Operador ilimitado

En matemáticas , más concretamente en análisis funcional y teoría de operadores , la noción de operador no acotado proporciona un marco abstracto para tratar con operadores diferenciales , observables no acotados en mecánica cuántica y otros casos.

El término "operador no acotado" puede resultar engañoso, ya que

• "ilimitado" a veces debe entenderse como "no necesariamente limitado";
• "operador" debe entenderse como " operador lineal " (como en el caso de "operador acotado");
• El dominio del operador es un subespacio lineal , no necesariamente todo el espacio;
• este subespacio lineal no es necesariamente cerrado ; a menudo (pero no siempre) se supone que es denso ;
• Aun así, en el caso especial de un operador acotado, se suele asumir que el dominio es todo el espacio.

A diferencia de los operadores acotados , los operadores no acotados en un espacio dado no forman un álgebra , ni siquiera un espacio lineal, porque cada uno se define en su propio dominio.

El término "operador" suele significar "operador lineal acotado", pero en el contexto de este artículo significa "operador no acotado", con las reservas mencionadas anteriormente.

La teoría de operadores no acotados se desarrolló a finales de la década de 1920 y principios de la de 1930 como parte del desarrollo de un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica . ^{[ 1 ]} El desarrollo de la teoría se debe a John von Neumann ^{[ 2 ]} y Marshall Stone . ^{[ 3 ]} Von Neumann introdujo el uso de grafos para analizar operadores no acotados en 1932. ^{[ 4 ]}

Sean X e Y espacios de Banach . Un operador no acotado (o simplemente operador ) T  : D ( T ) → Y es una aplicación lineal T de un subespacio lineal D ( T ) ⊆ X —el dominio de T— al espacio Y. ^{[ 5} ] Contrariamente a la convención habitual, ^T puede no estar definido en todo el espacio X.

La gráfica Γ( T ) de un operador${\displaystyle T}$de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$es un subespacio lineal de la suma directa X ⊕ Y , definido como el conjunto de todos los pares ( x , Tx ) , donde x recorre el dominio de T . Se dice que un operador T es cerrado si su grafo Γ( T ) es un conjunto cerrado . ^{[ 6 ]} Explícitamente, esto significa que para toda secuencia { x _n } de puntos del dominio de T tal que x _n → x y Tx _n → y , se cumple que x pertenece al dominio de T y Tx = y . ^{[ 6 ]} La condición de cerrado también puede formularse en términos de la norma del grafo : un operador T es cerrado si y solo si su dominio D ( T ) es un espacio completo con respecto a la norma: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

^{Se dice} que un operador T está densamente definido si su dominio es denso en X. [ ^{5 ]} Esto también incluye operadores definidos en todo el espacio X , ya que todo el espacio es denso en sí mismo. La densidad del dominio es necesaria y suficiente para la existencia del adjunto (si X e Y son espacios de Hilbert) y la transpuesta; véanse las secciones siguientes.

Si T  : D ( T ) → Y es cerrada, densamente definida y continua en su dominio, entonces su dominio es todo X . ^{[ nb 1 ]}

Sea C ([0, 1]) el espacio de funciones continuas en el intervalo unitario, y sea C ¹ ([0, 1]) el espacio de funciones continuamente diferenciables en el intervalo unitario. Equipamos${\displaystyle C([0,1])}$con la norma suprema ,${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, convirtiéndolo en un espacio de Banach. Definimos el operador de diferenciación clásico ⁠ d / dx ⁠  : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) mediante la fórmula usual:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

Toda función diferenciable es continua, por lo que C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Afirmamos que ⁠ d / dx ⁠ : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) es un operador no acotado bien definido, con dominio C ¹ ([0, 1]) . Para ello, necesitamos demostrar que ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$es lineal y luego, por ejemplo, exhiben alguna${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$de tal manera que${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$y${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }$.

Este es un operador lineal, ya que una combinación lineal a f + bg de dos funciones continuamente diferenciables f , g también es continuamente diferenciable, y

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).}$

El operador no está acotado. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

satisfacer

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

pero

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

como${\displaystyle n\to \infty }$.

El operador está densamente definido (lo que se puede demostrar mediante el teorema de aproximación de Weierstrass, ya que el conjunto de funciones polinómicas en [0,1] está contenido en C ¹ ([0, 1]) , siendo también denso en C ([0, 1]) ) y cerrado.

El mismo operador puede tratarse como un operador Z → Z para muchas elecciones de espacio de Banach Z y no estar acotado entre ninguno de ellos. Al mismo tiempo, puede estar acotado como un operador X → Y para otros pares de espacios de Banach X , Y , y también como un operador Z → Z para algunos espacios vectoriales topológicos Z. Como ejemplo, sea I ⊂ R un intervalo abierto y consideremos

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

dónde:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

El adjunto de un operador no acotado se puede definir de dos maneras equivalentes. Sea${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}$sea ​​un operador no acotado entre espacios de Hilbert.

En primer lugar, se puede definir de forma análoga a como se define el adjunto de un operador acotado. Es decir, el adjunto${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}}$de T se define como un operador con la propiedad: $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$$ Más precisamente,${\displaystyle T^{*}y}$se define de la siguiente manera. Si${\displaystyle y\in H_{2}}$es tal que${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$es un funcional lineal continuo en el dominio T , entonces${\displaystyle y}$se declara como un elemento de${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$y después de extender el funcional lineal a todo el espacio mediante el teorema de Hahn-Banach , es posible encontrar algunos${\displaystyle z}$en${\displaystyle H_{1}}$de tal manera que $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$$ ya que el teorema de representación de Riesz permite el dual continuo del espacio de Hilbert${\displaystyle H_{1}}$para ser identificado con el conjunto de funcionales lineales dado por el producto interno. Este vector${\displaystyle z}$está determinado de forma única por${\displaystyle y}$si y solo si la función lineal${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$está densamente definido; o equivalentemente, si T está densamente definido. Finalmente, dejando${\displaystyle T^{*}y=z}$completa la construcción de${\displaystyle T^{*},}$que es necesariamente una aplicación lineal. El adjunto${\displaystyle T^{*}y}$Existe si y solo si T está densamente definido.

Por definición, el dominio de${\displaystyle T^{*}}$consta de elementos${\displaystyle y}$en${\displaystyle H_{2}}$de tal manera que${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$es continua en el dominio de T. En consecuencia, el dominio de${\displaystyle T^{*}}$podría ser cualquier cosa; podría ser trivial (es decir, contiene solo cero). ^{[ 8 ]} Puede suceder que el dominio de${\displaystyle T^{*}}$es un hiperplano cerrado y${\displaystyle T^{*}}$desaparece en todas partes del dominio. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Por lo tanto, la acotación de${\displaystyle T^{*}}$en su dominio no implica la acotación de T. Por otro lado, si${\displaystyle T^{*}}$Si está definido en todo el espacio, entonces T está acotado en su dominio y, por lo tanto, puede extenderse por continuidad a un operador acotado en todo el espacio. ^{[ nb 2 ]} Si el dominio de${\displaystyle T^{*}}$es denso, entonces tiene su adjunto${\displaystyle T^{**}.}$^{[ 11 ]} Un operador Tcerrado y densamente definidoes acotado si y solo si${\displaystyle T^{*}}$está acotado. ^{[ nb 3 ]}

La otra definición equivalente del adjunto se puede obtener al observar un hecho general. Definamos un operador lineal.${\displaystyle J}$de la siguiente manera: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$$ Desde${\displaystyle J}$es una sobreyección isométrica, es unitaria. Por lo tanto:${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}$es la gráfica de algún operador${\displaystyle S}$si y solo si T está densamente definido. ^{[ 12 ]} Un cálculo simple muestra que este "algunos"${\displaystyle S}$Satisface: $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$$ para cada x en el dominio de T. Por lo tanto${\displaystyle S}$es el adjunto de T.

De la definición anterior se deduce inmediatamente que el adjunto${\displaystyle T^{*}}$está cerrado. ^{[ 11 ]} En particular, un operador autoadjunto (que significa${\displaystyle T=T^{*}}$) es cerrado. Un operador T es cerrado y densamente definido si y solo si${\displaystyle T^{**}=T.}$^{[ nb 4 ]}

Algunas propiedades bien conocidas de los operadores acotados se generalizan a los operadores cerrados densamente definidos. El núcleo de un operador cerrado es cerrado. Además, el núcleo de un operador cerrado densamente definido es cerrado.${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$coincide con el complemento ortogonal del rango del adjunto. Es decir, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$$El teorema de von Neumann establece que${\displaystyle T^{*}T}$y${\displaystyle TT^{*}}$son autoadjuntos y que${\displaystyle I+T^{*}T}$y${\displaystyle I+TT^{*}}$ambas tienen inversas acotadas. ^{[ 14 ]} Si${\displaystyle T^{*}}$tiene núcleo trivial, T tiene rango denso (por la identidad anterior). Además:

T es sobreyectiva si y solo si existe una${\displaystyle K>0}$de tal manera que${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$a pesar de${\displaystyle f}$en${\displaystyle D\left(T^{*}\right).}$^{[ nb 5 ]} (Esto es esencialmente una variante del llamadoteorema del rango cerrado.) En particular,Ttiene rango cerrado si y solo si${\displaystyle T^{*}}$tiene alcance reducido.

A diferencia del caso acotado, no es necesario que${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}$puesto que, por ejemplo, incluso es posible que${\displaystyle (TS)^{*}}$no existe. Sin embargo, este es el caso si, por ejemplo, T es acotado. ^{[ 15 ]}

Un operador T cerrado y densamente definido se denomina normal si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 16 ]}

• ${\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}$;
• el dominio de T es igual al dominio de${\displaystyle T^{*},}$y${\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|}$para cada x en este dominio;
• existen operadores autoadjuntos${\displaystyle A,B}$de tal manera que${\displaystyle T=A+iB,}$${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$y${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}$para cada x en el dominio de T .

Todo operador autoadjunto es normal.

Dejar${\displaystyle T:B_{1}\to B_{2}}$sea ​​un operador entre espacios de Banach. Entonces la transpuesta (o dual )${\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$de${\displaystyle T}$es el operador lineal que satisface: $${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle }$$ a pesar de${\displaystyle x\in B_{1}}$y${\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$Aquí utilizamos la notación:${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$^{[ 17 ]}

La condición necesaria y suficiente para la transposición de${\displaystyle T}$existir es que${\displaystyle T}$está densamente definido (por esencialmente la misma razón que para los adjuntos, como se explicó anteriormente).

Para cualquier espacio de Hilbert${\displaystyle H,}$Existe el isomorfismo antilineal: $${\displaystyle J:H^{*}\to H}$$ dado por${\displaystyle Jf=y}$dónde${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).}$ A través de este isomorfismo, la transposición${\displaystyle {}^{t}T}$se relaciona con el adjunto${\displaystyle T^{*}}$de la siguiente manera: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},}$$ dónde${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$(En el caso de dimensión finita, esto corresponde al hecho de que la adjunta de una matriz es su transpuesta conjugada). Nótese que esto proporciona la definición de adjunta en términos de una transpuesta.

Los operadores lineales cerrados son una clase de operadores lineales en espacios de Banach . Son más generales que los operadores acotados y, por lo tanto, no necesariamente continuos , pero conservan propiedades suficientemente interesantes como para definir el espectro y (con ciertas suposiciones) el cálculo funcional para dichos operadores. Muchos operadores lineales importantes que no son acotados resultan ser cerrados, como la derivada y una amplia clase de operadores diferenciales .

Sean X e Y dos espacios de Banach . Un operador lineal A  : D ( A ) ⊆ X → Y es cerrado si para toda sucesión { x _n } en D ( A ) que converge a x en X tal que Ax _n → y ∈ Y cuando n → ∞ se tiene x ∈ D ( A ) y Ax = y . Equivalentemente, A es cerrado si su gráfica es cerrada en la suma directa X ⊕ Y .

Dado un operador lineal A , no necesariamente cerrado, si la clausura de su gráfica en X ⊕ Y resulta ser la gráfica de algún operador, ese operador se llama la clausura de A , y decimos que A es cerrable . Denotemos la clausura de A por A. De ello se deduce que A es la restricción de A a D ( A ) .

Un núcleo (o dominio esencial ) de un operador cerrable es un subconjunto C de D ( A ) tal que el cierre de la restricción de A a C es A .

Un operador T en un espacio de Hilbert es simétrico si y solo si para cada x e y en el dominio de T se cumple que${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$Un operador T densamente definido es simétrico si y solo si coincide con su adjunto T ^∗ restringido al dominio de T , en otras palabras ^, cuando T ^∗ es una extensión de T. ^{[ 20} ]

En general, si T es densamente definido y simétrico, el dominio del adjunto T ^∗ no tiene por qué ser igual al dominio de T. Si T es simétrico y el dominio de T y el dominio del adjunto coinciden, decimos que T es autoadjunto . ^{[ 21 ]} Nótese que, cuando T es autoadjunto, la existencia del adjunto implica que T es densamente definido y, dado que T ^∗ es necesariamente cerrado, T es cerrado.

Un operador T densamente definido es simétrico si el subespacio Γ( T ) (definido en una sección anterior) es ortogonal a su imagen J (Γ( T )) bajo J (donde J ( x , y ):=( y , -x )). ^{[ nb 6 ]}

De forma equivalente, un operador T es autoadjunto si está densamente definido, es cerrado, simétrico y satisface la cuarta condición: ambos operadores T – i , T + i son sobreyectivos, es decir, mapean el dominio de T sobre todo el espacio H . En otras palabras: para cada x en H existen y y z en el dominio de T tales que Ty – iy = x y Tz + iz = x . ^{[ 22 ]}

Un operador T es autoadjunto si los dos subespacios Γ( T ) , J (Γ( T )) son ortogonales y su suma es todo el espacio.${\displaystyle H\oplus H.}$^{[ 11 ]}

Este enfoque no abarca los operadores cerrados no definidos densamente. Los operadores simétricos no definidos densamente pueden definirse directamente o mediante grafos, pero no mediante operadores adjuntos.

Un operador simétrico se estudia a menudo mediante su transformada de Cayley .

Un operador T en un espacio de Hilbert complejo es simétrico si y solo si el número${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$es real para todo x en el dominio ^de T. ^{[ 20} ]

Un operador simétrico cerrado densamente definido T es autoadjunto si y solo si T ^∗ es simétrico. ^{[ 23 ]} Puede ocurrir que no lo sea. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Un operador T densamente definido se denomina positivo ^{[ 26 ]} (o no negativo ^{[ 27 ]} ) si su forma cuadrática es no negativa, es decir,${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$para todo x en el dominio de T. Dicho operador es necesariamente simétrico.

El operador T ^∗ T es autoadjunto ^{[ 28 ]} y positivo ^{[ 26 ]} para todo T cerrado y densamente definido .

Un operador simétrico densamente definido T en un espacio de Hilbert H se denomina acotado inferiormente si T + a es un operador positivo para algún número real a . Es decir, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ − a || x || ² para todo x en el dominio de T (o alternativamente ⟨ Tx | x ⟩ ≥ a || x || ² ya que a es arbitrario). ^{[ 26 ]} Si tanto T como − T están acotados inferiormente, entonces T está acotado. ^{[ 26 ]}

El teorema espectral se aplica a operadores autoadjuntos ^{[ 29 ]} y, además, a operadores normales, ^{[ 30 ] [ 31 ]} pero no a operadores cerrados densamente definidos en general, ya que en este caso el espectro puede ser vacío. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

Un operador simétrico definido en todas partes es cerrado, por lo tanto acotado, ^{[ 6 ]} que es el teorema de Hellinger-Toeplitz . ^{[ 34 ]}

Por definición, un operador T es una extensión de un operador S si Γ( S ) ⊆ Γ( T ) . ^{[ 35 ]} Una definición directa equivalente: para todo x en el dominio de S , x pertenece al dominio de T y Sx = Tx . ^{[ 5 ] [ 35 ]}

Cabe destacar que existe una extensión definida en todas partes para cada operador, un hecho puramente algebraico explicado en la sección « Aplicación lineal discontinua §  Teorema general de existencia» y basado en el axioma de elección . Si el operador dado no está acotado, la extensión es una aplicación lineal discontinua . Esta extensión es de poca utilidad, ya que no puede preservar propiedades importantes del operador (véase más adelante) y, por lo general, no es única.

Un operador T se denomina cerrable si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 6 ] [ 35 ] [ 36 ]}

• T tiene una extensión cerrada;
• La clausura de la gráfica de T es la gráfica de algún operador;
• Para cada secuencia ( x _n ) de puntos del dominio de T tal que x _n → 0 y también Tx _n → y se cumple que y = 0 .

No todos los operadores son cerrables. ^{[ 37 ]}

Un operador cerrable T tiene la extensión cerrada mínima${\displaystyle {\overline {T}}}$llamada clausura de T. La clausura de la gráfica de T es igual a la gráfica de${\displaystyle {\overline {T}}.}$^{[ 6 ] [ 35 ]} Pueden existir otras extensiones cerradas no mínimas. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Un operador T densamente definido es cerrable si y solo si T ^∗ está densamente definido. En este caso${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$y${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$^{[ 11 ] [ 38 ]}

Si S está densamente definido y T es una extensión de S , entonces S ^∗ es una extensión de T ^∗ . ^{[ 39 ]}

Todo operador simétrico es cerrable. ^{[ 40 ]}

Un operador simétrico se denomina maximal simétrico si no tiene extensiones simétricas, excepto él mismo. ^{[ 20 ]} Todo operador autoadjunto es maximal simétrico. ^{[ 20 ]} Lo contrario es falso. ^{[ 41 ]}

Un operador se denomina esencialmente autoadjunto si su clausura es autoadjunta. ^{[ 40 ]} Un operador es esencialmente autoadjunto si y solo si tiene una y solo una extensión autoadjunta. ^{[ 23 ]}

Un operador simétrico puede tener más de una extensión autoadjunta, e incluso un continuo de ellas. ^{[ 25 ]}

Un operador simétrico y densamente definido T es esencialmente autoadjunto si y solo si ambos operadores T – i , T + i tienen un rango denso. ^{[ 42 ]}

Sea T un operador densamente definido. Denotando la relación " T es una extensión de S " por S ⊂ T (una abreviatura convencional para Γ( S ) ⊆ Γ( T )) se tiene lo siguiente. ^{[ 43 ]}

• Si T es simétrica, entonces T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Si T es cerrado y simétrico, entonces T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Si T es autoadjunto, entonces T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• Si T es esencialmente autoadjunto, entonces T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

La clase de operadores autoadjuntos es especialmente importante en física matemática. Todo operador autoadjunto está densamente definido, es cerrado y simétrico. Lo contrario se cumple para operadores acotados, pero no en general. La autoadjuntividad es sustancialmente más restrictiva que estas tres propiedades. El famoso teorema espectral se cumple para los operadores autoadjuntos. En combinación con el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro, demuestra que los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos. Dichos grupos unitarios son especialmente importantes para describir la evolución temporal en mecánica clásica y cuántica.

• Espacio de Hilbert §  Operadores no acotados
• Teorema de Stone-von Neumann
• Operador acotado