El método de Turing

En matemáticas , el método de Turing se utiliza para verificar que para cualquier punto de Gram dado g _m hay m  +  1 ceros de ζ ( s ) , en la región 0 < Im( s ) < Im( g _m ) , donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann . ^{[ 1 ]} Fue descubierto por Alan Turing y publicado en 1953, ^{[ 2 ]} aunque esa demostración contenía errores y una corrección fue publicada en 1970 por R. Sherman Lehman. ^{[ 3 ]}

Para cada entero i con i < n encontramos una lista de puntos de Gram.${\displaystyle \{g_{i}\mid 0\leqslant i\leqslant m\}}$y una lista complementaria${\displaystyle \{h_{i}\mid 0\leqslant i\leqslant m\}}$, donde g _i es el número más pequeño tal que

${\displaystyle (-1)^{i}Z(g_{i}+h_{i})>0,}$

donde Z ( t ) es la función Z de Hardy . Nótese que g _i puede ser negativo o cero. Suponiendo que${\displaystyle h_{m}=0}$y existe algún entero k tal que${\displaystyle h_{k}=0}$, entonces si

${\displaystyle 1+{\frac {1.91+0.114\log(g_{m+k}/2\pi )+\sum _{j=m+1}^{m+k-1}h_{j}}{g_{m+k}-g_{m}}}<2,}$

y

${\displaystyle -1-{\frac {1.91+0.114\log(g_{m}/2\pi )+\sum _{j=1}^{k-1}h_{mj}}{g_{m}-g_{mk}}}>-2,}$

Entonces se alcanza la cota y tenemos que hay exactamente m  +  1 ceros de ζ ( s ) , en la región 0 < Im( s ) < Im( g _m ) .