Ecuaciones de Dirac de dos cuerpos

En la teoría cuántica de campos , y en los subcampos significativos de la electrodinámica cuántica (QED) y la cromodinámica cuántica (QCD), las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos (TBDE) de la dinámica de restricciones proporcionan una reformulación tridimensional, pero manifiestamente covariante, de la ecuación de Bethe-Salpeter ^{[ 1 ]} para dos partículas de espín 1/2 . Dicha reformulación es necesaria ya que, sin ella, como demostró Nakanishi, ^{[ 2 ]} la ecuación de Bethe-Salpeter posee soluciones de norma negativa que surgen de la presencia de un grado de libertad esencialmente relativista: el tiempo relativo. Estos estados "fantasma" han viciado la interpretación ingenua de la ecuación de Bethe-Salpeter como una ecuación de onda cuántica. Las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos de la dinámica de restricciones corrigen este defecto. Las formas de estas ecuaciones no solo pueden derivarse de la teoría cuántica de campos ^{[ 3 ] [ 4 ]} sino que también pueden derivarse puramente en el contexto de la dinámica de restricciones de Dirac ^{[ 5 ] [ 6 ]} y la mecánica relativista y la mecánica cuántica. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Sus estructuras, a diferencia de la ecuación de Dirac de dos cuerpos más familiar de Breit , ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} que es una sola ecuación, son las de dos ecuaciones de onda relativistas cuánticas simultáneas . Una sola ecuación de Dirac de dos cuerpos similar a la ecuación de Breit puede derivarse de la TBDE. ^{[ 14 ]} A diferencia de la ecuación de Breit, es manifiestamente covariante y libre de los tipos de singularidades que impiden un tratamiento estrictamente no perturbativo de la ecuación de Breit. ^{[ 15 ]} En las aplicaciones de la TBDE a la QED, las dos partículas interactúan mediante potenciales de cuatro vectores derivados de las interacciones electromagnéticas de la teoría de campos entre las dos partículas. En las aplicaciones a la QCD, las dos partículas interactúan mediante potenciales de cuatro vectores e interacciones escalares invariantes de Lorentz, derivadas en parte de las interacciones cromomagnéticas de la teoría de campos entre los quarks y en parte por consideraciones fenomenológicas. Al igual que con la ecuación de Breit, se utiliza un espinor Ψ de dieciséis componentes .

Para QED, cada ecuación tiene la misma estructura que la ecuación de Dirac de un cuerpo ordinaria en presencia de un campo electromagnético externo , dada por el 4-potencial.${\displaystyle A_{\mu }}$Para QCD, cada ecuación tiene la misma estructura que la ecuación de Dirac ordinaria de un cuerpo en presencia de un campo externo similar al campo electromagnético y un campo externo adicional dado por en términos de un escalar invariante de Lorentz${\displaystyle S}$. En unidades naturales : ^{[ 16 ]} esas ecuaciones de dos cuerpos tienen la forma.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}}$$ donde, en el espacio de coordenadas, p ^μ es el cuadrimomento , relacionado con el cuadrgradiente por (la métrica utilizada aquí es${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-1,1,1,1)}$) $${\displaystyle p^{\mu }=-i{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}}$$ y γ ^μ son las matrices gamma . Las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos (TBDE) tienen la propiedad de que si una de las masas se vuelve muy grande, digamos${\displaystyle m_{2}\rightarrow \infty }$Entonces, la ecuación de Dirac de 16 componentes se reduce a la ecuación de Dirac de un cuerpo de 4 componentes para la partícula uno en un potencial externo.

En unidades del SI : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}c+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}c+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}}$$ donde c es la velocidad de la luz y $${\displaystyle p^{\mu }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}}$$

A continuación se utilizarán unidades naturales. El símbolo de tilde se usa sobre los dos conjuntos de potenciales para indicar que pueden tener dependencias adicionales de la matriz gamma que no están presentes en la ecuación de Dirac de un cuerpo. Cualquier constante de acoplamiento, como la carga del electrón, está incorporada en los potenciales vectoriales.

La dinámica de restricciones aplicada a la TBDE requiere una forma particular de consistencia matemática: los dos operadores de Dirac deben conmutar entre sí. Esto es plausible si se consideran las dos ecuaciones como dos restricciones compatibles sobre la función de onda. (Véase la discusión a continuación sobre la dinámica de restricciones). Si los dos operadores no conmutaran (como, por ejemplo, con los operadores de coordenadas y momento),${\displaystyle x,p}$) entonces las restricciones no serían compatibles (no se podría, por ejemplo, tener una función de onda que satisficiera ambas${\displaystyle x\Psi =0}$y${\displaystyle p\Psi =0}$). Esta consistencia o compatibilidad matemática conduce a tres propiedades importantes de la TBDE. La primera es una condición que elimina la dependencia del tiempo relativo en el marco del centro de momento (cm) definido por${\displaystyle P=p_{1}+p_{2}=(w,{\vec {0}})}$. (La variable${\displaystyle w}$es la energía total en el sistema de referencia cm.) Dicho de otra manera, el tiempo relativo se elimina de forma covariante. En particular, para que los dos operadores conmuten, los potenciales escalar y cuadrivectorial pueden depender de la coordenada relativa.${\displaystyle x=x_{1}-x_{2}}$solo a través de su componente${\displaystyle x_{\perp }}$ortogonal a${\displaystyle P}$en el cual $${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }-P^{\mu }P^{\nu }/P^{2})x_{\nu },\,}$$$${\displaystyle P_{\mu }x_{\perp }^{\mu }=0.\,}$$

Esto implica que en el marco de cm${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}={\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})}$, que tiene componente de tiempo cero.

En segundo lugar, la condición de consistencia matemática también elimina la energía relativa en el sistema de referencia cm . Esto se logra imponiendo a cada operador de Dirac una estructura tal que, en una combinación particular, dan lugar a esta forma independiente de la interacción, eliminando de forma covariante la energía relativa. $${\displaystyle P\cdot p\Psi =(-P^{0}p^{0}+{\vec {P}}\cdot p)\Psi =0.\,}$$

En esta expresión${\displaystyle p}$es el momento relativo que tiene la forma${\displaystyle (p_{1}-p_{2})/2}$para masas iguales. En el marco de referencia de cm (${\displaystyle P^{0}=w,{\vec {P}}={\vec {0}}}$), el componente de tiempo${\displaystyle p^{0}}$del momento relativo, es decir, la energía relativa, se elimina así. en el sentido de que${\displaystyle p^{0}\Psi =0}$.

Una tercera consecuencia de la consistencia matemática es que cada uno de los escalares del mundo${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$y cuatro vectores${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}^{\mu }}$Los potenciales tienen un término con una dependencia fija de${\displaystyle \gamma _{1}}$y${\displaystyle \gamma _{2}}$además de las formas independientes de la matriz gamma de${\displaystyle S_{i}}$y${\displaystyle A_{i}^{\mu }}$que aparecen en la ecuación de Dirac ordinaria de un cuerpo para potenciales escalares y vectoriales. Estos términos adicionales corresponden a una dependencia del espín de retroceso adicional que no está presente en la ecuación de Dirac de un cuerpo y desaparecen cuando una de las partículas se vuelve muy pesada (el llamado límite estático).

La dinámica de restricciones surgió del trabajo de Dirac ^{[ 6 ]} y Bergmann. ^{[ 17 ]} Esta sección muestra cómo se produce la eliminación del tiempo y la energía relativos en el sistema cm para el sistema simple de dos partículas relativistas sin espín. La dinámica de restricciones fue aplicada por primera vez al sistema clásico relativista de dos partículas por Todorov, ^{[ 18 ] [ 19 ]} Kalb y Van Alstine, ^{[ 20 ] [ 21 ]} Komar, ^{[ 22 ] [ 23 ]} y Droz–Vincent. ^{[ 24 ]} Con la dinámica de restricciones, estos autores encontraron un enfoque consistente y covariante para la mecánica hamiltoniana canónica relativista que también evade el teorema de "No Interacción" de Currie–Jordan–Sudarshan. ^{[ 25 ] [ 26 ]} Ese teorema establece que sin campos, no se puede tener una dinámica hamiltoniana relativista . Así, el mismo enfoque tridimensional covariante que permite que la versión cuantizada de la dinámica de restricciones elimine simultáneamente los fantasmas cuánticos elude a nivel clásico el teorema CJS. Consideremos una restricción sobre los cuadrivectores de coordenadas y momento, que de otro modo serían independientes, escrita en la forma${\displaystyle \phi _{i}(p,x)\approx 0}$El símbolo${\displaystyle \approx 0}$se denomina igualdad débil e implica que la restricción debe imponerse solo después de que se hayan realizado los corchetes de Poisson necesarios . En presencia de tales restricciones, el hamiltoniano total${\displaystyle {\mathcal {H}}}$se obtiene del lagrangiano${\displaystyle {\mathcal {L}}}$al añadir a su transformación Legendre${\displaystyle (p{\dot {x}}-{\mathcal {L}})}$la suma de las restricciones multiplicada por un conjunto apropiado de multiplicadores de Lagrange${\displaystyle (\lambda _ {i})}$. $${\displaystyle {\mathcal {H}}=p{\dot {x}}-{\mathcal {L}}+\lambda _{i}\phi _{i},}$$

Este hamiltoniano total se denomina tradicionalmente hamiltoniano de Dirac. Las restricciones surgen naturalmente de acciones invariantes de parámetros de la forma $${\displaystyle I=\int d\tau {\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\frac {d\tau }{d\tau '}}{\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\mathcal {L}}(\tau ').}$$

En el caso de cuatro interacciones vectoriales y escalares de Lorentz para una sola partícula, el lagrangiano es $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\tau )=-(m+S(x)){\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}+{\dot {x}}\cdot A(x)\,}$$

El momento canónico es $${\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {(m+S(x)){\dot {x}}}{\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}}+A(x)}$$ y al elevar al cuadrado se llega a la condición de capa de masa generalizada o restricción de capa de masa generalizada $${\displaystyle (p-A)^{2}+(m+S)^{2}=0.\,}$$

Dado que, en este caso, el hamiltoniano de Legendre desaparece $${\displaystyle p\cdot {\dot {x}}-{\mathcal {L}}=0,\,}$$ El hamiltoniano de Dirac es simplemente la restricción de masa generalizada (sin interacciones sería simplemente la restricción de capa de masa ordinaria). $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\lambda \left[\left(p-A\right)^{2}+(m+S)^{2}\right]\equiv \lambda (p^{2}+m^{2}+\Phi (x,p)).}$$

Se postula entonces que para dos cuerpos el hamiltoniano de Dirac es la suma de dos de esas restricciones de capa de masa, $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}=p_{i}^{2}+m_{i}^{2}+\Phi _{i}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\approx 0,\,}$$ eso es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\lambda _{1}[p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]+\lambda _{2}[p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]\\[1ex]&=\lambda _{1}{\mathcal {H}}_{1}+\lambda _{2}{\mathcal {H}}_{2},\end{aligned}}}$$ y que cada restricción${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$ser constante en el tiempo adecuado asociado con${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{i}=\{{\mathcal {H}}_{i},{\mathcal {H}}\}\approx 0\,}$$

Aquí la igualdad débil significa que el corchete de Poisson podría resultar en términos proporcionales a una de las restricciones, siendo los corchetes de Poisson clásicos para el sistema relativista de dos cuerpos definidos por $${\displaystyle \left\{O_{1},O_{2}\right\}={\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{1\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{1\mu }}}+{\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{2\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{2\mu }}}.}$$

Para ver las consecuencias de que cada restricción sea una constante del movimiento, tomemos, por ejemplo $${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{1}=\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}\}=\lambda _{1}\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{{\mathcal {H}}_{1},\lambda _{1}\}{\mathcal {H}}_{2}+\lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{\lambda _{2},{\mathcal {H}}_{1}\}{\mathcal {H}}_{2}.}$$

Desde${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}=0}$y${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\approx 0}$y${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\approx 0}$uno tiene $${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{1}\approx \lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}\approx 0.}$$

La solución más sencilla a esto es $${\displaystyle \Phi _{1}=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })}$$ lo que lleva a (nótese que la igualdad en este caso no es débil, ya que no es necesario imponer ninguna restricción después de que se haya calculado el corchete de Poisson) $${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}=0\,}$$ (véase Todorov, ^{[ 19 ]} y Wong y Crater ^{[ 27 ]} ) con el mismo${\displaystyle x_{\perp }}$definido anteriormente.

Además de reemplazar las variables dinámicas clásicas por sus contrapartes cuánticas, la cuantización de la mecánica de restricciones se produce al reemplazar la restricción sobre las variables dinámicas con una restricción sobre la función de onda. $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0,}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}\Psi =0.}$$

El primer conjunto de ecuaciones para i  =  1,  2 desempeña para partículas sin espín el mismo papel que las dos ecuaciones de Dirac desempeñan para partículas con espín 1/2. Los corchetes de Poisson clásicos se reemplazan por conmutadores. $${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}\rightarrow {\frac {1}{i}}[O_{1},O_{2}].\,}$$

De este modo $${\displaystyle [{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}]=0,\,}$$ En este caso, observamos que el formalismo de restricciones conduce a la anulación del conmutador de los operadores de onda para las dos partículas. Esto es análogo a la afirmación anterior de que los dos operadores de Dirac conmutan entre sí.

La desaparición del conmutador anterior garantiza que la dinámica sea independiente del tiempo relativo en el sistema de referencia de los centímetros. Para eliminar de forma covariante la energía relativa, se introduce el momento relativo.${\displaystyle p}$definido por

La definición anterior del momento relativo impone la ortogonalidad del momento total y del momento relativo, $${\displaystyle P\cdot p=0,}$$ lo cual se deduce de tomar el producto escalar de cualquiera de las ecuaciones con${\displaystyle P}$. A partir de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ), este momento relativo puede escribirse en términos de${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$como $${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{1}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{2}}$$

dónde $${\displaystyle \varepsilon _{1}=-{\frac {p_{1}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}=-{\frac {p_{2}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$$ son las proyecciones de los momentos${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$en la dirección del momento total${\displaystyle P}$. Restando las dos restricciones${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\Psi =0}$y${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\Psi =0}$, da

Así pues, en estos estados${\displaystyle \Psi }$$${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi .}$$

La ecuación${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =0}$describe tanto el movimiento del centro de masa como el movimiento relativo interno. Para caracterizar el primer movimiento, observe que dado que el potencial${\displaystyle \Phi }$depende únicamente de la diferencia de las dos coordenadas $${\displaystyle [P,{\mathcal {H}}]\Psi =0.}$$

(Esto no requiere que${\displaystyle [P,\lambda _{i}]=0}$desde el${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$.) Por lo tanto, el momento total${\displaystyle P}$es una constante de movimiento y${\displaystyle \Psi }$es un estado propio caracterizado por un momento total${\displaystyle P'}$En el sistema cm${\displaystyle P'=(w,{\vec {0}}),}$con${\displaystyle w}$la energía del centro de momento invariante (cm). Por lo tanto

y entonces${\displaystyle \Psi }$es también un autoestado de los operadores de energía cm para cada una de las dos partículas, $${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}}\Psi }$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}}\Psi .}$$

El momento relativo entonces satisface $${\displaystyle p\Psi ={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}}\Psi ,}$$ de modo que $${\displaystyle p_{1}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right)\Psi ,}$$$${\displaystyle p_{2}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right)\Psi ,}$$

El conjunto de ecuaciones anterior se deriva de las restricciones.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$y la definición de los momentos relativos dada en las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ). Si en cambio se elige definir (para una elección más general, véase Horwitz), ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}},}$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}},}$$$${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}},}$$ independiente de la función de onda, entonces

y es sencillo demostrar que la restricción de la ecuación ( 3 ) conduce directamente a:

en lugar de${\displaystyle P\cdot p=0}$Esto concuerda con la afirmación anterior sobre la anulación de la energía relativa en el sistema de referencia de los centímetros, realizada en conjunto con la ecuación de densidad de momentos. En la segunda opción, el valor de la energía relativa en el sistema de referencia de los centímetros no se define como cero, sino que proviene de las restricciones originales de la capa de masa generalizada. Las ecuaciones anteriores para el cuadrimomento relativo y constituyente son los análogos relativistas de las ecuaciones no relativistas. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {p}}&={\frac {m_{2}{\vec {p}}_{1}-m_{1}{\vec {p}}_{2}}{M}},\\[1ex]{\vec {p}}_{1}&={\frac {m_{1}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}},\\[1ex]{\vec {p}}_{2}&={\frac {m_{2}}{M}}{\vec {P}}-{\vec {p}}.\end{aligned}}}$$

Utilizando las ecuaciones ( 5 ), ( 6 ) y ( 7 ), se puede escribir:${\displaystyle {\mathcal {H}}}$en términos de${\displaystyle P}$y${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =\{\lambda _{1}[-\varepsilon _{1}^{2}+m_{1}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]+\lambda _{2}[-\varepsilon _{2}^{2}+m_{2}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\}\Psi }$$

dónde

$${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})=\varepsilon _{1}^{2}-m_{1}^{2}=\varepsilon _{2}^{2}-m_{2}^{2}\ =-{\frac {1}{4P^{2}}}(P^{4}+2P^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2})\,.}$$

La ecuación ( 8 ) contiene tanto el momento total como el momento${\displaystyle P}$[a través del${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$] y el momento relativo${\displaystyle p}$. Usando la ecuación ( 4 ), se obtiene la ecuación de autovalores.

de modo que${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$se convierte en la función triangular estándar que muestra la cinemática relativista exacta de dos cuerpos:

$${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})={\frac {1}{4w^{2}}}\left\{w^{4}-2w^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}\right\}\,.}$$

Con la restricción anterior Eqs.( 7 ) en${\displaystyle \Psi }$entonces${\displaystyle p^{2}\Psi =p_{\perp }^{2}\Psi }$dónde${\displaystyle p_{\perp }=p-p\cdot PP/P^{2}}$Esto permite escribir la ecuación ( 9 ) en forma de ecuación de autovalores. $${\displaystyle \{p_{\perp }^{2}+\Phi (x_{\perp })\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$$

tiene una estructura muy similar a la de la ecuación de Schrödinger no relativista tridimensional ordinaria . Es una ecuación manifiestamente covariante, pero al mismo tiempo su estructura tridimensional es evidente. Los cuadrivectores${\displaystyle p_{\perp }^{\mu }}$y${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }}$tienen solo tres componentes independientes ya que $${\displaystyle P\cdot p_{\perp }=P\cdot x_{\perp }=0\,.}$$ La similitud con la estructura tridimensional de la ecuación de Schrödinger no relativista se puede hacer más explícita escribiendo la ecuación en el sistema de coordenadas cm en el que $${\displaystyle P=(w,{\vec {0}}),}$$$${\displaystyle p_{\perp }=(0,{\vec {p}}),}$$$${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}).}$$

Comparación de la forma resultante

con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

hace explícita esta similitud.

Una estructura plausible para el cuasipotencial${\displaystyle \Phi }$se puede encontrar observando que la ecuación de Klein-Gordon de un cuerpo${\displaystyle (p^{2}+m^{2})\psi =({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2})\psi =0}$toma la forma${\displaystyle ({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2}+2mS+S^{2}+2\varepsilon A-A^{2})\psi =0~}$cuando se introduce una interacción escalar y una interacción vectorial de tipo temporal mediante${\displaystyle m\rightarrow m+S~}$y${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon -A}$. En el caso de dos cuerpos, argumentos separados de la teoría clásica ^{[ 29 ] [ 30 ]} y de la teoría cuántica de campos ^{[ 4 ]} muestran que cuando se incluyen las interacciones escalares y vectoriales del mundo entonces${\displaystyle \Phi }$depende de dos funciones invariantes subyacentes${\displaystyle S(r)}$y${\displaystyle A(r)}$a través de la forma potencial de dos cuerpos tipo Klein-Gordon con la misma estructura general, es decir $${\displaystyle \Phi =2m_{w}S+S^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2}.}$$ Esas teorías de campo producen además las formas dependientes de la energía del centro $${\displaystyle m_{w}=m_{1}m_{2}/w,}$$ y $${\displaystyle \varepsilon _{w}=(w^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2w,}$$ las que Tododov introdujo como la masa reducida relativista y la energía efectiva de partícula para un sistema de dos cuerpos. De manera similar a lo que sucede en el problema de dos cuerpos no relativista, en el caso relativista tenemos el movimiento de esta partícula efectiva teniendo lugar como si estuviera en un campo externo (aquí generado por${\displaystyle S}$y${\displaystyle A}$). Las dos variables cinemáticas${\displaystyle m_{w}}$y${\displaystyle \varepsilon _{w}}$están relacionados entre sí por la condición de Einstein $${\displaystyle \varepsilon _{w}^{2}-m_{w}^{2}=b^{2}(w),}$$ Si se introducen los cuadrivectores, incluyendo una interacción vectorial${\displaystyle A^{\mu }}$$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\varepsilon _{w}{\hat {P}}+p,}$$$${\displaystyle A^{\mu }={\hat {P}}^{\mu }A(r)}$$$${\displaystyle r={\sqrt {x_{\perp }^{2}}}\,,}$$ y la interacción escalar${\displaystyle S(r)}$, entonces la siguiente forma clásica de restricción mínima $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left({\mathfrak {p-}}A\right)^{2}+(m_{w}+S)^{2}\approx 0\,,}$$ reproduce

Nótese que la interacción en esta restricción de "partícula reducida" depende de dos escalares invariantes,${\displaystyle A(r)}$y${\displaystyle S(r)}$, una que guía la interacción vectorial de tipo temporal y la otra la interacción escalar.

¿Existe un conjunto de ecuaciones de Klein-Gordon de dos cuerpos análogas a las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos? Las restricciones relativistas clásicas análogas a las ecuaciones cuánticas de Dirac de dos cuerpos (discutidas en la introducción) y que tienen la misma estructura que la forma de Klein-Gordon de un cuerpo anterior son: $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=(p_{1}-A_{1})^{2}+(m_{1}+S_{1})^{2}=p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}\approx 0}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=(p_{1}-A_{2})^{2}+(m_{2}+S_{2})^{2}=p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}\approx 0,}$$$${\displaystyle p_{1}=\varepsilon _{1}{\hat {P}}+p;~~p_{2}=\varepsilon _{2}{\hat {P}}-p~.}$$ Definir estructuras que muestren interacciones vectoriales y escalares de tipo temporal. $${\displaystyle \pi _{1}=p_{1}-A_{1}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1})+p],}$$$${\displaystyle \pi _{2}=p_{2}-A_{2}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{1})-p],}$$$${\displaystyle M_{1}=m_{1}+S_{1},}$$$${\displaystyle M_{2}=m_{2}+S_{2},}$$ da $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}.}$$ Imponente $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}&=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })\\&=-2p_{1}\cdot A_{1}+A_{1}^{2}+2m_{1}S_{1}+S_{1}^{2}\\&=-2p_{2}\cdot A_{2}+A_{2}^{2}+2m_{2}S_{2}+S_{2}^{2}\\&=2\varepsilon _{w}A-A^{2}+2m_{w}S+S^{2},\end{aligned}}}$$ y utilizando la restricción${\displaystyle P\cdot p\approx 0}$, reproduce las ecuaciones ( 12 ) proporcionadas

$${\displaystyle \pi _{1}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1}\right)^{2}=-\varepsilon _{1}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$$

$${\displaystyle \pi _{2}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{2}\right)^{2}=-\varepsilon _{2}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$$$${\displaystyle M_{1}{}^{2}=m_{1}^{2}+2m_{w}S+S^{2},}$$$${\displaystyle M_{2}^{2}=m_{2}^{2}+2m_{w}S+S^{2}.}$$ Las ecuaciones de Klein-Gordon correspondientes son $${\displaystyle \left(\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2}\right)\psi =0,}$$$${\displaystyle \left(\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}\right)\psi =0,}$$ y cada uno, debido a la restricción${\displaystyle P\cdot p\approx 0,}$es equivalente a $${\displaystyle {\mathcal {H}}\psi =\left(p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\right)\psi =0.}$$

Para el sistema de dos cuerpos existen numerosas formas covariantes de interacción. La forma más sencilla de analizarlas es desde el punto de vista de las estructuras de la matriz gamma de los vértices de interacción correspondientes de los diagramas de intercambio de partículas individuales. Para los intercambios escalares, pseudoescalares, vectoriales, pseudovectoriales y tensoriales, dichas estructuras matriciales son, respectivamente: $${\displaystyle 1_{1}1_{2};\gamma _{51}\gamma _{52};\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{2\mu };\gamma _{51}\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{52}\gamma _{2\mu };\sigma _{1\mu \nu }\sigma _{2}^{\mu \nu },}$$ en el cual $${\displaystyle \sigma _{i\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma _{i\mu },\gamma _{i\nu }];i=1,2.}$$ La forma de las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos que incorpora con mayor facilidad cada una de estas interacciones, o cualquier número de ellas, es la denominada forma hiperbólica de la TBDE. ^{[ 31 ]} Para interacciones escalares y vectoriales combinadas, estas formas se reducen finalmente a las que se presentan en el primer conjunto de ecuaciones de este artículo. Dichas ecuaciones se denominan formas de tipo campo externo porque su apariencia es individualmente la misma que la de la ecuación de Dirac usual de un cuerpo en presencia de campos escalares y vectoriales externos.

La forma hiperbólica más general para TBDE compatible es $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{1}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{2})\psi =0,}$$

dónde${\displaystyle \Delta }$representa cualquier interacción invariante individualmente o en combinación. Tiene una estructura matricial además de dependencia de coordenadas. Dependiendo de cuál sea esa estructura matricial, se tienen interacciones escalares, pseudoescalares, vectoriales, pseudovectoriales o tensoriales. Los operadores${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {S} _{2}}$son restricciones auxiliares que satisfacen $${\displaystyle \mathbf {S} _{1}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{10}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{20}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$$

en el cual el${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}}$son los operadores de Dirac libres

Esto, a su vez, conduce a las dos condiciones de compatibilidad. $${\displaystyle \lbrack {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}]\psi =0,}$$ y $${\displaystyle \lbrack \mathbf {S} _{1},\mathbf {S} _{2}]\psi =0,}$$ siempre que${\displaystyle \Delta =\Delta (x_{\perp }).}$Estas condiciones de compatibilidad no restringen la estructura de la matriz gamma de${\displaystyle \Delta }$. Esa estructura matricial está determinada por el tipo de estructura vértice-vértice incorporada en la interacción. Para los dos tipos de interacciones invariantes${\displaystyle \Delta }$En este artículo se enfatiza que son $${\displaystyle \Delta _{\mathcal {L}}(x_{\perp })=-1_{1}1_{2}{\frac {{\mathcal {L}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{scalar}},}$$$${\displaystyle \Delta _{\mathcal {G}}(x_{\perp })=\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}{\frac {{\mathcal {G}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{vector}},}$$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}=-\gamma _{51}\gamma _{52}.}$$

Para interacciones escalares y vectoriales independientes generales $${\displaystyle \Delta (x_{\perp })=\Delta _{\mathcal {L}}+\Delta _{\mathcal {G}}.}$$ La interacción vectorial especificada por la estructura matricial anterior para una interacción de tipo electromagnético correspondería al calibre de Feynman.

Si se inserta la ecuación ( 14 ) en ( 13 ) y se traslada el operador de Dirac libre ( 15 ) a la derecha de las funciones hiperbólicas de la matriz y se utilizan conmutadores y anticonmutadores estándar de la matriz gamma y${\displaystyle \cosh ^{2}\Delta -\sinh ^{2}\Delta =1}$uno llega a${\displaystyle \left(\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\right),}$$${\displaystyle {\big (}G\gamma _{1}\cdot {\mathcal {P}}_{2}-E_{1}\beta _{1}+M_{1}-G{\frac {i}{2}}\Sigma _{2}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{2}-{\mathcal {G}}\beta _{1})\gamma _{52}{\big )}\psi =0,}$$

en el cual $${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}},}$$$${\displaystyle \beta _{i}=-\gamma _{i}\cdot {\hat {P}},}$$$${\displaystyle \gamma _{i\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }+{\hat {P}}^{\mu }{\hat {P}}^{\nu })\gamma _{\nu i},}$$$${\displaystyle \Sigma _{i}=\gamma _{5i}\beta _{i}\gamma _{\perp i},}$$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\equiv p_{\perp }-{\frac {i}{2}}\Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}\,,\quad i=1,2.}$$ La estructura (covariante) de estas ecuaciones es análoga a la de una ecuación de Dirac para cada una de las dos partículas, con${\displaystyle M_{i}}$y${\displaystyle E_{i}}$interpretando los papeles que${\displaystyle m+S}$y${\displaystyle \varepsilon -A}$en la ecuación de Dirac de una sola partícula $${\displaystyle (\mathbf {\gamma } \cdot \mathbf {p-} \beta (\varepsilon -A)+m+S)\psi =0.}$$ Además de la parte cinética habitual${\displaystyle \gamma _{1}\cdot p_{\perp }}$y porciones de potencial escalar y vectorial de tipo temporal, las modificaciones dependientes del espín que involucran${\displaystyle \Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}}$y el último conjunto de términos derivados son efectos de retroceso de dos cuerpos ausentes para la ecuación de Dirac de un cuerpo pero esenciales para la compatibilidad (consistencia) de las ecuaciones de dos cuerpos. Las conexiones entre lo que se denomina invariantes de vértice${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {G}}}$y los potenciales de masa y energía${\displaystyle M_{i},E_{i}}$son $${\displaystyle M_{1}=m_{1}\cosh {\mathcal {L}}+m_{2}\sinh {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle M_{2}=m_{2}\cosh {\mathcal {L}}+m_{1}\sinh {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle E_{1}=\varepsilon _{1}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{2}\sinh {\mathcal {G}},}$$$${\displaystyle E_{2}=\varepsilon _{2}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{1}\sinh {\mathcal {G}}.}$$ Comparando la ecuación ( 16 ) con la primera ecuación de este artículo, se encuentra que las interacciones vectoriales dependientes del espín son $${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{1}-E_{1}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }+(1-G)p_{\perp }^{\mu }-{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{2}\gamma _{2}^{\mu },}$$$${\displaystyle A_{2}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{2}-E_{2}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }-(1-G)p_{\perp }^{\mu }+{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{1}\gamma _{1}^{\mu },}$$ Tenga en cuenta que la primera parte de los potenciales vectoriales es de tipo temporal (paralela a${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$mientras que la siguiente porción es de tipo espacial (perpendicular a${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$Los potenciales escalares dependientes del espín${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$son $${\displaystyle {\tilde {S}}_{1}=M_{1}-m_{1}-{\frac {i}{2}}G\gamma _{2}\cdot \partial {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle {\tilde {S}}_{2}=M_{2}-m_{2}+{\frac {i}{2}}G\gamma _{1}\cdot \partial {\mathcal {L}}.}$$

La parametrización para${\displaystyle {\mathcal {L}}}$y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$Aprovecha las formas del potencial externo efectivo de Todorov (como se ve en la sección anterior sobre las ecuaciones de Klein-Gordon de dos cuerpos) y, al mismo tiempo, muestra la forma límite estática correcta para la reducción de Pauli a una forma tipo Schrödinger. La elección de estas parametrizaciones (al igual que con las ecuaciones de Klein-Gordon de dos cuerpos) está estrechamente ligada a las teorías de campos clásicas o cuánticas para interacciones escalares y vectoriales separadas. Esto equivale a trabajar en el calibre de Feynman con la relación más simple entre las partes espacio-temporales de la interacción vectorial. Los potenciales de masa y energía son respectivamente $${\displaystyle M_{i}^{2}=m_{i}^{2}+\exp(2{\mathcal {G}})(2m_{w}S+S^{2}),}$$$${\displaystyle E_{i}^{2}=\exp(2{\mathcal {G}}(A))\left(\varepsilon _{i}-A\right)^{2},}$$ de modo que $${\displaystyle \exp {\mathcal {L}}=\exp({\mathcal {L}}(S,A))={\frac {M_{1}+M_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$$$${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}}=\exp({\mathcal {G}}(A))={\sqrt {\frac {1}{(1-2A/w)}}}.}$$

La TBDE se puede aplicar fácilmente a sistemas de dos cuerpos como el positronio , el muonio , los átomos similares al hidrógeno , el quarkonio y el sistema de dos nucleones . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} Estas aplicaciones involucran solo dos partículas y no implican la creación o aniquilación de partículas más allá de las dos. Solo involucran procesos elásticos. Debido a la conexión entre los potenciales utilizados en la TBDE y la teoría cuántica de campos correspondiente, cualquier corrección radiativa a la interacción de orden más bajo se puede incorporar a esos potenciales. Para ver cómo sucede esto, consideremos, por contraste, cómo se calculan las amplitudes de dispersión sin la teoría cuántica de campos. Sin la teoría cuántica de campos, uno debe llegar a los potenciales mediante argumentos clásicos o consideraciones fenomenológicas. Una vez que se tiene el potencial${\displaystyle V}$entre dos partículas, entonces se puede calcular la amplitud de dispersión${\displaystyle T}$de la ecuación de Lippmann-Schwinger ^{[ 35 ]}$${\displaystyle T+V+VGT=0,}$$ en el cual${\displaystyle G}$es una función de Green determinada a partir de la ecuación de Schrödinger. Debido a la similitud entre la ecuación de Schrödinger Ec. ( 11 ) y la ecuación de restricción relativista ( 10 ), se puede derivar el mismo tipo de ecuación que la anterior. $${\displaystyle {\mathcal {T}}+\Phi +\Phi {\mathcal {G}}{\mathcal {T}}=0,}$$ llamada ecuación cuasipotencial con una${\displaystyle {\mathcal {G}}}$muy similar a la dada en la ecuación de Lippmann-Schwinger. La diferencia es que con la ecuación cuasipotencial, se parte de las amplitudes de dispersión.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$de la teoría cuántica de campos, según se determina a partir de los diagramas de Feynman, y deduce el cuasipotencial Φ perturbativamente. Luego se puede usar ese Φ en ( 10 ) para calcular los niveles de energía de sistemas de dos partículas que están implícitos en la teoría de campos. La dinámica de restricciones proporciona uno de muchos, de hecho un número infinito de, diferentes tipos de ecuaciones cuasipotenciales (truncamientos tridimensionales de la ecuación de Bethe-Salpeter) que difieren entre sí por la elección de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. ^{[ 36 ]} La solución relativamente simple al problema del tiempo y la energía relativos a partir de la restricción generalizada de la capa de masa para dos partículas, no tiene una extensión simple, como la presentada aquí con la${\displaystyle x_{\perp }}$variable, ya sea a dos partículas en un campo externo ^{[ 37 ]} o a 3 o más partículas. Sazdjian ha presentado una receta para esta extensión cuando las partículas están confinadas y no pueden dividirse en grupos de un número menor de partículas sin interacciones entre grupos ^{[ 38 ].} Lusanna ha desarrollado un enfoque, uno que no involucra restricciones generalizadas de la capa de masa sin tales restricciones, que se extiende a N cuerpos con o sin campos. Está formulado en hipersuperficies de tipo espacial y cuando se restringe a la familia de hiperplanos ortogonales al momento total de tipo temporal da lugar a una formulación covariante intrínseca de 1 tiempo (sin variables de tiempo relativas) llamada la "forma instantánea de marco de reposo" de la dinámica, ^{[ 39 ] [ 40 ].}