vector de Poynting

En física , el vector de Poynting (o vector de Umov-Poynting ) representa el flujo de energía direccional (la transferencia de energía por unidad de área, por unidad de tiempo) o flujo de potencia de un campo electromagnético . La unidad del SI del vector de Poynting es el vatio por metro cuadrado (W/m² ⁾ ; kg/s³ ^en unidades base del SI . Recibe su nombre de su descubridor, John Henry Poynting, quien lo derivó por primera vez en 1884. ^{[ 1 ] : 132} También se le atribuye a Nikolay Umov la formulación del concepto. ^{[ 2 ]} Oliver Heaviside también lo descubrió de forma independiente en la forma más general que reconoce la libertad de agregar el rotacional de un campo vectorial arbitrario a la definición. ^{[ 3 ]} El vector de Poynting se utiliza en todo el electromagnetismo junto con el teorema de Poynting , la ecuación de continuidad que expresa la conservación de la energía electromagnética , para calcular el flujo de potencia en campos electromagnéticos.

En el artículo original de Poynting y en la mayoría de los libros de texto, el vector de Poynting${\displaystyle \mathbf {S} }$se define como el producto cruzado ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$ donde las letras en negrita representan vectores y

• E es el vector del campo eléctrico ;
• H es el vector de campo auxiliar del campo magnético o campo magnetizante .

Esta expresión se denomina a menudo forma de Abraham y es la más utilizada. ^{[ 7 ]} El vector de Poynting se suele denotar con S o N.

En términos sencillos, el vector de Poynting S , en un punto , indica la magnitud y la dirección de la densidad de potencia superficial debida a los campos electromagnéticos en ese punto . De forma más rigurosa, es la magnitud que debe utilizarse para que el teorema de Poynting sea válido. El teorema de Poynting establece esencialmente que la diferencia entre la energía electromagnética que entra en una región y la que sale de ella debe ser igual a la energía convertida o disipada en esa región, es decir, transformada en otra forma de energía (a menudo calor). El teorema de Poynting es simplemente una formulación de la conservación local de la energía .

Si la energía electromagnética no se gana ni se pierde con otras formas de energía dentro de una región determinada (por ejemplo, energía mecánica o calor), entonces la energía electromagnética se conserva localmente dentro de esa región, lo que da como resultado una ecuación de continuidad como un caso especial del teorema de Poynting: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$ dónde${\displaystyle u}$es la densidad de energía del campo electromagnético. Esta condición frecuente se cumple en el siguiente ejemplo sencillo, en el que se calcula el vector de Poynting y se observa que es consistente con el cálculo habitual de la potencia en un circuito eléctrico.

Podemos encontrar una solución relativamente sencilla para la transmisión de potencia a través de un tramo de cable coaxial analizado en coordenadas cilíndricas, como se muestra en el diagrama adjunto. La simetría del modelo implica que no hay dependencia de θ (simetría circular) ni de Z (posición a lo largo del cable). El modelo (y la solución) pueden considerarse simplemente como un circuito de CC sin dependencia temporal, pero la siguiente solución se aplica igualmente bien a la transmisión de potencia de radiofrecuencia, siempre que consideremos un instante de tiempo (durante el cual la tensión y la corriente no cambian) y sobre un segmento de cable suficientemente corto (mucho menor que una longitud de onda, de modo que estas cantidades no dependan de Z ).

El cable coaxial se especifica con un conductor interno de radio R ₁ y un conductor externo cuyo radio interno es R ₂ (su grosor más allá de R ₂ no afecta al análisis posterior). Entre R ₁ y R _2, el cable contiene un material dieléctrico ideal con permitividad relativa ε _r , y suponemos conductores no magnéticos (por lo que μ = μ ₀ ) y sin pérdidas (conductores perfectos), lo cual constituye una buena aproximación a un cable coaxial real en situaciones típicas.

El conductor central está a un voltaje V y extrae una corriente I hacia la derecha, por lo que esperamos un flujo de potencia total de P = V · I de acuerdo con las leyes básicas de la electricidad . Sin embargo, al evaluar el vector de Poynting, podemos identificar el perfil del flujo de potencia en términos de los campos eléctricos y magnéticos dentro del cable coaxial. El campo eléctrico es cero dentro de cada conductor, pero entre los conductores (${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$), la simetría dicta que está en la dirección radial y se puede demostrar (usando la ley de Gauss ) que deben obedecer la siguiente forma: $${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$W se puede evaluar integrando el campo eléctrico desde${\displaystyle r=R_{2}}$a${\displaystyle R_{1}}$que debe ser el negativo del voltaje V : $${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$ de modo que: $${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

El campo magnético, nuevamente por simetría, solo puede ser distinto de cero en la dirección θ , es decir, un campo vectorial que rodea al conductor central en cada radio entre R ₁ y R ₂ . Dentro de los propios conductores, el campo magnético puede ser cero o no, pero esto no es relevante ya que el vector de Poynting en estas regiones es cero debido a que el campo eléctrico es cero. Fuera de todo el cable coaxial, el campo magnético es idénticamente cero, ya que las trayectorias en esta región encierran una corriente neta de cero (+ I en el conductor central y − I en el conductor exterior), y nuevamente el campo eléctrico es cero allí de todos modos. Usando la ley de Ampère en la región de R ₁ a R ₂ , que encierra la corriente + I en el conductor central pero sin contribución de la corriente en el conductor exterior, encontramos en el radio r : $${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$ Ahora bien, a partir de un campo eléctrico en la dirección radial y un campo magnético tangencial, el vector de Poynting, dado por el producto vectorial de estos, es distinto de cero únicamente en la dirección Z , a lo largo de la dirección del propio cable coaxial, como cabría esperar. De nuevo, solo una función de r , podemos evaluar S ( r ): $${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$ donde W se expresa anteriormente en términos de la tensión del conductor central V. La potencia total que fluye a través del cable coaxial se puede calcular integrando sobre toda la sección transversal A del cable entre los conductores: $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{1}}^{R_{2}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

Sustituyendo la solución anterior para la constante W, obtenemos: $${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$ Es decir, la potencia obtenida al integrar el vector de Poynting sobre una sección transversal del cable coaxial es exactamente igual al producto de la tensión y la corriente, tal como se habría calculado para la potencia suministrada utilizando las leyes básicas de la electricidad.

Otros ejemplos similares en los que el resultado P = V · I se puede calcular analíticamente son: la línea de transmisión de placas paralelas, ^{[ 8 ]} usando coordenadas cartesianas , y la línea de transmisión de dos hilos, ^{[ 9 ]} usando coordenadas cilíndricas bipolares .

En la versión "microscópica" de las ecuaciones de Maxwell, esta definición debe ser reemplazada por una definición en términos del campo eléctrico E y la densidad de flujo magnético B (que se describe más adelante en el artículo).

También es posible combinar el campo de desplazamiento eléctrico D con el flujo magnético B para obtener la forma de Minkowski del vector de Poynting, o usar D y H para construir otra versión. La elección ha sido controvertida: Pfeifer et al. ^{[ 10 ]} resumen y, hasta cierto punto, resuelven la disputa centenaria entre los defensores de las formas de Abraham y Minkowski (véase la controversia Abraham-Minkowski ).

El vector de Poynting representa el caso particular de un vector de flujo de energía para la energía electromagnética. Sin embargo, cualquier tipo de energía tiene su dirección de movimiento en el espacio, así como su densidad, por lo que también se pueden definir vectores de flujo de energía para otros tipos de energía, por ejemplo, para la energía mecánica . El vector de Umov-Poynting ^{[ 11 ],} descubierto por Nikolay Umov en 1874, describe el flujo de energía en medios líquidos y elásticos de forma completamente generalizada.

El vector de Poynting aparece en el teorema de Poynting (véase ese artículo para la deducción), una ley de conservación de la energía: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$ donde J _f es la densidad de corriente de cargas libres y u es la densidad de energía electromagnética para materiales lineales no dispersivos , dada por $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$ dónde

• E es el campo eléctrico;
• D es el campo de desplazamiento eléctrico;
• B es la densidad de flujo magnético;
• H es el campo magnetizante. ^{[ 12 ] : 258–260}

El primer término del lado derecho representa el flujo de energía electromagnética hacia un pequeño volumen, mientras que el segundo término resta el trabajo realizado por el campo sobre las corrientes eléctricas libres, que de este modo se disipan en forma de energía electromagnética , calor, etc. En esta definición, las corrientes eléctricas ligadas no se incluyen en este término y, en cambio, contribuyen a S y u .

Para la luz en el espacio libre, la densidad de momento lineal es ${\displaystyle {\frac {\langle S\rangle }{c^{2}}}.}$

Para materiales lineales, no dispersivos (en los que todos los componentes de frecuencia viajan a la misma velocidad) e isotrópicos (para simplificar), las relaciones constitutivas se pueden escribir como $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$ dónde

• ε es la permitividad del material;
• μ es la permeabilidad del material. ^{[ 12 ] : 258–260}

Aquí , ε y μ son constantes escalares de valor real, independientes de la posición, la dirección y la frecuencia.

En principio, esto limita el teorema de Poynting en esta forma a campos en el vacío y materiales lineales no dispersivos. Una generalización a materiales dispersivos es posible bajo ciertas circunstancias a costa de términos adicionales. ^{[ 12 ] : 262–264}

Una consecuencia de la fórmula de Poynting es que, para que el campo electromagnético realice trabajo, deben estar presentes tanto el campo magnético como el eléctrico. El campo magnético por sí solo o el campo eléctrico por sí solo no pueden realizar ningún trabajo. ^{[ 13 ]}

En una onda plana electromagnética que se propaga en un medio isótropo sin pérdidas, el vector de Poynting instantáneo siempre apunta en la dirección de propagación, aunque su magnitud oscila rápidamente. Esto se puede observar fácilmente si consideramos que, en una onda plana, la magnitud del campo magnético H ( r , t ) viene dada por la magnitud del vector de campo eléctrico E ( r , t ) dividida por η , la impedancia intrínseca del medio de transmisión: $${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$ donde | A | representa la norma vectorial de A. Dado que E y H son perpendiculares entre sí, la magnitud de su producto vectorial es el producto de sus magnitudes. Sin pérdida de generalidad, consideremos X como la dirección del campo eléctrico e Y como la dirección del campo magnético. El vector de Poynting instantáneo, dado por el producto vectorial de E y H, estará entonces en la dirección positiva del eje Z : $${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

Para hallar la potencia promedio en el tiempo en la onda plana, es necesario promediar sobre el período de la onda (la frecuencia inversa de la onda): $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$ donde E _rms es la amplitud del campo eléctrico cuadrático medio (RMS). En el caso importante de que E ( t ) varíe sinusoidalmente a cierta frecuencia con amplitud máxima E _pico , E _rms es${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$, con el vector de Poynting promedio dado entonces por: $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$ Esta es la forma más común para el flujo de energía de una onda plana, ya que las amplitudes de campo sinusoidales se expresan con mayor frecuencia en términos de sus valores pico, y los problemas complejos se resuelven típicamente considerando solo una frecuencia a la vez. Sin embargo, la expresión que utiliza E _rms es totalmente general, aplicándose, por ejemplo, en el caso de ruido cuya amplitud RMS se puede medir, pero donde la amplitud "pico" no tiene sentido. En el espacio libre, la impedancia intrínseca η viene dada simplemente por la impedancia del espacio libre η ₀ ≈  377  Ω. En dieléctricos no magnéticos (como todos los materiales transparentes a frecuencias ópticas) con una constante dieléctrica ε _r especificada , o en óptica con un material cuyo índice de refracción${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$La impedancia intrínseca se obtiene de la siguiente manera: $${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

En óptica, el valor del flujo radiado que atraviesa una superficie, es decir, la componente media del vector de Poynting en la dirección normal a dicha superficie, se conoce técnicamente como irradiancia , aunque más a menudo se la denomina simplemente intensidad (un término algo ambiguo).

La versión "microscópica" (diferencial) de las ecuaciones de Maxwell solo admite los campos fundamentales E y B , sin un modelo incorporado de medios materiales. Solo se utilizan la permitividad y la permeabilidad del vacío, y no hay D ni H. Cuando se utiliza este modelo, el vector de Poynting se define como $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$ dónde

• μ ₀ es la permeabilidad al vacío ;
• E es el vector del campo eléctrico;
• B es el flujo magnético.

Esta es en realidad la expresión general del vector de Poynting . ^{[ 14 ]} La forma correspondiente del teorema de Poynting es $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$ donde J es la densidad de corriente total y la densidad de energía u viene dada por $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$ donde ε ₀ es la permitividad del vacío . Se puede derivar directamente de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga total y corriente, y solo de la ley de la fuerza de Lorentz .

Las dos definiciones alternativas del vector de Poynting son iguales en el vacío o en materiales no magnéticos, donde B = μ ₀ H . En todos los demás casos, difieren en que S = (1/ μ ₀ ) E × B y la u correspondiente son puramente radiativas, ya que el término de disipación − J ⋅ E abarca la corriente total, mientras que la definición E × H tiene contribuciones de corrientes ligadas que luego se excluyen del término de disipación. ^{[ 15 ]}

Dado que en la derivación de S = (1/ μ ₀ ) E × B y la densidad de energía solo intervienen los campos microscópicos E y B , se evitan las suposiciones sobre la presencia de cualquier material. El vector de Poynting, el teorema y la expresión para la densidad de energía son universalmente válidos en el vacío y en todos los materiales. ^{[ 15 ]}

La forma anterior del vector de Poynting representa el flujo de potencia instantáneo debido a campos eléctricos y magnéticos instantáneos . Generalmente, los problemas en electromagnetismo se resuelven en términos de campos que varían sinusoidalmente a una frecuencia específica. Los resultados pueden aplicarse de forma más general, por ejemplo, representando la radiación incoherente como una superposición de dichas ondas a diferentes frecuencias y con amplitudes fluctuantes.

Por lo tanto, no estaríamos considerando las funciones instantáneas E ( t ) y H ( t ) utilizadas anteriormente, sino una amplitud compleja (vectorial) para cada una, que describe la fase (así como la amplitud) de una onda coherente mediante notación fasorial . Estos vectores de amplitud complejos no son funciones del tiempo, ya que se entiende que se refieren a oscilaciones en todo el tiempo. Un fasor como E _m se entiende que significa un campo que varía sinusoidalmente, cuya amplitud instantánea E ( t ) sigue la parte real de E _m e ^jωt, donde ω es la frecuencia (radianes) de la onda sinusoidal que se está considerando.

En el dominio del tiempo, se observa que el flujo de potencia instantáneo fluctúa a una frecuencia de 2ω . Sin embargo, lo que normalmente interesa es el flujo de potencia promedio , en el que no se consideran dichas fluctuaciones. En las siguientes fórmulas, esto se logra integrando sobre un ciclo completo T = 2π / ω . La siguiente magnitud, que aún se denomina "vector de Poynting", se expresa directamente en términos de los fasores como: $${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$ donde ^∗ denota el conjugado complejo . El flujo de potencia promedio en el tiempo (de acuerdo con el vector de Poynting instantáneo promediado sobre un ciclo completo, por ejemplo) viene dado por la parte real de S _m . La parte imaginaria se suele ignorar ^{[ 12 ]} , sin embargo, significa "potencia reactiva", como la interferencia debida a una onda estacionaria o el campo cercano de una antena. En una sola onda plana electromagnética (en lugar de una onda estacionaria que puede describirse como dos ondas de este tipo viajando en direcciones opuestas), E y H están exactamente en fase, por lo que S _m es simplemente un número real según la definición anterior.

La equivalencia de Re( S _m ) con el promedio temporal del vector de Poynting instantáneo S se puede demostrar de la siguiente manera. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

El promedio del vector de Poynting instantáneo S a lo largo del tiempo viene dado por: $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

El segundo término es el componente de doble frecuencia con un valor promedio de cero, por lo que encontramos: $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

Según algunas convenciones, el factor de 1/2 en la definición anterior puede omitirse. La multiplicación por 1/2 es necesaria para describir correctamente el flujo de potencia, ya que las magnitudes de E _m y H _m se refieren a los campos pico de las cantidades oscilantes. Si, en cambio, los campos se describen en términos de sus valores cuadráticos medios (RMS) (cada uno de los cuales es menor por el factor${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$), entonces se obtiene el flujo de potencia promedio correcto sin multiplicar por 1/2.

Si un conductor tiene una resistencia significativa, entonces, cerca de la superficie de ese conductor, el vector de Poynting se inclinaría hacia el conductor e incidiría sobre él. ^{[ 9 ] : figs.7,8} Una vez que el vector de Poynting entra en el conductor, se desvía en una dirección casi perpendicular a la superficie. ^{[ 16 ] : 61} Esto es consecuencia de la ley de Snell y de la velocidad muy lenta de la luz dentro de un conductor. Se puede dar la definición y el cálculo de la velocidad de la luz en un conductor. ^{[ 17 ] : 402} Dentro del conductor, el vector de Poynting representa el flujo de energía del campo electromagnético hacia el cable, produciendo calentamiento Joule resistivo en el cable. Para una derivación que comienza con la ley de Snell, véase Reitz página 454. ^{[ 18 ] : 454}

La densidad del momento lineal del campo electromagnético es S / c ² donde S es la magnitud del vector de Poynting y c es la velocidad de la luz en el vacío. La presión de radiación ejercida por una onda electromagnética sobre la superficie de un objetivo viene dada por $${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

El vector de Poynting aparece en el teorema de Poynting únicamente a través de su divergencia ∇ ⋅ S , es decir, solo se requiere que la integral de superficie del vector de Poynting alrededor de una superficie cerrada describa el flujo neto de energía electromagnética hacia dentro o hacia fuera del volumen encerrado. Esto significa que al sumar un campo vectorial solenoidal (con divergencia cero) a S se obtiene otro campo que satisface esta propiedad requerida para un campo vectorial de Poynting según el teorema de Poynting. Dado que la divergencia de cualquier rotacional es cero , se puede sumar el rotacional de cualquier campo vectorial al vector de Poynting y el campo vectorial resultante S ′ seguirá satisfaciendo el teorema de Poynting.

Sin embargo, aunque el vector de Poynting se formuló originalmente solo por el bien del teorema de Poynting en el que solo aparece su divergencia, resulta que la elección anterior de su forma es única. ^{[ 12 ] : 258–260, 605–612} La siguiente sección da un ejemplo que ilustra por qué no es aceptable agregar un campo solenoidal arbitrario a E × H.

El análisis del vector de Poynting en campos estáticos evidencia la naturaleza relativista de las ecuaciones de Maxwell y permite una mejor comprensión de la componente magnética de la fuerza de Lorentz , q ( v × B ) . Para ilustrarlo, se presenta la siguiente imagen, que describe el vector de Poynting en un condensador cilíndrico ubicado en un campo H (que apunta hacia el interior de la página) generado por un imán permanente. Si bien solo existen campos eléctricos y magnéticos estáticos, el cálculo del vector de Poynting produce un flujo circular de energía electromagnética en sentido horario, sin principio ni fin.

Aunque el flujo de energía circulante pueda parecer irreal, su existencia es necesaria para mantener la conservación del momento angular . El momento de una onda electromagnética en el espacio libre es igual a su potencia dividida por c , la velocidad de la luz. Por lo tanto, el flujo circular de energía electromagnética implica un momento angular . ^{[ 19 ]} Si se conectara un cable entre las dos placas del condensador cargado, habría una fuerza de Lorentz sobre ese cable mientras el condensador se descarga debido a la corriente de descarga y al campo magnético cruzado; esa fuerza sería circunferencial al eje central y, por lo tanto, agregaría momento angular al sistema. Ese momento angular coincidiría con el momento angular "oculto", revelado por el vector de Poynting, que circulaba antes de que el condensador se descargara.

• Vector de onda

• Becker, Richard (1982). Campos electromagnéticos e interacciones (1.ª  ed.). Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Edminister, José; Nahvi, Mahmood (2013). Electromagnética (4ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-183149-9.