El problema de Behrens-Fisher

Sean X ₁ ,  ..., X _n e Y ₁ , ..., Y _m muestras i.i.d. de dos poblaciones que provienen de la misma familia de distribuciones de localización-escala . Se supone que los parámetros de escala son desconocidos y no necesariamente iguales, y el problema consiste en evaluar si los parámetros de localización pueden tratarse razonablemente como iguales. Lehmann ^{[ 1 ]} afirma que el "problema de Behrens-Fisher" se utiliza tanto para esta forma general del modelo cuando la familia de distribuciones es arbitraria, como cuando se impone la restricción a una distribución normal . Si bien Lehmann analiza varios enfoques para el problema más general, principalmente basados ​​en métodos no paramétricos, ^{[ 2 ]} la mayoría de las demás fuentes parecen utilizar el "problema de Behrens-Fisher" para referirse únicamente al caso en que se supone que la distribución es normal: la mayor parte de este artículo parte de esta suposición.   

Se han presentado soluciones al problema de Behrens-Fisher que utilizan tanto un punto de vista de inferencia clásica como bayesiana , y cualquiera de ellas sería conceptualmente inválida desde el otro punto de vista. Si la consideración se restringe únicamente a la inferencia estadística clásica, es posible buscar soluciones al problema de inferencia que sean sencillas de aplicar en la práctica, dando preferencia a esta simplicidad sobre cualquier imprecisión en las declaraciones de probabilidad correspondientes. Cuando se requiere exactitud en los niveles de significancia de las pruebas estadísticas, puede existir un requisito adicional de que el procedimiento aproveche al máximo la información estadística del conjunto de datos. Es bien sabido que se puede obtener una prueba exacta descartando aleatoriamente datos del conjunto de datos más grande hasta que los tamaños de muestra sean iguales, reuniendo los datos en pares y calculando las diferencias, y luego utilizando una prueba t ordinaria para comprobar si la diferencia de medias es cero; claramente, esto no sería "óptimo" en ningún sentido.

La tarea de especificar estimaciones de intervalo para este problema es una en la que el enfoque frecuentista no proporciona una solución exacta, aunque sí existen algunas aproximaciones. Los enfoques bayesianos estándar tampoco ofrecen una respuesta que pueda expresarse mediante fórmulas sencillas, pero los métodos computacionales modernos del análisis bayesiano permiten encontrar soluciones prácticamente exactas. Por lo tanto, el estudio del problema puede utilizarse para dilucidar las diferencias entre los enfoques frecuentista y bayesiano para la estimación de intervalos.

Ronald Fisher introdujo en 1935 la inferencia fiducial ^{[ 3 ] [ 4 ]} para aplicarla a este problema. Hizo referencia a un artículo anterior de Walter-Ulrich Behrens de 1929. Behrens y Fisher propusieron encontrar la distribución de probabilidad de

${\displaystyle T\equiv {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}}$

dónde${\displaystyle {\bar {x}}_{1}}$y${\displaystyle {\bar {x}}_{2}}$son las dos medias muestrales , y s ₁ y s ₂ son sus desviaciones estándar . Véase la distribución de Behrens-Fisher . Fisher aproximó la distribución de esta ignorando la variación aleatoria de los tamaños relativos de las desviaciones estándar,

${\displaystyle {s_{1}/{\sqrt {n_{1}}} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}.}$

La solución de Fisher provocó controversia porque no poseía la propiedad de que la hipótesis de igualdad de medias se rechazaría con probabilidad α si las medias fueran realmente iguales. Desde entonces se han propuesto muchos otros métodos para abordar el problema, y ​​se ha investigado su efecto en los intervalos de confianza resultantes. ^{[ 5 ]}

Un método ampliamente utilizado es el de BL Welch , ^{[ 6 ]} quien, al igual que Fisher, estaba en el University College London . La varianza de la diferencia media

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}$

resultados en

${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}={\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}.}$

Welch (1938) aproximó la distribución de${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$por la distribución de Pearson de tipo III (una distribución chi-cuadrado escalada ) cuyos dos primeros momentos coinciden con el de${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$Esto se aplica al siguiente número de grados de libertad (gl), que generalmente no es un número entero:

${\displaystyle \nu \approx {(\gamma _{1}+\gamma _{2})^{2} \over \gamma _{1}^{2}/(n_{1}-1)+\gamma _{2}^{2}/(n_{2}-1)}\quad {\text{ donde }}\gamma _{i}=\sigma _{i}^{2}/n_{i}.}$

Bajo la hipótesis nula de igualdad de expectativas, μ ₁ = μ ₂ , la distribución del estadístico T de Behrens-Fisher , que también depende de la razón de varianzas σ ₁ ² / σ ₂ ² , podría aproximarse ahora mediante la distribución t de Student con estos ν grados de libertad. Pero este ν contiene las varianzas poblacionales σ _i ² , y estas son desconocidas. La siguiente estimación solo reemplaza las varianzas poblacionales por las varianzas muestrales:

${\displaystyle {\hat {\nu }}\approx {\frac {(g_{1}+g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}/(n_{1}-1)+g_{2}^{2}/(n_{2}-1)}}\quad {\text{ donde }}g_{i}=s_{i}^{2}/n_{i}.}$

Este${\displaystyle {\hat {\nu }}}$es una variable aleatoria. No existe una distribución t con un número aleatorio de grados de libertad. Sin embargo, la T de Behrens-Fisher se puede comparar con un cuantil correspondiente de la distribución t de Student con estos números estimados de grados de libertad,${\displaystyle {\hat {\nu }}}$, que generalmente no es un número entero. De esta manera, el límite entre la región de aceptación y rechazo del estadístico de prueba T se calcula en función de las varianzas empíricas s _i ² , de forma que sea una función continua de estas.

Este método tampoco proporciona la tasa nominal con exactitud, pero generalmente no se desvía demasiado. Sin embargo, si las varianzas poblacionales son iguales, o si las muestras son relativamente pequeñas y se puede suponer que las varianzas poblacionales son aproximadamente iguales, es más preciso utilizar la prueba t de Student .

Se han propuesto varios enfoques diferentes para el problema general, algunos de los cuales afirman "resolver" alguna versión del problema. Entre ellos se encuentran: ^{[ 7 ]}

• la de Chapman en 1950, ^{[ 8 ]}
• la de Prokof'yev y Shishkin en 1974, ^{[ 9 ]}
• la de Dudewicz y Ahmed en 1998. ^{[ 10 ]}
• la de Chang Wang en 2022. ^{[ 11 ]}

En la comparación de métodos seleccionados realizada por Dudewicz, ^{[ 7 ]} se encontró que el procedimiento de Dudewicz-Ahmed es el recomendado para uso práctico.

Durante varias décadas, se creyó comúnmente que no existía una solución exacta al problema común de Behrens-Fisher. Sin embargo, en 1966 se demostró que sí existe una solución exacta. ^{[ 12 ]} En 2018 se demostró la función de densidad de probabilidad de una distribución generalizada de Behrens-Fisher de m medias y m errores estándar distintos a partir de m muestras de tamaños distintos de distribuciones normales independientes con medias y varianzas distintas, y el artículo también examinó sus aproximaciones asintóticas. ^{[ 13 ]} Un artículo posterior mostró que la prueba t pareada clásica es un problema central de Behrens-Fisher con un coeficiente de correlación poblacional distinto de cero y derivó su función de densidad de probabilidad correspondiente resolviendo su problema no central de Behrens-Fisher asociado con un coeficiente de correlación poblacional distinto de cero. ^{[ 14 ]} También resolvió un problema no central de Behrens-Fisher más general con un coeficiente de correlación poblacional distinto de cero en el apéndice. ^{[ 14 ]}