Lema de Teichmüller-Tukey

En matemáticas, el lema de Teichmüller-Tukey (a veces llamado simplemente lema de Tukey ), llamado así por John Tukey y Oswald Teichmüller , es un lema que establece que toda colección no vacía de carácter finito tiene un elemento maximal con respecto a la inclusión . Sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el lema de Teichmüller-Tukey es equivalente al axioma de elección y, por lo tanto, al teorema de buen orden , al lema de Zorn y al principio maximalista de Hausdorff . ^[1]

Una familia de conjuntos es de carácter finito siempre que tenga las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Para cada , cada subconjunto finito de pertenece a .${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
2. Si cada subconjunto finito de un conjunto dado pertenece a , entonces pertenece a .${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Sea un conjunto y sea . Si es de carácter finito y , entonces existe un máximo (según la relación de inclusión) tal que . ^[2]${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(Z)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X\subseteq Y}$

En álgebra lineal , el lema puede utilizarse para demostrar la existencia de una base . Sea V un espacio vectorial . Considérese la colección de conjuntos de vectores linealmente independientes . Esta es una colección de carácter finito . Por lo tanto, existe un conjunto maximalista, que debe abarcar V y ser una base para V.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Brillinger, David R. "John Wilder Tukey" [1]