Teorema de Tverberg

En geometría discreta , el teorema de Tverberg , enunciado por primera vez por Helge Tverberg en 1966, ^{[ 1 ]} es el resultado de que suficientes puntos en el espacio euclidiano pueden particionarse en subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan . Específicamente, para cualquier entero positivo${\displaystyle d,r}$y cualquier conjunto de

${\displaystyle (d+1)(r-1)+1\ }$

puntos en${\displaystyle d}$En el espacio euclidiano de -dimensiones existe una partición de los puntos dados en${\displaystyle r}$subconjuntos cuyos envolventes convexos tienen todos un punto común; en otras palabras, existe un punto${\displaystyle x}$(no necesariamente uno de los puntos dados) de tal manera que${\displaystyle x}$pertenece a la envoltura convexa de todos los subconjuntos. La partición resultante de este teorema se conoce como partición de Tverberg .

El caso especial${\displaystyle r=2}$Esto fue demostrado anteriormente por Radon, y se conoce como el teorema de Radon .

El caso${\displaystyle d=1}$afirma que cualquier${\displaystyle 2r-1}$Los puntos en la recta real se pueden dividir en${\displaystyle r}$subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan. De hecho, si los puntos son${\displaystyle x_{1}<x_{2}<...<x_{2r-1}}$, luego la partición en${\displaystyle A_{i}=\{x_{i},x_{2r-i}\}}$para${\displaystyle i=1,...,r}$satisface esta condición (y es único).

Para${\displaystyle r=2}$El teorema de Tverberg establece que cualquier${\displaystyle d+2}$puntos en el${\displaystyle d}$El espacio euclidiano de -dimensiones puede particionarse en dos subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan. Esto se conoce como el teorema de Radon . En este caso, para puntos en posición general , la partición es única.

El caso${\displaystyle r=3}$y${\displaystyle d=2}$La ecuación establece que siete puntos cualesquiera en el plano pueden dividirse en tres subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan. La ilustración muestra un ejemplo en el que los siete puntos son los vértices de un heptágono regular . Como muestra el ejemplo, puede haber muchas particiones de Tverberg diferentes para el mismo conjunto de puntos; estos siete puntos pueden dividirse de siete maneras distintas que difieren entre sí mediante rotaciones.

Una formulación equivalente del teorema de Tverberg es la siguiente:

Dejar${\displaystyle d,r}$sean enteros positivos, y sea${\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}$. Si${\displaystyle f}$es cualquier función afín de una${\displaystyle N}$simplex dimensional${\displaystyle \Delta ^{N}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, entonces hay${\displaystyle r}$caras disjuntas por pares de${\displaystyle \Delta ^{N}}$cuyas imágenes bajo${\displaystyle f}$intersecar. Es decir: existen caras${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$de${\displaystyle \Delta ^{N}}$de tal manera que${\displaystyle \forall i,j\in [r]:F_{i}\cap F_{j}=\emptyset }$y${\displaystyle f(F_{1})\cap \cdots \cap f(F_{r})\neq \emptyset }$.

Son equivalentes porque cualquier función afín en un simplex está determinada unívocamente por las imágenes de sus vértices. Formalmente, sea${\displaystyle f}$ser una función afín de${\displaystyle \Delta ^{N}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Dejar${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{N+1}}$sean los vértices de${\displaystyle \Delta ^{N}}$y${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{N+1}}$sean sus imágenes bajo${\displaystyle f}$. Según la formulación original, el${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{N+1}}$se puede dividir en${\displaystyle r}$subconjuntos disjuntos, por ejemplo${\displaystyle (\{x_{i}:i\in A_{j}\})_{j\in [r]}}$con envoltura convexa superpuesta. Porque${\displaystyle f}$es afín, la envoltura convexa de${\displaystyle \{x_{i}:i\in A_{j}\}}$es la imagen del rostro abarcado por los vértices${\displaystyle \{v_{i}:i\in A_{j}\}}$a pesar de${\displaystyle j\in [r]}$Estos rostros son disjuntos por pares, y sus imágenes bajo${\displaystyle f}$intersecan, como afirma la reformulación. El teorema topológico de Tverberg (hipótesis formulada por primera vez por Bárány en una carta a Tverberg en 1976 ^{[ 2 ]} ) generaliza esta formulación. Permite${\displaystyle f}$ser cualquier función continua, no necesariamente afín. Sin embargo, solo se cumple en el caso donde${\displaystyle r}$es un poder primordial :

Dejar${\displaystyle d}$sea ​​un número entero positivo, y${\displaystyle r}$Sea una potencia de un número primo.${\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}$. Si${\displaystyle f}$es cualquier función continua de una${\displaystyle N}$simplex dimensional${\displaystyle \Delta ^{N}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, entonces hay${\displaystyle r}$caras disjuntas por pares de${\displaystyle \Delta ^{N}}$cuyas imágenes bajo${\displaystyle f}$intersecar. Es decir: existen caras${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$de${\displaystyle \Delta ^{N}}$de tal manera que${\displaystyle \forall i,j\in [r]:F_{i}\cap F_{j}=\emptyset }$y${\displaystyle f(F_{1})\cap \cdots \cap f(F_{r})\neq \emptyset }$.

• La conjetura de Rota sobre la base

• Hell, Stephan (2006), Teoremas de tipo Tverberg y la propiedad fraccional de Helly (tesis doctoral), Technische Universität Berlin, doi : 10.14279/depositonce-1464