espiral de Ulam

La espiral de Ulam o espiral prima es una representación gráfica del conjunto de números primos , ideada por el matemático Stanisław Ulam en 1963 y popularizada poco después en la columna de Martin Gardner , Mathematical Games, en Scientific American . ^{[ 1 ]} Se construye escribiendo los enteros positivos en una espiral cuadrada y marcando especialmente los números primos.

Ulam y Gardner destacaron la llamativa aparición en la espiral de prominentes líneas diagonales, horizontales y verticales que contienen una gran cantidad de números primos. Ambos señalaron que la existencia de tales líneas prominentes no es inesperada, ya que las líneas en la espiral corresponden a polinomios cuadráticos , y se cree que ciertos polinomios, como el polinomio generador de primos de Euler x² − x + 41, producen una alta densidad de números primos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sin embargo, la espiral de Ulam está relacionada con importantes problemas sin resolver en la teoría de números, ^como los problemas de Landau . En particular, nunca se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático genere infinitos primos, y mucho menos que tenga una alta densidad asintótica de ellos, aunque existe una conjetura bien fundamentada sobre cuál debería ser esa densidad asintótica.

En 1932, 31 años antes del descubrimiento de Ulam, el herpetólogo Laurence Klauber construyó una disposición triangular no espiral que contenía líneas verticales y diagonales que mostraban una concentración similar de números primos. Al igual que Ulam, Klauber observó la conexión con polinomios generadores de números primos, como el de Euler. ^{[ 4 ]}

La espiral de Ulam se construye escribiendo los números enteros positivos en una disposición espiral sobre una cuadrícula cuadrada :

y luego marcando los números primos:

En la figura, los números primos parecen concentrarse a lo largo de ciertas líneas diagonales. En la espiral de Ulam de 201×201 mostrada arriba, las líneas diagonales son claramente visibles, lo que confirma el patrón observado hasta ese momento. También se aprecian líneas horizontales y verticales con una alta densidad de primos, aunque menos prominentes. Generalmente, la espiral numérica se inicia con el número 1 en el centro, pero es posible comenzar con cualquier número, y se observa la misma concentración de primos a lo largo de líneas diagonales, horizontales y verticales. Comenzando con 41 en el centro, se obtiene una diagonal que contiene una secuencia ininterrumpida de 40 primos (que comienza en 1523 al suroeste del origen, disminuye hasta 41 en el origen y aumenta hasta 1601 al noreste del origen), el ejemplo más largo de este tipo. ^{[ 5 ]}

Según Gardner, Ulam descubrió la espiral en 1963 mientras hacía garabatos durante la presentación de "un artículo largo y muy aburrido" en una reunión científica. ^{[ 1 ]} Estos cálculos a mano sumaban "unos cientos de puntos". Poco después, Ulam, junto con sus colaboradores Myron Stein y Mark Wells, utilizó MANIAC II en el Laboratorio Científico de Los Alamos para extender el cálculo a unos 100 000 puntos. El grupo también calculó la densidad de primos entre números de hasta 10 000 000 a lo largo de algunas de las líneas ricas en primos, así como a lo largo de algunas de las líneas pobres en primos. Se mostraron imágenes de la espiral de hasta 65 000 puntos en "un osciloscopio conectado a la máquina" y luego se fotografiaron. ^{[ 6 ]} La espiral de Ulam fue descrita en la columna de Martin Gardner, "Juegos Matemáticos", de marzo de 1964 en Scientific American y apareció en la portada de ese número. Algunas de las fotografías de Stein, Ulam y Wells fueron reproducidas en la columna.

En un apéndice a la columna de Scientific American , Gardner mencionó el artículo anterior de Klauber. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Klauber describe su construcción de la siguiente manera: «Los números enteros se disponen en orden triangular con el 1 en el vértice, la segunda línea contiene los números del 2 al 4, la tercera del 5 al 9, y así sucesivamente. Una vez indicados los primos, se observa que existen concentraciones en ciertas líneas verticales y diagonales, y entre estas se descubren las llamadas secuencias de Euler con altas concentraciones de primos». ^{[ 4 ]}

Las líneas diagonales, horizontales y verticales en la espiral numérica corresponden a polinomios de la forma

${\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}$

donde b y c son constantes enteras. Cuando b es par, las líneas son diagonales, y todos los números son impares o todos son pares, dependiendo del valor de c . Por lo tanto, no es sorprendente que todos los números primos distintos del 2 se encuentren en diagonales alternas de la espiral de Ulam. Algunos polinomios, como${\displaystyle 4n^{2}+8n+3}$, mientras produce solo valores impares, factorice sobre los enteros${\displaystyle (4n^{2}+8n+3)=(2n+1)(2n+3)}$y por lo tanto nunca son primos, excepto posiblemente cuando uno de los factores es igual a 1. Estos ejemplos corresponden a diagonales que carecen de números primos o casi.

Para comprender por qué algunas de las diagonales impares restantes pueden tener una mayor concentración de números primos que otras, considere lo siguiente:${\displaystyle 4n^{2}+6n+1}$y${\displaystyle 4n^{2}+6n+5}$Calcula los restos de la división por 3 cuando n toma valores sucesivos 0, 1, 2, ... Para el primero de estos polinomios, la secuencia de restos es 1, 2, 2, 1, 2, 2, ..., mientras que para el segundo, es 2, 0, 0, 2, 0, 0, .... Esto implica que en la secuencia de valores que toma el segundo polinomio, dos de cada tres son divisibles por 3, y por lo tanto ciertamente no son primos, mientras que en la secuencia de valores que toma el primer polinomio, ninguno es divisible por 3. Así pues, parece plausible que el primer polinomio produzca valores con una mayor densidad de primos que el segundo. Como mínimo, esta observación da pocas razones para creer que las diagonales correspondientes tendrán la misma densidad de primos. Por supuesto, se debe considerar la divisibilidad por números primos distintos de 3. Al examinar también la divisibilidad por 5, los restos de la división por 15 se repiten con el patrón 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11, 11, 4, 5, 14 para el primer polinomio, y con el patrón 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 para el segundo, lo que implica que solo tres de los 15 valores de la segunda secuencia son potencialmente primos (al no ser divisibles ni por 3 ni por 5), mientras que 12 de los 15 valores de la primera secuencia son potencialmente primos (ya que solo tres son divisibles por 5 y ninguno es divisible por 3).

Si bien los resultados rigurosamente probados sobre números primos en secuencias cuadráticas son escasos, consideraciones como las anteriores dan lugar a una conjetura plausible sobre la densidad asintótica de números primos en dichas secuencias, que se describe en la siguiente sección.

En su artículo de 1923 sobre la Conjetura de Goldbach , Hardy y Littlewood enunciaron una serie de conjeturas, una de las cuales, de ser cierta, explicaría algunas de las características más notables de la espiral de Ulam. Esta conjetura, que Hardy y Littlewood denominaron "Conjetura F", es un caso especial de la conjetura de Bateman-Horn y afirma una fórmula asintótica para el número de primos de la forma ax² + bx + c. Los rayos que emanan de la región central de la espiral de Ulam y que forman ángulos de 45° con la horizontal y la vertical corresponden a números de la forma 4x² + bx + c con b par ^; los rayos horizontales ^y verticales corresponden a números de la misma forma con b impar. La Conjetura F proporciona una fórmula que puede utilizarse para estimar la densidad de primos a lo largo de dichos rayos. Esto implica que habrá una variabilidad considerable en la densidad a lo largo de diferentes rayos. En particular, la densidad es muy sensible al discriminante del ^polinomio b² − 16c .

La conjetura F se refiere a polinomios de la forma ax² + bx + c, ^donde a , b y c son enteros y a es positivo. Si los coeficientes contienen un factor común mayor que 1 o si el discriminante Δ = b² − 4ac es un cuadrado perfecto , el polinomio se factoriza y, por lo tanto ^, produce números compuestos cuando x toma los valores 0, 1, 2, ... (excepto posiblemente para uno o dos valores de x donde uno de los factores es igual a 1). Además, si a + b y c son pares, el polinomio produce solo valores pares y, por lo tanto, es compuesto excepto posiblemente para el valor 2. Hardy y Littlewood afirman que, aparte de estas situaciones, ^ax² + bx + c toma valores primos infinitas veces cuando x toma los valores 0, 1, 2, ... Esta afirmación es un caso especial de una conjetura anterior de Bunyakovsky y permanece abierta. Hardy y Littlewood afirman además que, asintóticamente, el número P ( n ) de primos de la forma ax ² + bx + c y menores que n viene dado por

${\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}}$

donde A depende de a , b y c , pero no de n . Según el teorema de los números primos , esta fórmula con A igual a uno es el número asintótico de primos menores que n esperado en un conjunto aleatorio de números con la misma densidad que el conjunto de números de la forma ax² + bx + c . Pero como A puede tomar valores mayores o menores que ¹ , algunos polinomios, según la conjetura, serán especialmente ricos en primos, y otros especialmente pobres. Un polinomio inusualmente rico es 4x² − ^2x + 41 , que forma una línea visible en la espiral de Ulam. La constante A para este polinomio es aproximadamente 6,6, lo que significa que los números que genera tienen casi siete veces más probabilidades de ser primos que los números aleatorios de tamaño comparable, según la conjetura. Este polinomio en particular está relacionado con el polinomio generador de primos de Euler ^x² − x + 41 reemplazando x por 2x , o equivalentemente, restringiendo x a los números pares. La constante A viene dada por un producto que recorre todos los números primos,

${\displaystyle A=\prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p)}{p-1}}~}$,

en el cual${\displaystyle \omega (p)}$es el número de ceros del polinomio cuadrático módulo p y, por lo tanto, toma uno de los valores 0, 1 o 2. Hardy y Littlewood dividen el producto en tres factores como

${\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}}$.

Aquí el factor ε, correspondiente al primo 2, es 1 si a + b es impar y 2 si a + b es par. El primer índice del producto p recorre los números primos impares finitos que dividen tanto a como a b . Para estos primos${\displaystyle \omega (p)=0}$ya que p no puede dividir a c . El segundo índice de producto${\displaystyle \varpi }$recorre los infinitos primos impares que no dividen a . Para estos primos${\displaystyle \omega (p)}$es igual a 1, 2 o 0 dependiendo de si el discriminante es 0, un cuadrado distinto de cero o un módulo p no cuadrado . Esto se explica mediante el uso del símbolo de Legendre .${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)}$Cuando un número primo p divide a pero no a b, existe una raíz módulo p . Por consiguiente, dichos primos no contribuyen al producto.

Jacobson y Williams descubrieron un polinomio cuadrático con A ≈ 11,3, que actualmente es el valor más alto conocido. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

^El artículo de Klauber de 1932 describe un triángulo en el que la fila n contiene los números ( n − 1) ^² + 1 hasta n² . Al igual que en la espiral de Ulam, los polinomios cuadráticos generan números que se encuentran en líneas rectas. Las líneas ^verticales corresponden a números de la forma k² − k + M. En la figura se aprecian líneas verticales y diagonales con una alta densidad de números primos.

Robert Sacks ideó una variante de la espiral de Ulam en 1994. En la espiral de Sacks, los enteros no negativos se representan en una espiral de Arquímedes en lugar de la espiral cuadrada utilizada por Ulam, y están espaciados de manera que aparece un cuadrado perfecto en cada rotación completa. (En la espiral de Ulam, aparecen dos cuadrados en cada rotación). El polinomio generador de primos de Euler, x² − x + 41, aparece ahora como una sola curva cuando x toma los valores 0, 1, 2, ... Esta curva se aproxima asintóticamente a una línea horizontal en la mitad izquierda de la figura. (En la espiral ^de Ulam, el polinomio de Euler forma dos líneas diagonales: una en la mitad superior de la figura, correspondiente a los valores pares de x en la secuencia, y la otra en la mitad inferior, correspondiente a los valores impares de x en la secuencia).

Se puede observar una estructura adicional al incluir los números compuestos en la espiral de Ulam. El número 1 tiene un único factor: él mismo; cada número primo tiene dos factores: él mismo y 1; los números compuestos son divisibles por al menos tres factores diferentes. Al usar el tamaño del punto que representa un número entero para indicar la cantidad de factores y colorear los números primos de rojo y los compuestos de azul, se obtiene la figura mostrada.

Las espirales que siguen otros recubrimientos del plano también generan líneas ricas en números primos, por ejemplo, espirales hexagonales.

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  Triángulo de Klauber con números primos generados por el polinomio de Euler ^x² − x + 41 resaltado
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  Sacos en espiral
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  Espiral de Ulam de tamaño 150×150 que muestra números primos y compuestos.
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  Espiral hexagonal con números primos en verde y números compuestos más complejos en tonos de azul más oscuros.
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  Espiral numérica con 7503 números primos visibles en un triángulo regular

• Reconocimiento de patrones
• k-tupla prima