Esfera

Una ecuación paramétrica para la esfera con radio${\displaystyle r>0}$y centro${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$puede parametrizarse utilizando funciones trigonométricas . ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}$$

Los símbolos utilizados aquí son los mismos que los utilizados en coordenadas esféricas . r es constante, mientras que θ varía de 0 a π y${\displaystyle \varphi }$varía de 0 a 2π .

En tres dimensiones, el volumen dentro de una esfera (es decir, el volumen de una bola , pero clásicamente denominado volumen de una esfera) es

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}}$

donde r es el radio y d es el diámetro de la esfera. Arquímedes derivó por primera vez esta fórmula ( Sobre la esfera y el cilindro, c. 225 a. C.) al demostrar que el volumen dentro de una esfera es el doble del volumen entre la esfera y el cilindro circunscrito de esa esfera (que tiene la altura y el diámetro iguales al diámetro de la esfera). ^{[ 6 ]} Esto se puede probar inscribiendo un cono boca abajo en una semiesfera, observando que el área de una sección transversal del cono más el área de una sección transversal de la esfera es igual al área de la sección transversal del cilindro circunscrito, y aplicando el principio de Cavalieri . ^{[ 7 ]} Esta fórmula también se puede derivar utilizando el cálculo integral (es decir, la integración de discos ) para sumar los volúmenes de un número infinito de discos circulares de espesor infinitesimalmente pequeño apilados uno al lado del otro y centrados a lo largo del eje x desde x = − r hasta x = r , suponiendo que la esfera de radio r está centrada en el origen.

Para la mayoría de los propósitos prácticos, el volumen dentro de una esfera inscrita en un cubo se puede aproximar como el 52,4% del volumen del cubo, ya que V = ⁠ π / 6 ⁠ d ³ , donde d es el diámetro de la esfera y también la longitud de un lado del cubo y ⁠ π / 6 ⁠ ≈ 0,5236. Por ejemplo, una esfera con un diámetro de 1 m tiene el 52,4% del volumen de un cubo con una longitud de arista de 1 m, o aproximadamente 0,524 m ³ .     

El área de la superficie de una esfera de radio r es:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

Arquímedes derivó por primera vez esta fórmula ^{[ 9 ]} del hecho de que la proyección sobre la superficie lateral de un cilindro circunscrito conserva el área. ^{[ 10 ]} Otro enfoque para obtener la fórmula proviene del hecho de que es igual a la derivada de la fórmula para el volumen con respecto a r porque el volumen total dentro de una esfera de radio r puede pensarse como la suma del área superficial de un número infinito de capas esféricas de espesor infinitesimal apiladas concéntricamente una dentro de otra desde radio 0 hasta radio r . En el espesor infinitesimal, la discrepancia entre el área superficial interna y externa de cualquier capa dada es infinitesimal, y el volumen elemental en el radio r es simplemente el producto del área superficial en el radio r y el espesor infinitesimal.

La esfera posee la menor área superficial de todas las superficies que encierran un volumen dado, y encierra el mayor volumen entre todas las superficies cerradas con un área superficial dada. ^{[ 11 ]} Por lo tanto, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, las burbujas y las pequeñas gotas de agua son aproximadamente esféricas porque la tensión superficial minimiza localmente el área superficial.

El área superficial relativa a la masa de una bola se llama área superficial específica y se puede expresar a partir de las ecuaciones indicadas anteriormente como:

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}}$

donde ρ es la densidad (la relación entre la masa y el volumen).

Una esfera puede construirse como la superficie formada al girar un círculo media revolución alrededor de cualquiera de sus diámetros ; esto es muy similar a la definición tradicional de esfera que aparece en los Elementos de Euclides . Dado que un círculo es un tipo especial de elipse , una esfera es un tipo especial de elipsoide de revolución . Si se reemplaza el círculo por una elipse girada sobre su eje mayor , la figura se convierte en un esferoide prolato ; si se gira sobre el eje menor, en un esferoide oblato. ^{[ 12 ]}

Una esfera está determinada unívocamente por cuatro puntos que no son coplanares . De manera más general, una esfera está determinada unívocamente por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. ^{[ 13 ]} Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no colineales determinan un círculo único en un plano.

En consecuencia, una esfera está determinada unívocamente por (es decir, pasa por) un círculo y un punto que no se encuentra en el plano de ese círculo.

Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas , se puede observar que dos esferas se intersecan en un círculo, y el plano que contiene dicho círculo se denomina plano radical de las esferas que se intersecan. ^{[ 14 ]} Si bien el plano radical es un plano real, el círculo puede ser imaginario (las esferas no tienen ningún punto real en común) o consistir en un único punto (las esferas son tangentes en ese punto). ^{[ 15 ]}

El ángulo entre dos esferas en un punto de intersección real es el ángulo diedro determinado por los planos tangentes a las esferas en ese punto. Dos esferas se intersecan con el mismo ángulo en todos los puntos de su círculo de intersección. ^{[ 16 ]} Se intersecan en ángulo recto (son ortogonales ) si y solo si el cuadrado de la distancia entre sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios. ^{[ 4 ]}

En su libro Geometría y la imaginación , David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describen once propiedades de la esfera y analizan si estas propiedades la determinan de forma unívoca. ^{[ 17 ]} Varias propiedades se cumplen para el plano , que puede considerarse como una esfera de radio infinito. Estas propiedades son:

1. Todos los puntos de la esfera se encuentran a la misma distancia de un punto fijo. Además, la razón entre la distancia de sus puntos a dos puntos fijos es constante.

   La primera parte es la definición habitual de la esfera y la determina de forma unívoca. La segunda parte se deduce fácilmente y sigue un resultado similar al de Apolonio de Perga para el círculo . Esta segunda parte también es válida para el plano .

2. Los contornos y las secciones planas de la esfera son círculos.

   Esta propiedad define la esfera de forma única.

3. La esfera tiene anchura constante y circunferencia constante.

   El ancho de una superficie es la distancia entre pares de planos tangentes paralelos. Numerosas superficies convexas cerradas tienen un ancho constante, como por ejemplo el cuerpo de Meissner . La circunferencia de una superficie es la circunferencia del límite de su proyección ortogonal sobre un plano. Cada una de estas propiedades implica a la otra.

4. Todos los puntos de una esfera son umbilicales .

   En cualquier punto de una superficie, una dirección normal es perpendicular a la superficie, ya que en la esfera estas son las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene la normal con la superficie formará una curva llamada sección normal, y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies, las diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de estas se denominan curvaturas principales . Cualquier superficie cerrada tendrá al menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales . En un punto umbilical, todas las curvaturas de sección son iguales; en particular, las curvaturas principales son iguales. Los puntos umbilicales pueden considerarse como los puntos donde la superficie se aproxima mucho a una esfera.

   En la esfera, las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, por lo que cada punto es un umbilical. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.

5. La esfera no tiene una superficie de centros.

   Para una sección normal dada, existe un círculo de curvatura igual a la curvatura de la sección, tangente a la superficie, y cuyas líneas centrales se encuentran sobre la línea normal. Por ejemplo, los dos centros correspondientes a las curvaturas máxima y mínima de la sección se denominan puntos focales , y el conjunto de todos estos centros forma la superficie focal .

   En la mayoría de las superficies, la superficie focal forma dos láminas, cada una de las cuales es una superficie, que se unen en puntos umbilicales. Existen algunos casos especiales:

   * Para superficies de canal, una lámina forma una curva y la otra lámina es una superficie.

   * Para conos , cilindros, toros y cíclidas, ambas hojas forman curvas.

   * En la esfera, el centro de cada círculo osculador se encuentra en el centro de la esfera y la superficie focal forma un único punto. Esta propiedad es exclusiva de la esfera.

6. Todas las geodésicas de la esfera son curvas cerradas.

   Las geodésicas son curvas en una superficie que representan la distancia mínima entre dos puntos. Son una generalización del concepto de línea recta en el plano. En la esfera, las geodésicas son círculos máximos. Muchas otras superficies comparten esta propiedad.

7. De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es el que tiene la menor superficie; de ​​todos los sólidos que tienen una superficie dada, la esfera es el que tiene el mayor volumen.

   Esto se deduce de la desigualdad isoperimétrica . Estas propiedades definen la esfera de forma unívoca y se pueden observar en las burbujas de jabón : una burbuja de jabón encierra un volumen fijo, y la tensión superficial minimiza su área superficial para ese volumen. Por lo tanto, una burbuja de jabón que flota libremente se aproxima a una esfera (aunque fuerzas externas como la gravedad distorsionan ligeramente su forma). También se puede observar en planetas y estrellas, donde la gravedad minimiza el área superficial de los grandes cuerpos celestes.

8. La esfera tiene la curvatura media total más pequeña entre todos los sólidos convexos con una superficie dada.

   La curvatura media es el promedio de las dos curvaturas principales, que es constante porque las dos curvaturas principales son constantes en todos los puntos de la esfera.

9. La esfera tiene una curvatura media constante.

   La esfera es la única superficie incrustada que carece de límites o singularidades y presenta una curvatura media positiva constante. Otras superficies inmersas similares, como las superficies mínimas, tienen una curvatura media constante.

10. La esfera tiene una curvatura gaussiana positiva constante.

    La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar midiendo longitudes y ángulos, y es independiente de cómo se inserta la superficie en el espacio. Por lo tanto, doblar una superficie no altera la curvatura gaussiana, y se pueden obtener otras superficies con curvatura gaussiana positiva constante cortando una pequeña hendidura en la esfera y doblándola. Todas estas otras superficies tendrían límites, y la esfera es la única superficie que carece de límite con curvatura gaussiana positiva constante. La pseudoesfera es un ejemplo de una superficie con curvatura gaussiana negativa constante.

11. La esfera se transforma en sí misma mediante una familia de movimientos rígidos con tres parámetros.

    Al rotar una esfera unitaria en el origen alrededor de cualquier eje, esta se transforma en sí misma. Cualquier rotación alrededor de una línea que pasa por el origen puede expresarse como una combinación de rotaciones alrededor del sistema de coordenadas tridimensional (véanse los ángulos de Euler ). Por lo tanto, existe una familia de rotaciones de tres parámetros, de modo que cada rotación transforma la esfera en sí misma; esta familia es el grupo de rotación SO(3) . El plano es la única otra superficie con una familia de transformaciones de tres parámetros (traslaciones a lo largo de los ejes x e y y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con familias de dos parámetros de movimientos rígidos, y las superficies de revolución y helicoides son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Los elementos básicos de la geometría euclidiana plana son los puntos y las líneas . En la esfera, los puntos se definen en el sentido habitual. El análogo de la "línea" es la geodésica , que es un círculo máximo ; la característica definitoria de un círculo máximo es que el plano que contiene todos sus puntos también pasa por el centro de la esfera. Al medir por longitud de arco, se observa que el camino más corto entre dos puntos situados en la esfera es el segmento más corto del círculo máximo que incluye dichos puntos.

Muchos teoremas de la geometría clásica también son válidos para la geometría esférica, pero no todos, ya que la esfera no satisface algunos de los postulados de la geometría clásica , incluido el postulado de las paralelas . En trigonometría esférica , los ángulos se definen entre círculos máximos. La trigonometría esférica difiere de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico siempre supera los 180  grados. Además, dos triángulos esféricos semejantes son congruentes.

Cualquier par de puntos en una esfera que se encuentran en una línea recta que pasa por el centro de la esfera (es decir, el diámetro) se denominan puntos antipodales ; en la esfera, la distancia entre ellos es exactamente la mitad de la longitud de la circunferencia. ^{[ nota 2 ]} Cualquier otro par de puntos distintos (es decir, no antipodales) en una esfera 

• yacen sobre un círculo máximo único,
• segmentarlo en un arco menor (es decir, más corto) y un arco mayor (es decir, más largo) , y
• La longitud del arco menor será la distancia más corta entre ellos en la esfera. ^{[ nota 3 ]}

La geometría esférica es una forma de geometría elíptica , que junto con la geometría hiperbólica conforma la geometría no euclidiana .

La esfera es una superficie lisa con curvatura gaussiana constante en cada punto, igual a ¹ / r² . ^{[ 9 ]} Según el Teorema Egregium de Gauss , esta curvatura es independiente de la posición de la esfera en el espacio tridimensional. Asimismo, según Gauss, una esfera no puede proyectarse sobre un plano manteniendo tanto su área como sus ángulos. Por lo tanto, cualquier proyección cartográfica introduce algún tipo de distorsión.

Una esfera de radio r tiene área elemento${\displaystyle dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$Esto se puede obtener a partir del elemento de volumen en coordenadas esféricas con r constante. ^{[ 9 ]}

Una esfera de cualquier radio centrada en cero es una superficie integral de la siguiente forma diferencial :

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

Esta ecuación refleja que el vector de posición y el plano tangente en un punto son siempre ortogonales entre sí. Además, el vector normal que apunta hacia afuera es igual al vector de posición escalado por 1/r .

En geometría riemanniana , la conjetura del área de llenado afirma que el hemisferio es el llenado isométrico óptimo (de área mínima) del círculo riemanniano .

Sorprendentemente, es posible invertir una esfera ordinaria en un espacio tridimensional, con posibles autointersecciones, pero sin crear pliegues, en un proceso llamado eversión de esfera .

El cociente antipodal de la esfera es la superficie denominada plano proyectivo real , que también puede considerarse como el hemisferio norte con los puntos antipodales del ecuador identificados.

Los círculos en la esfera, al igual que los círculos en el plano, están formados por todos los puntos que se encuentran a cierta distancia de un punto fijo en la esfera. La intersección de una esfera y un plano es un círculo, un punto o el vacío. ^{[ 18 ]} Los círculos máximos son la intersección de la esfera con un plano que pasa por su centro; los demás se denominan círculos menores.

Las superficies más complejas también pueden intersecar una esfera en círculos: la intersección de una esfera con una superficie de revolución cuyo eje contiene el centro de la esfera (son coaxiales ) consiste en círculos y/o puntos, si no está vacía. Por ejemplo, el diagrama de la derecha muestra la intersección de una esfera y un cilindro, que consta de dos círculos. Si el radio del cilindro fuera igual al de la esfera, la intersección sería un solo círculo. Si el radio del cilindro fuera mayor que el de la esfera, la intersección estaría vacía.

En navegación , una loxodromia o línea de rumbo es una trayectoria cuyo rumbo , el ángulo entre su tangente y el norte verdadero, es constante. Las loxodromias se proyectan en líneas rectas bajo la proyección de Mercator . Dos casos especiales son los meridianos , que están alineados directamente de norte a sur, y los paralelos , que están alineados directamente de este a oeste. Para cualquier otro rumbo, una loxodromia describe una espiral infinita alrededor de cada polo. Para la Tierra modelada como una esfera, o para una esfera general con un sistema de coordenadas esféricas , dicha loxodromia es una especie de espiral esférica . ^{[ 19 ]}

Otro tipo de espiral esférica es la curva de Clelia, para la cual la longitud (o acimut)${\displaystyle \varphi }$y la colatitud (o ángulo polar)${\displaystyle \theta }$están en una relación lineal ,${\displaystyle \varphi =c\theta }$⁠ . Las curvas de Clelia se proyectan en líneas rectas bajo la proyección equirrectangular . La curva de Viviani ( ⁠${\displaystyle c=1}$⁠ ) ​​es un caso especial. Las curvas Clelia aproximan la trayectoria terrestre de los satélites en órbita polar .

El análogo de una sección cónica en la esfera es una cónica esférica , una curva cuártica que puede definirse de varias maneras equivalentes.

• La intersección de una esfera con un cono cuadrático cuyo vértice es el centro de la esfera.
• La intersección de una esfera con un cilindro elíptico o hiperbólico cuyo eje pasa por el centro de la esfera.
• El lugar geométrico de los puntos cuya suma o diferencia de distancias de círculo máximo a un par de focos es constante.

Muchos teoremas relacionados con las secciones cónicas planas también se extienden a las cónicas esféricas.

Si una esfera es intersectada por otra superficie, pueden formarse curvas esféricas más complejas.

Ejemplo

esfera-cilindro

La intersección de la esfera con ecuación${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$y el cilindro con ecuación${\displaystyle \;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;}$No se trata solo de uno o dos círculos. Es la solución del sistema de ecuaciones no lineales.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}$

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .}$

(Ver curva implícita y diagrama)

Un elipsoide es una esfera que ha sido estirada o comprimida en una o más direcciones. Más precisamente, es la imagen de una esfera bajo una transformación afín . Un elipsoide guarda la misma relación con la esfera que una elipse con un círculo.

Las esferas pueden generalizarse a espacios de cualquier número de dimensiones . Para cualquier número natural n , una n -esfera, a menudo denotada S ^{‍ n} , es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano de ( n + 1 ) dimensiones que se encuentran a una distancia fija r de un punto central de ese espacio, donde r es, como antes, un número real positivo. En particular:

• S ^{‍ 0} : una 0-esfera consta de dos puntos discretos, − r y r
• S ^{‍ 1} : una 1-esfera es un círculo de radio r
• S ^{‍ 2} : una 2-esfera es una esfera ordinaria
• S ^{‍ 3} : una 3-esfera es una esfera en el espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Las esferas para n > 2 a veces se denominan hiperesferas .

La n -esfera de radio unitario centrada en el origen se denota por S ^{‍ n} y a menudo se la denomina simplemente "la" n- esfera. La esfera ordinaria es una 2-esfera, ya que es una superficie bidimensional incrustada en un espacio tridimensional.

En topología , la n -esfera es un ejemplo de variedad topológica compacta sin frontera . Una esfera topológica no tiene por qué ser lisa ; si lo es, no tiene por qué ser difeomorfa a la esfera euclidiana (una esfera exótica ).

La esfera es la imagen inversa de un conjunto de un punto bajo la función continua ‖ x ‖ , por lo que es cerrada; S ⁿ también es acotada, por lo que es compacta según el teorema de Heine-Borel .

De forma más general, en un espacio métrico ( E , d ) , la esfera de centro x y radio r > 0 es el conjunto de puntos y tales que d ( x , y ) = r .

Si el centro es un punto distinguido que se considera el origen de E , como en un espacio normado , no se menciona en la definición ni en la notación. Lo mismo ocurre con el radio si se considera igual a uno, como en el caso de una esfera unitaria .

A diferencia de una bola , incluso una esfera grande puede ser un conjunto vacío. Por ejemplo, en Z ⁿ con métrica euclidiana , una esfera de radio r no es vacía solo si r ² se puede escribir como suma de n cuadrados de enteros .

Un octaedro es una esfera en la geometría de los taxis , y un cubo es una esfera en la geometría que utiliza la distancia de Chebyshev .

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