Esfera de dimensión infinita

En topología algebraica , la esfera de dimensión infinita es el límite inductivo de todas las esferas . Aunque ninguna esfera es contraíble , la esfera de dimensión infinita es contraíble ^{[ 1 ] [ 2 ]} y por lo tanto aparece como el espacio total de múltiples fibrados principales universales .

Con la definición habitual${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}|\|x\|_{2}=1\}}$de la esfera con la norma 2 , la inclusión canónica${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+2},x\mapsto (x,0)}$restringe a una inclusión canónica${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}}$. Por lo tanto, las esferas forman un sistema inductivo, cuyo límite inductivo: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle S^{\infty }:=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}}$

es la esfera de dimensión infinita .

La propiedad más importante de la esfera de dimensión infinita es que es contraíble . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Dado que la esfera de dimensión infinita hereda una estructura CW de las esferas, ^{[ 3 ] [ 5 ]} el teorema de Whitehead afirma que es suficiente demostrar que es débilmente contraíble . Intuitivamente, los grupos de homotopía de las esferas desaparecen uno por uno, por lo tanto, todos lo hacen para la esfera de dimensión infinita. Concretamente, cualquier mapeo${\displaystyle S^{k}\rightarrow S^{\infty }}$, debido a la compacidad de la esfera anterior, factores sobre una inclusión canónica${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{\infty }}$con${\displaystyle k<n}$sin pérdida de generalidad . Dado que${\displaystyle \pi _ {k}(S^{n})}$es trivial,${\displaystyle \pi _{k}(S^{\infty })}$También es trivial.

• ${\displaystyle S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }}$es el principio universal${\displaystyle \operatorname {O} (1)}$-paquete, por lo tanto${\displaystyle \operatorname {EO} (1)\cong S^{\infty }}$El director${\displaystyle \operatorname {O} (1)}$-manojo${\displaystyle S^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{n}}$es entonces la inclusión canónica${\displaystyle i\colon \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }}$, por eso${\displaystyle S^{n}\cong i^{*}S^{\infty }}$.
• ${\displaystyle S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$es el fibrado principal universal U(1) , por lo tanto${\displaystyle \operatorname {EU} (1)\cong \operatorname {ESO} (2)\cong S^{\infty }}$El director${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-manojo${\displaystyle S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{n}}$es entonces la inclusión canónica${\displaystyle j\colon \mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$, por eso${\displaystyle S^{2n+1}\cong j^{*}S^{\infty }}$.
• ${\displaystyle S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }}$es el fibrado SU(2) principal universal , por lo tanto${\displaystyle \operatorname {ESU} (2)\cong \operatorname {ESp} (1)\cong S^{\infty }}$El director${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-manojo${\displaystyle S^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{n}}$es entonces la inclusión canónica${\displaystyle k\colon \mathbb {H} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }}$, por eso${\displaystyle S^{4n+3}\cong k^{*}S^{\infty }}$.

• Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79160-1.
• Tom Dieck, Tammo (1 de septiembre de 2008). Topología algebraica (PDF) . ISBN 978-3037190487.

• esfera de dimensión infinita en el Laboratorio n