Métodos unificados para calcular el flujo compresible e incompresible

El cálculo de flujos compresibles e incompresibles depende generalmente del número de Mach M, donde para un rango de cero a supersónico se aplican ecuaciones compresibles pero con un posible error en un rango de M<0,2. Para este rango tenemos que aplicar ecuaciones incompresibles de Navier Stokes y Euler pero el trabajo sería mucho más fácil si encontramos un método unificado para resolver ambos flujos. El método unificado también puede llevarnos a una mayor precisión y eficiencia.

El método estándar para resolver flujos compresibles falla; la causa básica del fracaso de los métodos de flujo compresible es la rigidez de las ecuaciones que los rigen.

${\displaystyle {\frac {\parcial {}\rho {}}{\parcial {}t}}+\nabla {}.\left(\rho {}V\right)=0}$

${\displaystyle \rho {}{\frac {DV}{Dt}}=-\nabla {}p+\nabla {}.\tau {}+\rho {}f}$

${\displaystyle \rho {}\left[{\frac {\partial {}h}{\partial {}t}}+\nabla {}.\left(hV\right)\right]=-{\frac {Dp}{Dt}}+\nabla {}.\left(k\nabla {}T\right)+\Phi {}}$

Una forma de solucionar este problema es cambiar la ecuación gobernante, conocida como preacondicionamiento, que también puede aumentar la precisión.

La otra causa de la falla es la presión, ya que no se la tiene en cuenta como incógnita principal. Para que la ecuación de gobierno sea viable tanto para los flujos compresibles como para los incompresibles, es necesario corregir lo siguiente:

• Uso de presión adimensional, lo que elimina las dificultades que se presentan al resolver números de Mach muy bajos.
• Utilice una forma de energía no conservadora que aumente la eficiencia.
• Discretización de la ecuación de conservación de masa
• Utilice MUSCL y el paso de tiempo de Runge-Kutta

${\displaystyle {\rho {}}_{p}p_{t}+{\rho {}}_{T}T_{t}+m_{x}=0}$

${\displaystyle {\rho {}}_{p}=\gamma {}M_{r}^{2}/T}$

${\displaystyle {\rho {}}_{T}=-{\frac {\rho {}}{T}}}$

${\displaystyle m_{t}+{(um+p)}_{x}=0}$

Utilizando la presión adimensional y la ecuación de estado, la ecuación gobernante se puede describir mejor como: ${\displaystyle T_{t}+{(uT)}_{x}+\left(\gamma {}-2\right)Tu_{x}=0}$

Para las ecuaciones de gobierno especificadas anteriormente, el esquema de volumen finito ^[1] es

${\displaystyle \gamma {}M_{r}^{2}\left(p_{j}^{n+1}-p_{j}^{n}\right)-{\rho {}}_{j}^{n}\left(T_{j}^{n+1}-T_{j}^{n}\right)+\lambda {}T_{j}^{n}\left(s^{n}{\rho {}}^{n}u^{n}+\left(1-s^{n}\right)m^{n+1}\right){\vert {}}_{j-1/2}^{j+1/2}=0}$

${\displaystyle m_{j+1/2}^{n+1}-m_{j+1/2}^{n}+\lambda {}\left(u^{n}m^{n}+p^{n+1/2}\right){\vert {}}_{j}^{j+1}=0}$

${\displaystyle T_{j}^{n+1}-T_{j}^{n}+\lambda {}\left(u^{n}T^{n}\right){\vert {}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{j+{\frac {1}{2}}}+\lambda {}\left(\gamma {}-2\right)T_{j}^{n}u^{n}{\vert {}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{j+{\frac {1}{2}}}=0}$

dónde ${\displaystyle \lambda {}=\tau {}/h}$

${\displaystyle p^{n+1/2}=(p^{n}+p^{n+1})/2}$

${\displaystyle s^{n}=s(M^{n})}$

${\displaystyle s(M)=0,M<=1/2,}$ ${\displaystyle s(M)=M-1/21/2<\vert {}M\vert {}<3/2}$ ${\displaystyle s(M)=1M>=3/2}$

Aquí${\displaystyle M_{j+{\frac {1}{2}}}={\frac {2\left\vert {}u_{j+{\frac {1}{2}}}\right\vert {}}{c_{j}+c_{j+1}}}}$

con c como la velocidad del sonido.

Y se encuentra que aquí m y p son los términos evaluados en el nuevo nivel de tiempo t^(n+1). Esto se basa principalmente en el caso de 1 dimensión.

Para un sistema no lineal de orden superior, tenemos que utilizar métodos iterativos. Por lo tanto, para obtener mejores resultados, utilizamos el método de corrección de presión ^[2] . En este método, primero se obtiene t^(n+1). A continuación, se realiza una predicción del momento m* reemplazando p^(n+1/2) por p^n.

${\displaystyle m_{j+1/2}^{*}-m_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}+\lambda {}\left(u^{n}m^{n}+p^{n}\right){\vert {}}_{j}^{j+1}=0}$

Se postula una corrección del momento como${\displaystyle \delta {}m=m^{n+1}-m^{*}}$

${\displaystyle \delta {}m_{j+{\frac {1}{2}}}=-\left({\frac {1}{2}}\right)\lambda {}\delta {}p{\vert {}}_{j}^{j+1}}$

${\displaystyle \delta {}p=p^{n+1}-p^{n}}$ La sustitución de da la siguiente ecuación de corrección de presión para${\displaystyle m^{n+1}=m^{*}+\delta {}m}$${\displaystyle \delta {}p:}$

${\displaystyle \gamma {}M_{r}^{2}\delta {}p_{j}-\left({\frac {1}{2}}\right){\lambda {}}^{2}T_{j}^{n}\left\{\left(1-s_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}\right)\delta {}p{\vert {}}_{j}^{j+1}-\left(1-s_{j-{\frac {1}{2}}}^{n}\right)\delta {}p{\vert {}}_{j-1}^{j}\right\}={\rho {}}_{j}^{n}T_{j}{\vert {}}_{n}^{n+1}-\lambda {}T_{j}^{n}\left(s^{n}{\rho {}}^{n}u^{n}\right){\vert {}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{j+{\frac {1}{2}}}}$

Condiciones de contorno necesarias para resolver los métodos anteriores para j=1

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)\lambda {}\delta {}p{\vert {}}_{0}^{1}=-\lambda {}\delta {}m_{1/2}=-\lambda {}({\rho {}}_{b}u_{b}){\vert {}}_{t_{n}}^{t_{n+1}}}$ Para j=J la ecuación del momento se integra sobre una media celda:

${\displaystyle m_{J+1/2}^{*}-m_{J+1/2}^{n}+2\lambda {}\left(u^{n}m^{n}+p^{n}\right){\vert {}}_{J}^{J+1/2}=0}$

${\displaystyle p_{J+1/2}^{n}=p_{b}(t^{n})}$ ${\displaystyle \delta {}m_{J+1/2}=-\lambda {}(p_{b}{\vert {}}_{t_{n}}^{t_{n+1}}-\delta {}p_{j})}$

También existen otros métodos para encontrar resultados más precisos y eficientes, como el método de Runge-Kutta ^[3] . Se lo conoce como un método de pasos en el tiempo en el que se puede congelar el tiempo de los primeros tres pasos y saltar al cuarto nivel de la ecuación de Euler con tiempo completo T, por lo que la etapa (m+1) se convierte en: ${\displaystyle T_{j}^{(m+1)}-T_{j}^{n}+{\alpha {}}_{m+1}\lambda {}\left(u^{n}T^{(m)}\right){\vert {}}_{j-1/2}^{j+1/2}+{\alpha {}}_{m+1}\lambda {}\left(\gamma {}-2\right)T_{j}^{(m)}u^{n}{\vert {}}_{j-1/2}^{j+1/2}=0}$

${\displaystyle m_{j+{\frac {1}{2}}}^{\left(m+1\right)}-m_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}+{\alpha {}}_{m+1}\lambda {}\left(u^{n}m^{\left(m\right)}+p^{n}\right){\vert {}}_{j}^{j+1}=0}$

En la cuarta etapa se realiza la corrección de presión:

${\displaystyle \gamma {}M_{r}^{2}\delta {}p_{j}-\left({\frac {1}{2}}\right){\lambda {}}^{2}T_{j}^{\left(4\right)}\left\{\left(1-s_{j+{\frac {1}{2}}}^{\left(4\right)}\right)\delta {}p{\vert {}}_{j}^{j+1}-\left(1-s_{j-{\frac {1}{2}}}^{\left(4\right)}\right)\delta {}p{\vert {}}_{j-1}^{j}\right\}={\rho {}}_{j}^{n}\left(T_{j}^{\left(4\right)}-T_{j}^{n}\right)-\lambda {}T_{j}^{\left(4\right)}\left(s^{\left(4\right)}{\rho {}}^{n}u^{n}\right){\vert {}}_{j-{\frac {1}{2}}}^{j+{\frac {1}{2}}}}$