puede leer en voz alta como "dividir a entre b " o " a sobre b ". Una forma de expresar la división en una sola línea es escribir el dividendo (o numerador), luego una barra inclinada y luego el divisor (o denominador), como sigue:

a/b

Esta suele ser la forma preferida de expresar una división simple en texto corrido . También es la forma habitual de especificar la división en la mayoría de los lenguajes de programación , ya que se puede escribir fácilmente como una simple secuencia de caracteres ASCII . (Además, es la única notación utilizada para los objetos cociente en álgebra abstracta ). Algunos programas matemáticos , como MATLAB y GNU Octave , permiten escribir los operandos en orden inverso utilizando la barra invertida como operador de división:

b\backslash a

Una variación tipográfica a medio camino entre estas dos formas utiliza una barra inclinada , pero eleva el dividendo y baja el divisor:

{}^{a}\!/{}_{b}

Cualquiera de estas formas puede usarse para mostrar una fracción . Una fracción es una expresión de división, a menudo donde tanto el dividendo como el divisor (generalmente llamados numerador y denominador ) son lo más simples posible y no implica que la división deba evaluarse más a fondo.

Otra forma de mostrar la división es usar el signo de división (÷, también conocido como óbelo, aunque el término tiene significados adicionales), común en aritmética, de esta manera:

a\div b

Esta forma es poco frecuente, excepto en aritmética elemental. La norma ISO 80000-2-10.6 establece que no debe utilizarse. (El símbolo ÷ se utiliza para indicar resta o rango numérico en algunos países europeos, por lo que su uso puede malinterpretarse. ^{[ 10 ]} ) Este signo de división también se utiliza solo para representar la operación de división en sí, como por ejemplo, en una tecla de una calculadora . El óbelo fue introducido por el matemático suizo Johann Rahn en 1659 en Teutsche Algebra . ^{[ 11 ]}^{: 211}

En algunos países de habla no inglesa , se utiliza el signo de dos puntos para indicar división: ^{[ 12 ]}

a:b

Esta notación fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en sus Acta eruditorum de 1684. ^{[ 11 ]}^{: 295} Leibniz no estaba de acuerdo con tener símbolos separados para la razón y la división. Sin embargo, en el uso inglés, los dos puntos se restringen a expresar el concepto relacionado de razones .

Una notación $b$ ⟌ $a$ – también representada como $b)a$ o $b{\overline {)a}}$ – se utiliza como parte de la división larga para denotar $a$ dividido por $b$ . No está del todo claro cuándo apareció por primera vez esta notación, ya que evolucionó con el tiempo. ^{[ 13 ]} Al menos un paréntesis se encuentra en uso desde 1773, y quizás antes. ^{[ 14 ]}

Computación

Métodos manuales

La división se introduce a menudo mediante la noción de "repartir" un conjunto de objetos, por ejemplo, un montón de caramelos, en varias porciones iguales. Distribuir los objetos de a pocos en cada ronda de reparto a cada porción da lugar a la idea de " agrupar " , una forma de división en la que se restan repetidamente múltiplos del divisor al dividendo.

Al permitir restar más múltiplos de los que permite el resto parcial en una etapa determinada, también se pueden desarrollar métodos más flexibles, como la variante bidireccional de la segmentación.

De forma más sistemática y eficiente, se pueden dividir dos números enteros con lápiz y papel mediante la división corta , si el divisor es pequeño, o la división larga , si es mayor. Si el dividendo tiene una parte fraccionaria (expresada como una fracción decimal ), se puede continuar el procedimiento más allá de las unidades hasta donde se desee. Si el divisor tiene una parte fraccionaria, se puede replantear el problema moviendo la coma decimal hacia la derecha en ambos números hasta que el divisor no tenga parte fraccionaria, lo que puede facilitar la resolución del problema (por ejemplo, 10/2.5 = 100/25 = 4).

La división se puede calcular con un ábaco . ^{[ 15 ]}

Las tablas de logaritmos se pueden usar para dividir dos números, restando los logaritmos de ambos números y luego buscando el antilogaritmo del resultado.

La división se puede calcular con una regla de cálculo alineando el divisor en la escala C con el dividendo en la escala D. El cociente se encuentra en la escala D, alineado con el índice izquierdo de la escala C. Sin embargo, el usuario debe recordar la posición de la coma decimal.

Por computadora

Las calculadoras y computadoras modernas realizan la división mediante métodos similares a la división larga o mediante métodos más rápidos; consulte el algoritmo de división .

En aritmética modular (módulo un número primo) y para números reales , los números distintos de cero tienen un inverso multiplicativo . En estos casos, una división por $x$ se puede calcular como el producto por el inverso multiplicativo de $x$ . Este enfoque suele asociarse con los métodos más rápidos de la aritmética computacional.

División en diferentes contextos

división euclidiana

La división euclidiana es la formulación matemática del resultado del proceso usual de división de enteros. Afirma que, dados dos enteros, a , el dividendo , y b , el divisor , tales que b ≠ 0, existen enteros únicos q , el cociente , y r , el resto, tales que a = bq + r y 0 ≤ r < | b | , donde | b | denota el valor absoluto de b .

De números enteros

Los números enteros no son cerrados bajo la división. Además de que la división por cero no está definida, el cociente no es un número entero a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor. Por ejemplo, 26 no se puede dividir entre 11 para obtener un número entero. En tal caso, se utiliza uno de los cinco métodos siguientes:

Digamos que 26 no se puede dividir entre 11; la división se convierte en una función parcial .
Proporcione una respuesta aproximada como un número de coma flotante . Este es el enfoque que se suele adoptar en los cálculos numéricos .
Da la respuesta como una fracción que represente un número racional , por lo que el resultado de la división de 26 entre 11 es ${\tfrac {26}{11}}$ (o como un número mixto , por lo tanto ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$ ) Normalmente, la fracción resultante debe simplificarse: el resultado de la división de 52 entre 22 también es ${\tfrac {26}{11}}$ Esta simplificación se puede realizar factorizando el máximo común divisor .
Da la respuesta como un cociente entero y un resto , así que ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ resto }}4.$ Para diferenciarla del caso anterior, esta división, cuyo resultado son dos números enteros, a veces se denomina división euclidiana , porque es la base del algoritmo euclidiano .
Da el cociente entero como respuesta, así que ${\tfrac {26}{11}}=2.$ Esta es la función piso aplicada al caso 2 o 3. A veces se la llama división entera y se denota por "//".

La división de números enteros en un programa informático requiere especial atención. Algunos lenguajes de programación tratan la división entera como en el caso 5 anterior, por lo que el resultado es un número entero. Otros lenguajes, como MATLAB y cualquier sistema de álgebra computacional, devuelven un número racional como resultado, como en el caso 3 anterior. Estos lenguajes también proporcionan funciones para obtener los resultados de los demás casos, ya sea directamente o a partir del resultado del caso 3.

Los nombres y símbolos utilizados para la división entera incluyen div , / y \ . ^[¹⁶^] Las definiciones varían con respecto a la división entera cuando el dividendo o el divisor es negativo: el redondeo puede ser hacia cero (la llamada división T) o hacia −∞ (división F); pueden ocurrir estilos menos comunes; consulte la operación de módulo para obtener más detalles.

En ocasiones, las reglas de divisibilidad pueden utilizarse para determinar rápidamente si un número entero divide exactamente a otro.

De números racionales

El resultado de dividir dos números racionales es otro número racional cuando el divisor no es 0. La división de dos números racionales p / q y r / s se puede calcular como ${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.$

Las cuatro cantidades son números enteros, y solo p puede ser 0. Esta definición garantiza que la división es la operación inversa de la multiplicación .

De números reales

La división de dos números reales da como resultado otro número real (cuando el divisor es distinto de cero). Se define de tal manera que a / b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.

De números complejos

La división de dos números complejos (cuando el divisor es distinto de cero) da como resultado otro número complejo, que se obtiene utilizando el conjugado del denominador: ${p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.$

Este proceso de multiplicar y dividir por $r-is$ Se denomina «realización» o (por analogía) racionalización . Las cuatro cantidades p , q , r , s son números reales, y r y s no pueden ser ambos iguales a 0.

La división de números complejos expresados en forma polar es más sencilla que la definición anterior: ${pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.$

Nuevamente, las cuatro cantidades p , q , r , s son números reales, y r puede no ser 0.

De polinomios

Se puede definir la división de polinomios en una variable sobre un cuerpo . Entonces, como en el caso de los enteros, se obtiene un resto. Véase división euclidiana de polinomios y, para cálculos manuales, división larga de polinomios o división sintética .

De matrices

Se puede definir una operación de división para matrices. La forma habitual de hacerlo es definir A / B = AB ⁻¹ , donde B ⁻¹ denota la inversa de B , pero es mucho más común escribir AB ⁻¹ explícitamente para evitar confusiones. Una división elemento a elemento también se puede definir en términos del producto de Hadamard .

División izquierda y derecha

Dado que la multiplicación de matrices no es conmutativa , también se puede definir una división por la izquierda , o división con barra invertida, como $A \ B = A −1 B.$ Para que esta definición sea correcta, no es necesario que exista $B -1 , pero sí que exista$ $A -1$ . Para evitar confusiones, en este contexto, la división definida como $A / B = AB -1$ se denomina a veces división por la derecha o división con barra invertida .

Con la división izquierda y derecha definida de esta manera, $A / (BC)$ no es en general lo mismo que $(A / B) / C$ , ni $( AB ) \ C$ es lo mismo que $A \ ( B \ C )$ . Sin embargo, se cumple que $A / (BC) = (A / C) / B$ y $( AB ) \ C = B \ ( A \ C )$ .

Pseudoinversa

Para evitar problemas cuando $A -1$ y/o $B -1$ no existen, la división también puede definirse como multiplicación por la pseudoinversa . Es decir, $A / B = AB +$ y $A \ B = A + B$ , donde $A +$ y $B +$ denotan las pseudoinversas de $A$ y $B$ .

Álgebra abstracta

En álgebra abstracta , dado un magma con operación binaria ∗ (que podría denominarse nominalmente multiplicación), la división izquierda de b entre a (escrita $a \ b$ ) se define típicamente como la solución x de la ecuación $a * x = b$ , si esta existe y es única. De manera similar, la división derecha de b entre a (escrita $b / a$ ) es la solución y de la ecuación $y * a = b$ . La división en este sentido no requiere que ∗ tenga ninguna propiedad particular (como conmutatividad, asociatividad o un elemento neutro). Un magma para el cual existen tanto $a \ b$ como $b / a$ y son únicos para todo a y todo b (la propiedad del cuadrado latino ) es un cuasigrupo . En un cuasigrupo, la división en este sentido siempre es posible, incluso sin un elemento neutro y, por lo tanto, sin inversos.

La "división" en el sentido de "cancelación" puede realizarse en cualquier magma mediante un elemento con la propiedad de cancelación . Ejemplos de ello son las álgebras de matrices , las álgebras de cuaterniones y los cuasigrupos. En un dominio integral , donde no todos los elementos necesitan tener un inverso, la división por un elemento cancelativo a puede realizarse en elementos de la forma ab o ca mediante cancelación izquierda o derecha, respectivamente. Si un anillo es finito y cada elemento no nulo es cancelativo, entonces, mediante la aplicación del principio del palomar , cada elemento no nulo del anillo es invertible, y la división por cualquier elemento no nulo es posible. Para saber cuándo las álgebras (en el sentido técnico) tienen una operación de división, consulte la página sobre álgebras de división . En particular, la periodicidad de Bott puede utilizarse para demostrar que cualquier álgebra de división normada real debe ser isomorfa a los números reales R , a los números complejos C , a los cuaterniones H o a los octoniones O.

Cálculo

La derivada del cociente de dos funciones viene dada por la regla del cociente : ${\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.$

División por cero

La división de cualquier número entre cero en la mayoría de los sistemas matemáticos no está definida, ya que cero multiplicado por cualquier número finito siempre da como resultado un producto igual a cero. ^{[ 17 ]} Introducir dicha expresión en la mayoría de las calculadoras produce un mensaje de error. Sin embargo, en ciertas estructuras matemáticas, la división entre cero es posible, como en el anillo cero y en estructuras algebraicas como las ruedas . ^{[ 18 ]} En estas estructuras, el significado de la división difiere del de las definiciones tradicionales.

Véase también

Notas

↑ La división por cero puede definirse en algunas circunstancias, ya sea extendiendo los números reales a la recta real extendida o a la recta real proyectiva extendida , o cuando ocurre como límite de divisiones por números que tienden a 0. Por ejemplo: $lim x \to 0 sin x / x = 1.$ ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Referencias

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Enlaces externos

División Planetmath
División en un ábaco japonés, seleccionada de Abacus: Mystery of the Bead
Técnicas chinas de división corta en un Suan Pan

[4] La división por cero puede definirse en algunas circunstancias, ya sea extendiendo los números reales a la recta real extendida o a la recta real proyectiva extendida , o cuando ocurre como límite de divisiones por números que tienden a 0. Por ejemplo: $lim x \to 0 sin x / x = 1.$ ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

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