Anillo local Unibranch

En geometría algebraica , un anillo local A se denomina unibranch si el anillo reducido A _red (obtenido al cociente de A por su nilradical ) es un dominio de integridad , y la clausura integral B de A _red también es un anillo local. Un anillo local unibranch se denomina geométricamente unibranch si el cuerpo residual de B es una extensión puramente inseparable del cuerpo residual de A _{red . Una} variedad compleja X se denomina topológicamente unibranch en un punto x si para todos los complementos Y de subconjuntos algebraicos cerrados de X existe un sistema fundamental de vecindades (en la topología clásica) de x cuya intersección con Y es conexa.

En particular, un anillo normal es unibranquial. Un resultado sobre puntos unibranquiales en geometría algebraica es el siguiente:

Teorema ^{[ 1 ]} Sean X e Y dos esquemas noetherianos locales integrales y${\displaystyle f\colon X\to Y}$un morfismo dominante propio . Denotemos sus cuerpos de funciones por K(X) y K(Y) , respectivamente. Supongamos que la clausura algebraica de K(Y) en K(X) tiene grado separable n y que${\displaystyle y\in Y}$es unibranquial. Luego la fibra${\displaystyle f^{-1}(y)}$tiene como máximo n componentes conexas. En particular, si f es birracional , entonces las fibras de los puntos uniramificados están conexas.

En EGA , el teorema se obtiene como corolario del teorema principal de Zariski .