Politopo uniforme de 10

En geometría de diez dimensiones , un politopo de 10 dimensiones es un politopo de 10 dimensiones cuyo límite consiste en facetas de 9 politopos , y exactamente dos de dichas facetas se encuentran en cada cresta de 8 politopos .

Un politopo 10 uniforme es uno que es transitivo por vértices y está construido a partir de facetas uniformes .

Los 10-politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s,t,u,v,w,x}, con x {p,q,r,s,t,u,v,w} facetas de 9-politopos alrededor de cada pico .

Hay exactamente tres de estos 10-politopos convexos regulares :

1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-símplex
2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10 cubos
3. {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-ortoplex

No existen 10-politopos regulares no convexos.

La topología de cualquier politopo 10 dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . ^[1]

El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar poliedros no se puede generalizar de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los politopos de 10, cualquiera sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti más sofisticados. ^[1]

De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. ^[1]

Se pueden generar 10-politopos uniformes con simetría reflexiva mediante estos tres grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin :

Los 10-politopos regulares y uniformes seleccionados de cada familia incluyen:

1. Familia simplex : A ₁₀ [3 ⁹ ] -
   • 527 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluido uno regular:
     1. {3 ⁹ } - 10-símplex -
2. Familia de hipercubos / ortoplex : B ₁₀ [4,3 ⁸ ] -
   • 1023 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos dos regulares:
     1. {4,3 ⁸ } - 10-cubo o dekeract -
     2. {3 ⁸ ,4} - 10-ortoplex o decacross -
     3. h{4,3 ⁸ } - 10-demicubeo .
3. Familia de semihipercubos D ₁₀ : [3 ^7,1,1 ] -
   • 767 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos:
     1. 1 _7,1 - 10-demicubo o demidekeract -
     2. 7 _1,1 - 10-ortoplex -

La familia A ₁₀ tiene simetría de orden 39.916.800 ( factorial 11 ).

Existen 512+16-1=527 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. A continuación se muestran 31: todas las formas con uno y dos anillos, y la forma omnitruncada final. Los nombres de los acrónimos de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.

Hay 1023 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.

A continuación se muestran doce casos: diez formas de anillo único ( rectificadas ) y dos truncadas. Los nombres de las siglas de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.

La familia D ₁₀ tiene simetría de orden 1.857.945.600 (10 factorial × 2 ⁹ ).

Esta familia tiene 3×256−1=767 politopos uniformes Wythoffianos, generados al marcar uno o más nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin D _10. De estos, 511 (2×256−1) se repiten de la familia B ₁₀ y 256 son exclusivos de esta familia, con 2 enumerados a continuación. Los nombres de acrónimos de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.

Hay cuatro grupos de Coxeter afines fundamentales que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio de 9:

Las teselaciones regulares y uniformes incluyen:

• Panal hipercúbico regular de 9 átomos , con símbolos {4,3 ⁷ ,4},
• Panal de abejas hipercúbico uniforme alternado de 9 átomos con símbolos h{4,3 ⁷ ,4},

No existen grupos hiperbólicos compactos de Coxeter de rango 10, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, existen 3 grupos hiperbólicos paracompactos de Coxeter de rango 9, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio de 9 como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.

Tres panales de la familia, generados mediante diagramas de Coxeter con anillos finales, son: $Estilo de visualización E_{10}$

• 6 ₂₁ panal :
• 2 ₆₁ panal :
• 1 ₆₂ panal :

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
• A. Boole Stott : Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la unidad de ancho de la academia Koninklijke van Wetenschappen Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londres, 1954
  • HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 10D (polixenna)".

• Nombres de politopos
• Politopos de varias dimensiones, Jonathan Bowers
• Glosario multidimensional
• Glosario del hiperespacio, George Olshevsky.