Altura (grupo abeliano)

En matemáticas , la altura de un elemento g de un grupo abeliano A es un invariante que captura sus propiedades de divisibilidad: es el mayor número natural N tal que la ecuación Nx  = g tiene una solución x ∈ A , o el símbolo ∞ si no existe tal N. La altura p considera solo las propiedades de divisibilidad por potencias de un número primo fijo p . La noción de altura admite un refinamiento de modo que la altura p se convierte en un número ordinal . La altura juega un papel importante en los teoremas de Prüfer y también en el teorema de Ulm , que describe la clasificación de ciertos grupos abelianos infinitos en términos de sus factores de Ulm o invariantes de Ulm . 

Sea A un grupo abeliano y g un elemento de A. La altura p de g en A , denotada por h _p ( g ), es el mayor número natural n tal que la ecuación p ⁿ x = g tiene una solución en x ∈ A , o el símbolo ∞ si existe una solución para todo n . Por lo tanto, h _p ( g ) = n si y solo si g ∈ p ⁿ A y g ∉ p ^{n +1} A . Esto permite refinar la noción de altura.    

Para cualquier ordinal α , existe un subgrupo p ^α A de A que es la imagen del mapa de multiplicación por p iterado α veces, definido mediante inducción transfinita :

• ${\displaystyle p^{0}A=A;}$
• ${\displaystyle p^{\alpha +1}A=p(p^{\alpha }A);}$
• ${\displaystyle p^{\beta }A=\bigcap _{\alpha <\beta }p^{\alpha }(A)}$si β es un ordinal límite .

Los subgrupos p ^α A forman una filtración decreciente del grupo A , y su intersección es el subgrupo de los elementos p- divisibles de A , cuyos elementos se asignan altura ∞. La altura p modificada h _p ^∗ ( g ) = α si g ∈ p ^α A , pero g ∉ p ^{α +1} A. La construcción de p ^α A es funtorial en A ; en particular, los subcocientes de la filtración son invariantes de isomorfismo de A.

Sea p un número primo fijo. El (primer) subgrupo de Ulm ^de un grupo abeliano A , denotado U ( A ) o A₁ , es p ^ω A = ∩ _n p ⁿ A , donde ω es el ordinal infinito más pequeño . Consiste en todos los elementos de A de altura infinita. La familia { U ^σ ( A )} de subgrupos de Ulm indexados por ordinales σ se define por inducción transfinita:

• ${\displaystyle U^{0}(A)=A;}$
• ${\displaystyle U^{\sigma +1}(A)=U(U^{\sigma }(A));}$
• ${\displaystyle U^{\tau }(A)=\bigcap _{\sigma <\tau }U^{\sigma }(A)}$si τ es un ordinal límite .

Equivalentemente, U ^σ ( A ) = p ^ωσ A , donde ωσ es el producto de los ordinales ω y σ .

Los subgrupos de Ulm forman una filtración decreciente de A cuyos cocientes U _σ ( A ) = U ^σ ( A )/ U ^{σ +1} ( A ) se denominan factores de Ulm de A . Esta filtración estabiliza y el ordinal más pequeño τ tal que U ^τ ( A ) = U ^{τ +1} ( A ) es la longitud de Ulm de A . El subgrupo de Ulm más pequeño U ^τ ( A ), también denotado U ^∞ ( A ) y p ^∞ A, es el subgrupo más grande p -divisible de A ; si A es un p -grupo, entonces U ^∞ ( A ) es divisible , y como tal es un sumando directo de A .

Para cada factor de Ulm U _σ ( A ) las p -alturas de sus elementos son finitas y no están acotadas para cada factor de Ulm excepto posiblemente el último, a saber, U _{τ − 1} ( A ) cuando la longitud de Ulm τ es un ordinal sucesor .

El segundo teorema de Prüfer proporciona una extensión directa del teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados a los p -grupos abelianos numerables sin elementos de altura infinita: cada uno de estos grupos es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos cuyos órdenes son potencias de p . Además, la cardinalidad del conjunto de sumandos de orden p ⁿ está determinada unívocamente por el grupo y se realiza cada secuencia de cardinalidades a lo sumo numerables. Helmut Ulm (1933) encontró una extensión de esta teoría de clasificación a los p -grupos numerables generales : su clase de isomorfismo está determinada por las clases de isomorfismo de los factores de Ulm y la parte p -divisible.

Teorema de Ulm . Sean A y B grupos p - abelianos numerables tales que para cada ordinal σ sus factores de Ulm son isomorfos , U _σ ( A ) ≅ U _σ ( B ) y las partes p - divisibles de A y B son isomorfas , U ^∞ ( A ) ≅ U ^∞ ( B ). Entonces A y B son isomorfos.

Existe un complemento a este teorema, enunciado por primera vez por Leo Zippin (1935) y demostrado por Kurosh (1960), que aborda la existencia de un p -grupo abeliano con factores de Ulm dados.

Sea τ un ordinal y { A _σ } una familia de p - grupos abelianos numerables indexados por los ordinales σ < τ tales que las p - alturas de los elementos de cada A _σ son finitas y, excepto posiblemente para el último, no están acotadas. Entonces existe un p - grupo abeliano reducido A de longitud de Ulm τ cuyos factores de Ulm son isomorfos a estos p - grupos , U _σ ( A ) ≅ A _σ .

La demostración original de Ulm se basaba en una extensión de la teoría de divisores elementales a matrices infinitas .

• László Fuchs (1970), Grupos abelianos infinitos, Vol. I. Matemáticas Puras y Aplicadas, Vol. 36. Nueva York-Londres: Academic Press MR 0255673 
• Irving Kaplansky y George Mackey , Una generalización del teorema de Ulm . Summa Brasil. Math. 2, (1951), 195–202 MR 0049165 
• Kurosh, AG (1960), La teoría de los grupos , Nueva York: Chelsea, MR 0109842 
• Ulm, H (1933). "Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen". Matemáticas. Ana . 107 : 774–803 . doi : 10.1007/bf01448919 . JFM 59.0143.03 . S2CID 122867558 .