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Gemelo primo

Un primo gemelo es un número primo que es 2 unidades menor o 2 unidades mayor que otro número primo; por ejemplo, cualquiera de los miembros del par de primos gemelos (17, 19) o...

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Un primo gemelo es un número primo que es 2 unidades menor o 2 unidades mayor que otro número primo; por ejemplo, cualquiera de los miembros del par de primos gemelos (17, 19) o (41, 43) . En otras palabras, un primo gemelo es un primo con una diferencia de dos unidades. A veces, el término primo gemelo se usa para referirse a un par de primos gemelos; un nombre alternativo para esto es primo gemelo o par de primos . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Los primos gemelos se vuelven cada vez más raros a medida que se examinan rangos más amplios, en consonancia con la tendencia general de que las brechas entre primos adyacentes aumenten a medida que los números mismos se hacen más grandes. Sin embargo, se desconoce si existen infinitos primos gemelos (la llamada conjetura de los primos gemelos ) o si existe un par máximo. El innovador trabajo [ 4 ] de Yitang Zhang en 2013, así como el trabajo de James Maynard , Terence Tao y otros, ha logrado avances sustanciales para demostrar que existen infinitos primos gemelos, pero actualmente esto sigue sin resolverse. [ 5 ]

Problema sin resolver en matemáticas
¿Existen infinitos números primos gemelos?
Más problemas sin resolver en matemáticas

Propiedades

Por lo general, el par (2, 3) no se considera un par de primos gemelos. [ 6 ] Dado que 2 es el único primo par, este par es el único par de números primos que difieren en uno; por lo tanto, los primos gemelos están lo más próximos posible para cualquier otro par de primos.

Los primeros pares primos gemelos son

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), ... OEIS : A077800  .

Cinco es el único primo que pertenece a dos pares, ya que todo par de primos gemelos mayor que (3, 5) tiene la forma(6norte−1,6norte+1){\displaystyle (6n-1,6n+1)}para algún número natural n ; es decir, el número que cae entre los dos primos es un múltiplo de 6. [ 7 ] Como resultado, la suma de cualquier par de primos gemelos (que no sean 3 y 5) es divisible por 12.

Teorema de Brun

In 1915, Viggo Brun showed that the sum of reciprocals of the twin primes was convergent.[8] This famous result, called Brun's theorem, was the first use of the Brun sieve and helped initiate the development of modern sieve theory. The modern version of Brun's argument can be used to show that the number of twin primes less than N does not exceed

CN(log⁡N)2{\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}

for some absolute constant C > 0.[9] In fact, it is bounded above by 8C2N(log⁡N)2[1+O⁡(log⁡log⁡Nlog⁡N)],{\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],} where C2{\displaystyle C_{2}} is the twin prime constant (slightly less than 2/3), given below.[10]

Twin prime conjecture

The question of whether there exist infinitely many twin primes has been one of the great open questions in number theory for many years. This is the content of the twin prime conjecture, which states that there are infinitely many primes p such that p + 2 is also prime. In 1849, de Polignac made the more general conjecture that for every natural number k, there are infinitely many primes p such that p + 2k is also prime.[11] The case k = 1 of de Polignac's conjecture is the twin prime conjecture.

A stronger form of the twin prime conjecture, the Hardy–Littlewood conjecture, postulates a distribution law for twin primes akin to the prime number theorem.

On 17 April 2013, Yitang Zhang announced a proof that there exists an integerN that is less than 70 million, where there are infinitely many pairs of primes that differ by N.[12] Zhang's paper was accepted in early May 2013.[13]Terence Tao subsequently proposed a Polymath Project collaborative effort to improve Zhang's bound.[14]

One year after Zhang's announcement, the bound had been reduced to 246, where it remains.[15] These improved bounds were discovered independently by James Maynard and Terence Tao, using a different approach that was simpler than Zhang's. This second approach also gave bounds for the smallest f (m) needed to guarantee that infinitely many intervals of width f (m) contain at least m primes. Moreover (see also the next section) assuming the Elliott–Halberstam conjecture and its generalized form, the Polymath Project wiki states that the bound is 12 and 6, respectively.[15]

Other theorems weaker than the twin prime conjecture

In 1940, Paul Erdős showed that there is a constantc < 1 and infinitely many primes p such that p′ − p < c ln p where p′ denotes the next prime after p. What this means is that we can find infinitely many intervals that contain two primes (p, p′) as long as we let these intervals grow slowly in size as we move to bigger and bigger primes. Here, "grow slowly" means that the length of these intervals can grow logarithmically. This result was successively improved; in 1986 Helmut Maier showed that a constant c < 0.25 can be used. In 2004 Daniel Goldston and Cem Yıldırım showed that the constant could be improved further to c = 0.085786... . In 2005, Goldston, Pintz, and Yıldırım established that c can be chosen to be arbitrarily small,[16][17] i.e.

lim infn→∞(pn+1−pnlog⁡pn)=0 .{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}

On the other hand, this result does not rule out that there may not be infinitely many intervals that contain two primes if we only allow the intervals to grow in size as, for example, c ln ln p.

Partiendo de la conjetura de Elliott-Halberstam o una versión ligeramente más débil, pudieron demostrar que existen infinitos n tales que al menos dos de n , n + 2 , n + 6 , n + 8 , n + 12 , n + 18 o n + 20 son primos. Bajo una hipótesis más fuerte, demostraron que para infinitos n , al menos dos de n , n + 2 , n + 4 y n + 6 son primos.

El resultado de Yitang Zhang ,

límite inferiornorte→∞(pagnorte+1−pagnorte)<norte with norte=7×107,{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {con} ~N=7\times 10^{7},}

es una mejora importante respecto al resultado de Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım. La mejora del Proyecto Polymath sobre la cota de Zhang y el trabajo de Maynard han reducido la cota: el límite inferior es como máximo 246. [ 18 ] [ 19 ] Esto significa que existe un conjunto infinito de primos donde el siguiente primo es mayor en no más de 246. Mejorar la cota a 2 sería una prueba de la conjetura de los primos gemelos.

Conjeturas

Primera conjetura de Hardy-Littlewood

La primera conjetura de Hardy-Littlewood (llamada así en honor a G. H. Hardy y John Littlewood ) es una generalización de la conjetura de los primos gemelos. Se ocupa de la distribución de constelaciones de primos , incluidos los primos gemelos, en analogía con el teorema de los números primos . Seaπ2(incógnita){\displaystyle \pi _{2}(x)}Denotemos el número de primos p ≤ x tales que p + 2 también es primo. Definamos la constante de primos gemelos C 2 como [ 20 ].do2=∏pagpagrimetromi,pag≥3(1−1(pag−1)2)≈0.660161815846869573927812110014….{\displaystyle C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .} (Aquí el producto se extiende sobre todos los números primos p ≥ 3. ) Entonces, un caso especial de la primera conjetura de Hardy-Littlewood es que π2(incógnita)∼2do2incógnita(ln⁡incógnita)2∼2do2∫2incógnitadt(ln⁡t)2{\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}} en el sentido de que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito. [ 9 ] (El segundo ~ no forma parte de la conjetura y se demuestra mediante integración por partes ).

La conjetura puede justificarse (pero no probarse) asumiendo que1ln⁡t{\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}}⁠ describe la función de densidad de la distribución de números primos. Esta suposición, sugerida por el teorema de los números primos, implica la conjetura de los primos gemelos, como se muestra en la fórmula para ⁠π2(incógnita){\displaystyle \pi _{2}(x)}arriba .

La primera conjetura de Hardy-Littlewood, totalmente general, sobre k- tuplas primas (que no se presenta aquí) implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood es falsa.

Esta conjetura ha sido ampliada por la conjetura de Dickson .

La conjetura de Polignac

La conjetura de Polignac de 1849 afirma que para cada entero par positivo k , existen infinitos pares primos consecutivos p y p′ tales que p ′ − p = k (es decir, existen infinitos intervalos primos de tamaño k ). El caso k = 2 es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de k , pero el resultado de Zhang prueba que es cierta para al menos un valor (actualmente desconocido) de k . De hecho, si tal k no existiera, entonces para cualquier número natural par positivo N existen como máximo un número finito de n tales quepagnorte+1−pagnorte=metro{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=m}para todo m < N y por lo tanto para n suficientemente grande tenemospagnorte+1−pagnorte>norte,{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N,}lo cual contradiría el resultado de Zhang. [ 11 ]

Grandes primos gemelos

A partir de 2007, dos proyectos de computación distribuida , Twin Prime Search y PrimeGrid , han producido varios pares de primos gemelos récord. A partir de enero de 2025 El par de números primos gemelos más grande conocido actualmente es 2996863034895 × 2 1290000 ± 1 , [ 21 ] con 388 342  dígitos decimales. Fue descubierto en septiembre  de 2016. [ 22 ]

Hay 808.675.888.577.436  pares de números primos gemelos por debajo de 1018 . [ 23 ] [ 24 ]

Un análisis empírico de todos los pares primos hasta 4,35 × 10La ecuación 15 muestra que si el número de pares menores que x es f ( x ) · x /(log x ) 2 entonces f ( x ) es aproximadamente 1,7 para valores pequeños de x y disminuye hacia aproximadamente 1,3 cuando x tiende a infinito. Se conjetura que el valor límite de f ( x ) es igual al doble de la constante de los primos gemelos ( OEIS : A114907  ) (que no debe confundirse con la constante de Brun ), según la conjetura de Hardy-Littlewood.

Otras propiedades elementales

Todo tercer número impar es divisible por 3, por lo tanto, no puede haber tres números impares consecutivos que sean primos a menos que uno de ellos sea 3. Por consiguiente, 5 es el único primo que forma parte de dos pares de primos gemelos. El miembro menor de un par es, por definición, un primo de Chen .

Si m  −  4 o m  +  6 también son primos, entonces los tres primos se denominan una terna de primos .

Se ha demostrado [ 25 ] que el par ( m , m + 2) es un primo gemelo si y solo si   

4((metro−1)¡+1)≡−metro(modmetro(metro+2)).{\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.}

Para un par de primos gemelos de la forma (6 n − 1, 6 n + 1) para algún número natural n > 1, n debe terminar en el dígito 0, 2, 3, 5, 7 u 8 ( OEIS : A002822  ). Si n terminara en 1 o 6, 6 n terminaría en 6, y 6 n −1 sería un múltiplo de 5. Esto no es primo a menos que n  =  1. De igual manera, si n terminara en 4 o 9, 6 n terminaría en 4, y 6 n +1 sería un múltiplo de 5. La misma regla se aplica módulo cualquier primo p ≥ 5: Si n ≡ ±6 −1 (mod p ), entonces uno de los pares será divisible por p y no será un par de primos gemelos a menos que 6 n = p ±1. El valor p = 5 da la casualidad de que produce patrones particularmente simples en base 10.

primo aislado

Un primo aislado (también conocido como primo único o primo no gemelo ) es un número primo p tal que ni p  −  2 ni p  +  2 son primos. En otras palabras, p no forma parte de un par de primos gemelos. Por ejemplo, 23 es un primo aislado, ya que 21 y 25 son ambos compuestos .

Los primeros primos aislados son

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510  .

Del teorema de Brun se deduce que casi todos los números primos están aislados en el sentido de que la razón entre el número de primos aislados menores que un umbral dado n y el número de todos los primos menores que n tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Glaisher, JWL (marzo de 1878). "Sobre largas sucesiones de números compuestos" . The Messenger of Mathematics . Vol. 7. Macmillan Publishers . pág. 176.  
  2. ↑ Glaisher, JWL (abril de 1878). "Una enumeración de pares primos" . The Messenger of Mathematics . Vol. 8. Macmillan Publishers . pág. 32.  
  3. ↑ Dunham, William (julio de 2013). "Una nota sobre el origen de la conjetura de los primos gemelos" (PDF) . Notices of the ICCM . Vol. 1, n.º 1. International Press of Boston. págs. 63–65 .   
  4. ↑ Thomas, Kelly Devine (verano de 2014). "El espectacular viaje matemático de Yitang Zhang" . The Institute Letter . Princeton, NJ: Institute for Advanced Study – vía ias.edu.
  5. ↑ Tao, Terry, Ph.D. (presentador) (7 de octubre de 2014). Brechas pequeñas y grandes entre los números primos (videoconferencia). Departamento de Matemáticas de la UCLA – vía YouTube.
  6. ↑ "Los primeros 100.000 primos gemelos (solo el primer miembro del par)" (texto plano) . Listas. Las páginas de los primos (primes.utm.edu) . Martin, TN: UT Martin . 
  7. ↑ Caldwell, Chris K. "¿Son todos los números primos (más allá de 2 y 3) de las formas 6 n +1 y 6 n −1 ?" . The Prime Pages (primes.utm.edu) . Martin, TN: UT Martin . Consultado el 27 de septiembre de 2018 .
  8. ^ Brun, V. (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare" [ Sobre la regla de Goldbach y el número de pares de números primos ] . Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (en alemán). 34 (8): 3– 19. ISSN 0365-4524 . JFM 45.0330.16 .  
  9. 1 2 Bateman, Paul T. ; Diamond, Harold G. (2004). Teoría analítica de números . World Scientific. págs. 313 y 334–335. ISBN  981-256-080-7. Zbl 1074.11001 . 
  10. ↑ Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon (2010). Métodos de tamiz . Publicaciones de Dover. pag. 117. 
  11. 1 2 de Polignac, A. (1849). «Recherches nouvelles sur les nombres premiers» [ Nueva investigación sobre números primos ] . Comptes rendus (en francés). 29 : 397– 401. [De la pág. 400] "1 er Théorème. Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ..." (1er Teorema. Todo número par es igual a la diferencia de dos números primos consecutivos en un número infinito de formas...) 
  12. ↑ McKee, Maggie (14 de mayo de 2013). "Primera prueba de que infinitos números primos vienen en pares" . Nature . doi : 10.1038/nature.2013.12989 . ISSN 0028-0836 . 
  13. ↑ Zhang, Yitang (2014). "Bounded gaps between primes" . Annals of Mathematics . 179 (3): 1121– 1174. doi : 10.4007/annals.2014.179.3.7 . MR 3171761 . 
  14. ↑ Tao, Terence (4 de junio de 2013). "Propuesta polímata: brechas acotadas entre primos" .
  15. 1 2 "Brechas acotadas entre primos" . Polymath (michaelnielsen.org) . Consultado el 27 de marzo de 2014 .
  16. ↑ Goldston, Daniel Alan ; Motohashi, Yoichi; Pintz, János ; Yıldırım, Cem Yalçın (2006). "Existen pequeñas brechas entre primos" . Japan Academy. Proceedings . Series A. Mathematical Sciences. 82 (4): 61– 65. arXiv : math.NT/0505300 . doi : 10.3792/pjaa.82.61 . MR 2222213. S2CID 18847478 .  
  17. ↑ Goldston, DA ; Graham, SW; Pintz, J .; Yıldırım, CY (2009). "Pequeñas brechas entre primos o casi primos". Transactions of the American Mathematical Society . 361 (10): 5285– 5330. arXiv : math.NT/0506067 . doi : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6 . MR 2515812. S2CID 12127823 .  
  18. ↑ Maynard, James (2015). "Pequeñas brechas entre primos". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 181 (1): 383– 413. arXiv : 1311.4600 . doi : 10.4007/annals.2015.181.1.7 . MR 3272929 . S2CID 55175056 .  
  19. ↑ Polymath, DHJ (2014). "Variantes de la criba de Selberg e intervalos acotados que contienen muchos primos" . Investigación en Ciencias Matemáticas . 1. artc. 12, 83. arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . MR 3373710 .  
  20. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A005597 (Expansión decimal de la constante prima gemela)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 1 de noviembre de 2019 .  
  21. ↑ Caldwell, Chris K. " 2996863034895 × 2 1290000 − 1 " . The Prime Database . Martin, TN: UT Martin .
  22. ↑ "¡Se han encontrado pares de números primos gemelos que baten récords mundiales!" . primegrid.com . 20 de septiembre de 2016.
  23. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A007508 (Número de pares primos gemelos menores que 10 n )" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 1 de noviembre de 2019 .  
  24. ^ Oliveira e Silva, Tomás (7 de abril de 2008). «Tablas de valores de π ( x ) y de π 2 ( x ) » . Universidad de Aveiro . Consultado el 7 de enero de 2011 .
  25. ↑ PA Clement (enero de 1949). "Congruencias para conjuntos de primos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 56 (1): 23– 25. doi : 10.2307/2305816 . JSTOR 2305816 . 

Lecturas adicionales

  • "Gemelos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Los 20 mejores pares de monedas de oro de dos estrellas en las páginas de Chris Caldwell.
  • Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introducción a los números primos gemelos y la constante de Brun
  • Comunicado de prensa oficial del récord de números primos gemelos de 58711 dígitos
  • Weisstein, Eric W. "Números primos gemelos" . MathWorld .
  • Los 20 000 primeros primos gemelos
  • Polímata: Brechas acotadas entre números primos
  • Los repentinos avances en el problema de los números primos tienen a los matemáticos entusiasmados.