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entropía de Tsallis

En física, la entropía de Tsallis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs . Es proporcional a la esperanza del logaritmo q de una distribución. Historia...

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En física, la entropía de Tsallis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs . Es proporcional a la esperanza del logaritmo q de una distribución.

Historia

El concepto fue introducido en 1988 por Constantino Tsallis [ 1 ] como base para generalizar la mecánica estadística estándar y es idéntico en forma a la α-entropía estructural de Havrda-Charvát , [ 2 ] introducida en 1967 dentro de la teoría de la información .

Definición

Dado un conjunto discreto de probabilidades{pagi}{\displaystyle \{p_{i}\}}con la condición∑ipagi=1{\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}, yq{\displaystyle q}cualquier número real , la entropía de Tsallis se define como

Sq(pagi)=k⋅1q−1(1−∑ipagiq),{\displaystyle S_{q}({p_{i}})=k\cdot {\frac {1}{q-1}}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),}

dóndeq{\displaystyle q}es un parámetro real a veces llamado índice entrópico yk{\displaystyle k}una constante positiva.

En el límite comoq→1{\displaystyle q\to 1}, se recupera la entropía de Boltzmann-Gibbs habitual, a saber:

SBG=S1(pag)=−k∑ipagiln⁡pagi,{\displaystyle S_{\text{BG}}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i},}

donde uno se identificak{\displaystyle k}con la constante de BoltzmannkB{\displaystyle k_{B}}.

Para distribuciones de probabilidad continuas, definimos la entropía como

Sq[pag]=1q−1(1−∫pag(incógnita)qdincógnita),{\displaystyle S_{q}[p]={\frac {1}{q-1}}\left(1-\int p(x)^{q}\,dx\right),}

dóndepag(incógnita){\displaystyle p(x)}es una función de densidad de probabilidad .

q -exponencial

Las generalizaciones de la familia exponencial mediante la función q -exponencial se han explorado ampliamente en la física estadística y la geometría de la información . En la literatura sobre aprendizaje automático, la familia q -exponencial ha despertado interés debido a su flexibilidad para modelar el comportamiento de las colas ajustando el parámetro q .

La función q -exponencial y su inversa, el q -logaritmo, se definen de la siguiente manera:

expq⁡(incógnita)={exp⁡(incógnita),si q=1[1+(1−q)incógnita]+11−q,si q≠1{\displaystyle \exp _{q}(x)={\begin{cases}\exp(x),&{\text{if }}q=1\\\left[1+(1-q)x\right]_{+}^{\frac {1}{1-q}},&{\text{if }}q\neq 1\end{cases}}}

lnq⁡(incógnita)={ln⁡(incógnita),si q=1incógnita1−q−11−q,si q≠1{\displaystyle \ln _{q}(x)={\begin{cases}\ln(x),&{\text{if }}q=1\\{\frac {x^{1-q}-1}{1-q}},&{\text{if }}q\neq 1\end{cases}}}

dónde[z]+:=máximo{z,0}{\displaystyle [z]_{+}:=\max\{z,0\}}.

Estas funciones recuperan las funciones exponenciales y logarítmicas estándar en el límiteq→1{\displaystyle q\to 1}, es decir,límiteq→1expq⁡(incógnita)=exp⁡(incógnita){\displaystyle \lim _{q\to 1}\exp _{q}(x)=\exp(x)}ylímiteq→1lnq⁡(incógnita)=ln⁡(incógnita){\displaystyle \lim _{q\to 1}\ln _{q}(x)=\ln(x)}. Al igual que la exponencial ordinaria,expq⁡(incógnita){\displaystyle \exp _{q}(x)}es monótona y convexa paraq>0{\displaystyle q>0}y satisfaceexpq⁡(0)=1{\displaystyle \exp _{q}(0)=1}Sin embargo, una distinción clave es queexpq⁡(a+b)≠expq⁡(a)⋅expq⁡(b){\displaystyle \exp _{q}(a+b)\neq \exp _{q}(a)\cdot \exp _{q}(b)}a menos queq=1{\displaystyle q=1}.

La entropía de Tsallis se puede definir utilizando el logaritmo q :

Sq(pagi)=k∑ipagilnq⁡1pagi.{\displaystyle S_{q}({p_{i}})=k\sum _{i}p_{i}\ln _{q}{\frac {1}{p_{i}}}.}

entropía cruzada

El complemento de entropía cruzada es la esperanza del q-logaritmo negativo con respecto a una segunda distribución,r{\displaystyle r}. Entonces1q−1(1−∑ipagiq⋅ripagi){\textstyle {\tfrac {1}{q-1}}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\cdot {\tfrac {r_{i}}{p_{i}}}\right)}.

Usandot=q−1{\displaystyle t=q-1}, esto puede estar escrito(1−mir[pagt])/t{\displaystyle (1-E_{r}[p^{t}])/t}Para los más pequeñost{\displaystyle t}, valorespagit{\displaystyle p_{i}^{t}}todos tienden a1{\displaystyle 1}.

El límiteq→1{\displaystyle q\to 1}calcula el negativo de la pendiente demir[pagt]{\displaystyle E_{r}[p^{t}]}ent=0{\displaystyle t=0}y uno se recupera−∑iriln⁡pagi{\displaystyle -{\textstyle \sum _{i}}r_{i}\ln p_{i}}. Entonces, para un pequeño fijot{\displaystyle t}, elevar esta expectativa está relacionado con la maximización de la verosimilitud logarítmica .

Propiedades

Identidades

Un logaritmo puede expresarse en términos de una pendiente a través deddincógnitapagincógnita=pagincógnitaln⁡pag{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}p^{x}=p^{x}\ln p}lo que da como resultado la siguiente fórmula para la entropía estándar: S=−límiteincógnita→1ddincógnita∑ipagiincógnita=−∑ipagiln⁡pagi{\displaystyle S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\tfrac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}=-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}\ln p_{i}} Asimismo, la entropía discreta de Tsallis satisface Sq=−límiteincógnita→1Dq∑ipagiincógnita{\displaystyle S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}} donde D q es la q-derivada con respecto a x .

No aditividad

Dados dos sistemas independientes A y B , para los cuales la densidad de probabilidad conjunta satisface

pag(A,B)=pag(A)pag(B),{\displaystyle p(A,B)=p(A)p(B),\,}

La entropía de Tsallis de este sistema satisface

Sq(A,B)=Sq(A)+Sq(B)+(1−q)Sq(A)Sq(B).{\displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,}

A partir de este resultado, es evidente que el parámetro|1−q|{\displaystyle |1-q|}es una medida de la desviación de la aditividad. En el límite cuando q = 1,

S(A,B)=S(A)+S(B),{\displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B),\,}

Esto es lo que se espera de un sistema aditivo. A esta propiedad a veces se la denomina "pseudoaditividad".

Familias exponenciales

Muchas distribuciones comunes, como la distribución normal , pertenecen a las familias exponenciales estadísticas . La entropía de Tsallis para una familia exponencial se puede escribir [ 3 ] como

HqT(pagF(incógnita;θ))=11−q(miF(qθ)−qF(θ)mipag[mi(q−1)k(incógnita)]−1){\displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left(e^{F(q\theta )-qF(\theta )}E_{p}{\left[e^{(q-1)k(x)}\right]}-1\right)} donde F es el logaritmo normalizador y k es el término que indica la medida portadora. Para la distribución normal multivariada, el término k es cero y, por lo tanto, la entropía de Tsallis tiene una forma cerrada.

Aplicaciones

La entropía de Tsallis se ha utilizado junto con el principio de máxima entropía para derivar la distribución de Tsallis .

En la literatura científica , se ha debatido la relevancia física de la entropía de Tsallis. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] Sin embargo, desde el año 2000, se ha identificado un espectro cada vez más amplio de sistemas complejos naturales, artificiales y sociales que confirman las predicciones y consecuencias que se derivan de esta entropía no aditiva, como la mecánica estadística no extensiva, [ 7 ] que generaliza la teoría de Boltzmann-Gibbs.

Entre las diversas verificaciones experimentales y aplicaciones disponibles actualmente en la literatura, merecen una mención especial las siguientes:

  1. La distribución que caracteriza el movimiento de átomos fríos en redes ópticas disipativas predicha en 2003 [ 8 ] y observada en 2006. [ 9 ]
  2. Las fluctuaciones del campo magnético en el viento solar permitieron el cálculo del triplete q (o triplete de Tsallis). [ 10 ]
  3. Las distribuciones de velocidad en un plasma polvoriento disipativo impulsado . [ 11 ]
  4. Relajación del vidrio de espín . [ 12 ]
  5. Ión atrapado interactuando con un gas amortiguador clásico . [ 13 ]
  6. Experimentos de colisión de alta energía en el LHC/CERN (detectores CMS, ATLAS y ALICE) [ 14 ] [ 15 ] y RHIC/Brookhaven (detectores STAR y PHENIX). [ 16 ]

Entre los diversos resultados teóricos disponibles que aclaran las condiciones físicas bajo las cuales se aplican la entropía de Tsallis y las estadísticas asociadas, se pueden seleccionar los siguientes:

  1. Difusión anómala . [ 17 ] [ 18 ]
  2. Teorema de unicidad . [ 19 ]
  3. Sensibilidad a las condiciones iniciales y producción de entropía en el borde del caos . [ 20 ] [ 21 ]
  4. Conjuntos de probabilidad que hacen que la entropía de Tsallis no aditiva sea extensiva en el sentido termodinámico. [ 22 ]
  5. Sistemas fuertemente entrelazados cuánticamente y termodinámica. [ 23 ]
  6. Termoestadística del movimiento sobreamortiguado de partículas interactuantes. [ 24 ] [ 25 ]
  7. Generalizaciones no lineales de las ecuaciones de Schrödinger, Klein-Gordon y Dirac . [ 26 ]
  8. Cálculo de la entropía de un agujero negro . [ 27 ]

Para obtener más detalles, puede consultar la bibliografía en http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm

entropías generalizadas

Varios sistemas físicos interesantes [ 28 ] se rigen por funcionales entrópicos más generales que la entropía estándar de Tsallis. Por lo tanto, se han introducido varias generalizaciones con significado físico. Las dos más generales son, en particular: la superestadística , introducida por C. Beck y EGD Cohen en 2003 [ 29 ] , y la estadística espectral , introducida por GA Tsekouras y Constantino Tsallis en 2005.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Tsallis, C. (1988). "Posible generalización de la estadística de Boltzmann-Gibbs". Journal of Statistical Physics . 52 ( 1– 2): 479– 487. Bibcode : 1988JSP....52..479T . doi : 10.1007/BF01016429 . hdl : 10338.dmlcz/142811 . S2CID 16385640 . 
  2. ↑ Havrda, J.; Charvát, F. (1967). "Método de cuantificación de procesos de clasificación. Concepto de α-entropía estructural" (PDF) . Kybernetika . 3 (1): 30– 35.
  3. ↑ Nielsen, F.; Nock, R. (2012). "Una expresión de forma cerrada para la entropía de Sharma-Mittal de familias exponenciales". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 45 (3) 032003. arXiv : 1112.4221 . Bibcode : 2012JPhA...45c2003N . doi : 10.1088/1751-8113/45/3/032003 . S2CID 8653096 . 
  4. ↑ Cho, A. (2002). "Una nueva perspectiva sobre el desorden, ¿o ciencia desordenada?". Science . 297 ( 5585): 1268– 1269. doi : 10.1126/science.297.5585.1268 . PMID 12193769. S2CID 5441957 .  
  5. ↑ Abe, S.; Rajagopal, AK (2003). "Revisiting Disorder and Tsallis Statistics". Science . 300 (5617): 249– 251. doi : 10.1126/science.300.5617.249d . PMID 12690173 . S2CID 39719500 .  
  6. ↑ Pressé, S.; Ghosh, K.; Lee, J.; Dill, K. (2013). "Las entropías no aditivas producen distribuciones de probabilidad con sesgos no justificados por los datos". Phys . Rev. Lett . 111 (18) 180604. arXiv : 1312.1186 . Bibcode : 2013PhRvL.111r0604P . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.180604 . PMID 24237501. S2CID 2577710 .  
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  8. ↑ Lutz, E. (2003). "Difusión anómala y estadística de Tsallis en una red óptica". Physical Review A . 67 (5) 051402. arXiv : cond-mat/0210022 . Bibcode : 2003PhRvA..67e1402L . doi : 10.1103/PhysRevA.67.051402 . S2CID 119403353 . 
  9. ↑ Douglas, P.; Bergamini, S.; Renzoni, F. (2006). "Distribuciones de Tsallis sintonizables en redes ópticas disipativas" (PDF) . Physical Review Letters . 96 (11) 110601. Bibcode : 2006PhRvL..96k0601D . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.110601 . PMID 16605807 . 
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  11. ↑ Liu, B.; Goree, J. (2008). "Superdifusión y estadísticas no gaussianas en un plasma polvoriento bidimensional impulsado-disipativo". Physical Review Letters . 100 (5) 055003. arXiv : 0801.3991 . Bibcode : 2008PhRvL.100e5003L . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.055003 . PMID 18352381. S2CID 2022402 .  
  12. ↑ Pickup, R.; Cywinski, R.; Pappas, C.; Farago, B.; Fouquet, P. (2009). "Relajación generalizada de vidrio de espín". Physical Review Letters . 102 (9) 097202. arXiv : 0902.4183 . Bibcode : 2009PhRvL.102i7202P . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.097202 . PMID 19392558 . S2CID 6454082 .  
  13. ↑ Devoe, R. (2009). "Distribuciones de ley de potencias para un ion atrapado que interactúa con un gas amortiguador clásico". Physical Review Letters . 102 (6) 063001. arXiv : 0903.0637 . Bibcode : 2009PhRvL.102f3001D . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.063001 . PMID 19257583 . S2CID 15945382 .  
  14. ^ Khachatryan, V.; Sirunyan, A.; Tumasyan, A.; Adán, W.; Bergauer, T.; Dragicevic, M.; Erö, J.; Fabjan, C.; Friedl, M.; Frühwirth, R.; Ghete, VM; Martillo, J.; Hänsel, S.; Hoch, M.; Hörmann, N.; Hrubec, J.; Jeitler, M.; Kasieczka, G.; Kiesenhofer, W.; Krammer, M.; Liko, D.; Mikulec, I.; Pernicka, M.; Rohringer, H.; Schöfbeck, R.; Strauss, J.; Taurok, A.; Teischinger, F.; Waltenberger, W.; et al. (2010). "Distribuciones de momento transversal y pseudorapidez de hadrones cargados en colisiones pp a √s = 7 TeV". Physical Review Letters . 105 (2) 022002. arXiv : 1005.3299 . Bibcode : 2010PhRvL.105b2002K . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.022002 . PMID 20867699. S2CID 119196941 .   
  15. ^ Chatrchyan, S.; Khachatryan, V.; Sirunyan, AM; Tumasyan, A.; Adán, W.; Bergauer, T.; Dragicevic, M.; Erö, J.; Fabjan, C.; Friedl, M.; Frühwirth, R.; Ghete, VM; Martillo, J.; Hänsel, S.; Hoch, M.; Hörmann, N.; Hrubec, J.; Jeitler, M.; Kiesenhofer, W.; Krammer, M.; Liko, D.; Mikulec, I.; Pernicka, M.; Rohringer, H.; Schöfbeck, R.; Strauss, J.; Taurok, A.; Teischinger, F.; Wagner, P.; et al. (2011). "Espectros de momento transversal de partículas cargadas en colisiones pp a $ √ s = 0,9 y 7 TeV". Journal of High Energy Physics . 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547 . Bibcode : 2011JHEP...08..086C . doi : 10.1007/JHEP08(2011)086 . S2CID 122835798 .  
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Lecturas adicionales

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  • Furuichi, Shigeru; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Desigualdades matemáticas para algunas divergencias". Physica A. 391 ( 1–2 ) : 388–400 . arXiv : 1104.5603 . Bibcode : 2012PhyA..391..388F . doi : 10.1016/j.physa.2011.07.052 . S2CID 92394 . 
  • Furuichi, Shigeru; Minculete, Nicușor; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Algunas desigualdades sobre entropías generalizadas" . Journal of Inequalities and Applications . 2012 226. arXiv : 1104.0360 . doi : 10.1186/1029-242X-2012-226 .
  • Estadística de Tsallis, Mecánica estadística para sistemas no extensivos e interacciones de largo alcance