flujo bidimensional

Considerando un flujo bidimensional en el${\displaystyle XY}$plano, la velocidad del flujo en cualquier punto${\displaystyle (x,y,z)}$en ese momento${\displaystyle t}$se puede expresar como –

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.}$

Considerando un flujo bidimensional en el${\displaystyle r-\theta }$plano, la velocidad del flujo en un punto${\displaystyle (r,\theta ,z)}$en un momento${\displaystyle t}$se puede expresar como –

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}}+v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

Vorticidad en flujos bidimensionales en el${\displaystyle XY}$El plano se puede expresar como:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _ {z}{\hat {\boldsymbol {k}}},}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.}$

Vorticidad en flujos bidimensionales en el${\displaystyle r-\theta }$El plano se puede expresar como:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.}$

Una fuente lineal es una línea desde la cual aparece un fluido que fluye en planos perpendiculares a dicha línea. Al considerar flujos bidimensionales en el plano perpendicular, una fuente lineal se presenta como una fuente puntual . Por simetría, podemos suponer que el fluido fluye radialmente hacia afuera desde la fuente. La intensidad de una fuente se puede expresar mediante el caudal volumétrico.${\displaystyle Q}$que genera.

De forma similar a una fuente lineal, un sumidero lineal es una línea que absorbe el fluido que fluye hacia ella desde planos perpendiculares a ella. Cuando consideramos flujos bidimensionales en el plano perpendicular, aparece como un sumidero puntual. Por simetría, asumimos que el fluido fluye radialmente hacia el sumidero. La intensidad de un sumidero viene dada por el caudal volumétrico.${\displaystyle Q}$del fluido que absorbe.

Un campo de flujo radialmente simétrico dirigido hacia afuera desde un punto común se denomina flujo fuente. El punto común central es la fuente lineal descrita anteriormente. El fluido se suministra a un caudal constante.${\displaystyle Q}$Desde la fuente. A medida que el fluido fluye hacia afuera, el área de flujo aumenta. Como resultado, para satisfacer la ecuación de continuidad , la velocidad disminuye y las líneas de corriente se extienden. La velocidad en todos los puntos a una distancia dada de la fuente es la misma.

La velocidad del flujo de fluido se puede expresar como:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}.}$

Podemos deducir la relación entre el caudal y la velocidad del flujo. Consideremos un cilindro de altura unitaria, coaxial con la fuente. El caudal de emisión de fluido de la fuente debe ser igual al caudal de salida del fluido por la superficie del cilindro.

${\displaystyle \int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,}$

${\displaystyle \therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

La función de corriente asociada al flujo de origen es:

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

El flujo estacionario desde una fuente puntual es irrotacional y puede derivarse del potencial de velocidad . El potencial de velocidad viene dado por:

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

El flujo de sumidero es opuesto al flujo de fuente. Las líneas de corriente son radiales y se dirigen hacia la línea de origen. A medida que nos acercamos al sumidero, el área de flujo disminuye. Para que se cumpla la ecuación de continuidad , las líneas de corriente se agrupan y la velocidad aumenta a medida que nos acercamos a la fuente. Al igual que en el flujo de fuente, la velocidad es igual en todos los puntos equidistantes del sumidero.

La velocidad del flujo alrededor del sumidero se puede expresar como:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},}$

${\displaystyle v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

La función de corriente asociada al flujo de sumidero es:

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

El flujo alrededor de un sumidero lineal es irrotacional y puede derivarse del potencial de velocidad. El potencial de velocidad alrededor de un sumidero puede expresarse como:

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

Un vórtice es una región donde el fluido fluye alrededor de un eje imaginario. Para un vórtice irrotacional, el flujo en cada punto es tal que una pequeña partícula colocada allí experimenta una traslación pura y no rota. La velocidad varía inversamente con el radio en este caso. La velocidad tenderá a${\displaystyle \inf }$en${\displaystyle r=0}$Esa es la razón por la que el centro es un punto singular. La velocidad se expresa matemáticamente como:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.}$

Dado que el fluido fluye alrededor de un eje,

${\displaystyle v_{r}=0.}$

La función de corriente para vórtices irrotacionales viene dada por:

${\displaystyle \psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.}$

Mientras que el potencial de velocidad se expresa como:

${\displaystyle \phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .}$

Para la curva cerrada que encierra el origen, circulación ( integral de línea del campo de velocidad)${\displaystyle \Gamma =K}$y para cualquier otra curva cerrada,${\displaystyle \Gamma =0}$

Un doblete puede considerarse como una combinación de una fuente y un sumidero de igual intensidad mantenidos a una distancia infinitesimalmente pequeña. Por lo tanto, se puede observar que las líneas de corriente comienzan y terminan en el mismo punto. La intensidad de un doblete formado por una fuente y un sumidero de igual intensidad${\displaystyle Q}$mantuvieron la distancia${\displaystyle ds}$está dado por –

${\displaystyle \Lambda =Q{\frac {ds}{2\pi }}.}$

La velocidad del flujo de fluido se puede expresar como:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{r}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },}$

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\cos \theta ,}$

${\displaystyle v_{\theta }=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\sin \theta .}$

Las ecuaciones y la gráfica corresponden a la condición límite de${\displaystyle ds\rightarrow 0}$

El concepto de doblete es muy similar al de dipolos eléctricos y dipolos magnéticos en electrodinámica .