Esquema noetheriano

La cohomología de Čech y la cohomología de haces coinciden en una cubierta abierta afín. Esto permite calcular la cohomología de haces de${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$utilizando la cohomología de Čech para la cubierta abierta estándar.

Dado un sistema directo${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }}$de haces de grupos abelianos en un esquema noetheriano, existe un isomorfismo canónico

${\displaystyle \varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })}$

es decir, los functores

${\displaystyle H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}}$

preservar los límites directos y los coproductos .

Dado un morfismo de tipo localmente finito${\displaystyle f:X\to S}$a un plan noetheriano${\displaystyle S}$y un complejo de gavillas${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)}$con cohomología coherente limitada de tal manera que los haces${\displaystyle H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$tener el apoyo adecuado sobre${\displaystyle S}$, luego el impulso derivado${\displaystyle \mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$tiene cohomología coherente limitada sobre${\displaystyle S}$, lo que significa que es un objeto en${\displaystyle D_{Coh}^{b}(S)}$. ^{[ 4 ]}

Uno de los anillos naturales que no son noetherianos es el anillo de adeles.${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$para un campo de números algebraicos${\displaystyle K}$Para abordar este tipo de anillos, se considera una topología que da lugar a los anillos topológicos . Existe una noción de geometría algebraica sobre dichos anillos desarrollada por André Weil y Alexander Grothendieck . ^{[ 6 ]}

Dada una extensión de campo de Galois infinita${\displaystyle K/L}$, como${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q} }$(adjuntando todas las raíces de la unidad), el anillo de los números enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$es un anillo no noetheriano que es de dimensión${\displaystyle 1}$Esto rompe la intuición de que los esquemas de dimensión finita son necesariamente noetherianos. Además, este ejemplo proporciona motivación para estudiar esquemas sobre una base no noetheriana; es decir, esquemas${\displaystyle {\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})}$Puede ser un tema interesante y fructífero.

Un caso especial ^{[ 7 ] pág. 93} de dicha extensión es tomar la extensión máxima no ramificada.${\displaystyle K^{ur}/K}$y considerando el anillo de los números enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K^{ur}}}$. El morfismo inducido

${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

forma la cubierta universal de${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$.

Otro ejemplo de un esquema finitodimensional no noetheriano (de hecho cero-dimensional) viene dado por el siguiente cociente de un anillo de polinomios con infinitos generadores.

${\displaystyle {\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}}$